2019届高三理科数学一轮复习滚动检测卷(全套打包答案)

2019届高三理科数学一轮复习
滚动检测一
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．
2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．
3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合A ＝{x |7<2x <33，x ∈N }，B ＝{x |log 3(x －1)<1}，则A ∩(∁R B )等于( ) A ．{4,5} B ．{3,4,5} C ．{x |3≤x <4}
D ．{x |3≤x ≤5}
2．“|x －1|<2成立”是“x (x －3)<0成立”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
3．(2017·肇庆期末)设命题p ：直线x －y ＋1＝0的倾斜角为135°；命题q ：平面直角坐标系内的三点A (－1，－3)，B (1，1)，C (2,2)共线．则下列判断正确的是( ) A ．綈p 为假 B ．(綈p )且(綈q )为真 C ．p 或q 为真
D ．q 为真
4．当x ∈(0，＋∞)时，幂函数y ＝(m 2－m －1)x －m －1
为减函数，则实数m 的取值集合为( )
A ．{2}
B ．{－1}
C ．{2，－1}
D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫
m ⎪⎪⎪
m ≠
1＋52 5．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
log 2(4－x )，x ≤0
f (x －1)－f (x －2)，x >0， 则f (3)的值为( )
A ．－1
B ．－2
C ．1
D ．2
6．函数f (x )＝ln x －2
x 的零点所在的大致区间为( )
A ．(1,2)
B ．(2,3)
C ．(e,3)
D ．(e ，＋∞)
7．已知函数f (x )的定义域为R ，对任意x 都有f (x ＋2)＝－f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (2 015)＋f (2 018)的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1
D ．2
8．函数f (x )＝e x －1
x
的图像大致为( )
9．若a >0，b >0，ab >1，12
log a ＝ln 2，则log a b 与12
log a 的关系是( )
A ．log a b <12
log a
B ．log a b ＝12
log a
C ．log a b >12
log a
D ．log a b ≤12
log a
10．已知f (x )是偶函数，x ∈R ，若将f (x )的图像向右平移一个单位得到一个奇函数，若f (2)＝－1，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)等于( ) A ．－1 003 B ．1 003 C ．1
D ．－1
11．(2017·天津市河西区模拟)已知命题p ：任意x ∈[1,2]，e x －a ≥0.若綈p 是假命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，e 2] B ．(－∞，e] C ．[e ，＋∞)
D ．[e 2，＋∞)
12．(2017·汕头模拟)设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，且对任意的实数x ，恒有f (x )－f (－x )＝0，当x ∈[－1,0]时，f (x )＝x 2，若g (x )＝f (x )－log a x 在(0，＋∞)上有三个零点，则a 的取值范围为( ) A ．[3,5] B ．[4,6] C ．(3,5)
D ．(4,6)
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．定义在R 上的奇函数f (x )，f (－1)＝2，且当x ≥0时，f (x )＝2x ＋(a ＋2)x ＋b (a ，b 为常数)，则f (－10)的值为______．
14．(2018·保定模拟)已知命题p ：函数y ＝log a (ax ＋2a )(a >0且a ≠1)的图像必过定点(－1,1)；命题q ：如果函数y ＝f (x －3)的图像关于原点对称，那么函数y ＝f (x )的图像关于点(3,0)对称，则命题p 或q 为______(填“真”或“假”)命题．
15．设函数f (x )＝(x ＋1)2＋sin x x 2＋1
的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.
16．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝2x ＋m
2x ，设g (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
f (x )，x >1，f (－x )，x ≤1，若函数y ＝
g (x )－t
有且只有一个零点，则实数t 的取值范围是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)(2018届衡水市武邑中学月考)已知集合P ＝{x |a ＋1≤x ≤2a ＋1}，Q ＝{x |x 2－3x ≤10}．
(1)若a ＝3，求(∁R P )∩Q ；
(2)若P ⊆Q ，求实数a 的取值范围．
18．(12分)(2018·唐山调研)命题p ：f (x )＝1－x
3
，且|f (a )|<2；
命题q ：集合A ＝{x |x 2＋(a ＋2)x ＋1＝0}，B ＝{x |x >0}且A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围，使命题p ，q 中至少有一个为真命题．
19.(12分)已知函数f (x )＝ax 2＋bx －a －ab (a ≠0)，当x ∈(－1,3)时，f (x )>0；当x ∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)时，f (x )<0.
(1)求f (x )在(－1,2)内的值域；
(2)若方程f (x )＝c 在[0,3]上有两个不相等实根，求c 的取值范围．
20．(12分)旅行社为某旅行团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为16 000元．旅行团中的每个人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数不超过35，则飞机票每张收费800元；若旅行团的人数多于35，则予以优惠，每多1人，每个人的机票费减少10元，但旅行团的人数最多不超过60.设旅行团的人数为x ，每个人的机票费为y 元，旅行社的利润为Q 元．成本只算飞机费用．
(1)写出y 与x 之间的函数关系式；
(2)当旅行团的人数为多少时，旅行社可获得最大利润？并求出最大利润．
21.(12分)已知函数f (x )＝22x －52·2x ＋1－6.
(1)当x ∈[0,4]时，求f (x )的最大值和最小值；
(2)若存在x ∈[0,4]，使f (x )＋12－a ·2x ≥0成立，求实数a 的取值范围．
22．(12分)已知函数f (x )的定义域是⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪
x ≠k
2，k ∈Z ，x ∈R ，且f (x )＋f (2－x )＝0，f (x ＋1)＝－
1f (x )
，当1
2<x <1时，f (x )＝3x .
