2.4矩阵幂级数
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§4. 矩阵的幂级数
在研究矩阵幂级数之前先研究一下矩阵（主要是方阵）级数。
一、矩阵级数
1.Df 1.：若给定n n C ⨯中的一方阵序列， ,,,10m A A A 则和式
+++++m A A A A 210
)1(
称为方阵级数，记为∑∞
=0m m A 。其中m A 为通项，m —求和变量。
∑==+++=N
m m
N N A A A A S 0
10 称为（1）的前N 项部分和序列（矩
阵序列）
若S S N →}{，则称（1）收敛，且其和为S 说明：若记ij m A )( 表示的 m A 第
i 行第j 列位置上的元素，根
据定义1
显然有，∑∞
=0
m m
A 收敛
2
n ⇔个数项级数
∑∞
==0
)
,,2,1,()(m ij
m n j i A
收敛。
Df 2.若2
n 个数项级数∑∞=0)(m ij m A 绝对收敛，则称∑∞
=0
m m A 绝对收敛。
2.收敛方阵级数的性质：
①若方阵级数∑∞
=0m m A 绝对收敛，则它一定收敛，且任意交换各
项的次序，所得新级数仍收敛且和不变。
②方阵级数∑∞
=0m m A 收敛⇔对任一方阵范数⋅，正项级数∑
∞
=0
m m
A 收
敛。
下面研究矩阵（方阵）幂级数 二、矩阵幂级数
Df 1.设n
n C A ⨯∈，称∑∞
=0
m m m A c 为矩阵A 的幂级数，其中}{m c 为一复
数序列，称∑==N m m
m N A c S 0
为幂级数∑∞
=0
m m m A c 的部分和，若S S N
N =∞
→lim ，
称∑∞=0
m m
m A c 收敛于S ，并称S 为幂级数∑∞
=0
m m m A c 的和矩阵。
注：若令m m m A A c =，则矩阵幂级数→矩阵级数的形式。因此，
矩阵级数的结论对矩阵幂级数的形式是适用的。即： Th 1.矩阵幂级数∑∞=0
m m
m A c 收敛于∑∞
===⇔0
),2,1,()()(m ij
ij
m m n j i S A c S
其中，ij m m A c )(,ij S )(分别表示m m A c 和S 的第i 行，第j 列元素。
Th 2.矩阵幂级数∑∞
=0
m m m A c 绝对收敛⇔对任一范数⋅，正向级数
级数∑
∞
=0
m m
m A c 收敛。
Proof :⇐若∑
∞
=0
m m
m A
c 收敛，考虑∑∞
=0
1m m m A c 的敛散性，
由矩阵范数的等价性，⋅与1⋅等价，即21,k k ∃ 使m
m m
m m
m A c k A c A c k 21
1≤≤（由比较审敛法）
∑∞
=0
1
m m
m
A c
收敛。
又
∑==≤n
i ij
m m j
m m ij m m A c A
c A c 1
1
)(max ˆ)(
∴
∑∞
=0
)(m ij
m
m
A c
收敛，因此，∑∞
=0
m m m A c 绝对收敛。
⇒若∑∞
=0
m m
m A c 绝对收敛∑∞
=⇔0
)(m ij
m m A c 收敛
))((0
11
∑∑∑∞===⇒m n i n
j ij m
m A c 收敛，即∑∞
=0
4
m m
m A c 收敛。
由矩阵范数的等价性∴对任一矩阵范数
⋅
，
2
1,k k ∃使
4
24
1m
m m
m m
m A
c k A
c A
c k ≤≤，∴有∑∞
=0
m m
m A c 收敛。
推论1.若∑∞=0
m m
m A c 绝对收敛（收敛），则∑∞
=0
)(m m m Q A c P 绝对收敛（收
敛）
其中P ,Q 为给定的n 阶方阵，且有
∑∑∞
=∞
==0
)(m m m m m
m
Q A c P Q A c
P
Proof ：∑∞=0
m m
m A c 绝对收敛⇒∑
∞
=0
m m
m A c 绝对收敛。
又
Q
A c P Q A c P m m m m ⋅⋅≤⋅⋅)(
由比较审敛法，∴∑∞
=0
)(m m m Q A c P 绝对收敛。
下面给出判断矩阵幂级数收敛与发散的方法：
Th 3.设复变数幂级数∑∞
=0m m m Z c 的收敛半径为R ，A 的谱半径为
n n C A A ⨯∈),(ρ，则：
①当R A <)(ρ时，∑∞
=0
m m m A c 绝对收敛。
②当R A >)(ρ时，∑∞
=0
m m m A c 发散。
Proof ：①若R A <)(ρ，R A st <+>∃ερε)(.,0（如取))((2
1
A R ρε-=
）