(1)证明：f (x )为奇函数；
(2)求f (x )在⎝
⎛⎭⎫－1，－1
2上的表达式； (3)是否存在正整数k ，使得当x ∈⎝⎛⎭⎫2k ＋1
2，2k ＋1时，log 3f (x )>x 2－kx －2k 有解？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．
答案精析
1．A 2.B 3.B 4.A 5.B 6.B 7.B 8.A 9.A 10.D 11.B
12．C [∵f (x )－f (－x )＝0，∴f (x )＝f (－x )，∴f (x )是偶函数，根据函数的周期性和奇偶性作出函数f (x )的图像如图所示：
∵g (x )＝f (x )－log a x 在(0，＋∞)上有三个零点，
∴y 1＝f (x )和y 2＝log a x 的图像在(0，＋∞)上有三个交点，作出函数y 2＝log a x 的图像，∴⎩⎪⎨⎪
⎧
log a 3<1，log a 5>1，a >1，
解得3<a <5，故选C.]
13．－993 14.真 15．2
解析 函数可化为f (x )＝(x ＋1)2＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin x
x 2＋1，
令g (x )＝2x ＋sin x x 2＋1，则g (x )＝2x ＋sin x
x 2＋1为奇函数，
∴g (x )＝2x ＋sin x
x 2＋1的最大值与最小值的和为0.
∴M ＋m ＝2. 16.⎣⎡⎦
⎤－32，32 解析 因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 即2－
x ＋m ·2x ＝－(2x ＋m ·2－
x )，解得m ＝－1，
故g (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x －2－
x ，x >1，2－x －2x ，x ≤1， 作出函数g (x )的图像(如图所示)．
当x >1时，g (x )是增加的，此时g (x )>32；当x ≤1时，g (x )是减少的，此时g (x )≥－3
2，
所以当t ∈⎣⎡⎦⎤－32，3
2时，y ＝g (x )－t 有且只有一个零点． 17．解 (1)因为a ＝3，所以P ＝{x |4≤x ≤7}， ∁R P ＝{x |x <4或x >7}．
又Q ＝{x |x 2－3x ≤10}＝{x |－2≤x ≤5}， 所以(∁R P )∩Q ＝{x |－2≤x <4}．
(2)当P ≠∅时，由P ⊆Q ，得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＋1≥－2，2a ＋1≤5，
2a ＋1≥a ＋1.
解得0≤a ≤2；
当P ＝∅时，2a ＋1<a ＋1，解得a <0，此时有P ＝∅⊆Q ， 综上，实数a 的取值范围是(－∞，2]． 18．解 先考虑p ：解得－5<a <7.
再考虑q ：①当Δ<0时，A ＝∅，A ∩B ＝∅，此时由(a ＋2)2－4<0，得－4<a <0； ②当Δ≥0时，由A ∩B ＝∅，可得⎩⎪⎨⎪
⎧
Δ＝(a ＋2)2－4≥0，x 1＋x 2＝－(a ＋2)<0，
x 1x 2＝1>0，
解得a ≥0.
由①②可知，a >－4.
当p ，q 都为假命题时，⎩
⎪⎨⎪⎧
a ≤－5或a ≥7，
a ≤－4，解得a ≤－5，
所以当a 的取值范围是(－5，＋∞)时， p ，q 中至少有一个为真命题．
19．解 (1)由题意知，－1,3是方程ax 2＋bx －a －ab ＝0的两根， 可得a ＝－1，b ＝2，
则f (x )＝－x 2＋2x ＋3在(－1,2)内的值域为(0,4]．
(2)方程－x 2＋2x ＋3＝c ，即x 2－2x ＋c －3＝0在[0,3]上有两个不相等实根， 设g (x )＝x 2－2x ＋c －3，则⎩⎪⎨⎪
⎧
g (1)<0，g (0)≥0，
g (3)≥0，
解得3≤c <4.
20．解 (1)依题意知，1≤x ≤60，x ∈N ＋，又当1≤x <20时，800x <16 000，不符合实际情况， 故20≤x ≤60，x ∈N ＋. 当20≤x ≤35时，y ＝800；
当35<x ≤60时，y ＝800－10(x －35)＝－10x ＋1 150.
所以y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
800，20≤x ≤35，且x ∈N ＋，
－10x ＋1 150，35<x ≤60，且x ∈N ＋.
(2)当20≤x ≤35，且x ∈N ＋时， Q ＝yx －16 000＝800x －16 000， 此时Q max ＝800×35－16 000＝12 000； 当35<x ≤60，且x ∈N ＋时，Q ＝yx －16 000 ＝－10x 2＋1 150x －16 000 ＝－10⎝⎛⎭⎫x －11522＋34 1252
， 所以当x ＝57或x ＝58时，Q 取得最大值，即Q max ＝17 060.
因为17 060>12 000，所以当旅行团的人数为57或58时，旅行社可获得最大利润，为17 060元．
21．解 (1)f (x )＝(2x )2－5·2x －6， 设2x ＝t ，∵x ∈[0,4]，则t ∈[1,16]， ∴h (t )＝t 2－5t －6，t ∈[1,16]．
∵当t ∈⎝⎛⎦⎤1，5
2时，函数h (t )是减少的； 当t ∈⎝⎛⎦⎤5
2，16时，函数h (t )是增加的， ∴f (x )min ＝h ⎝⎛⎭⎫52＝－49
4
，f (x )max ＝h (16)＝170. (2)∵存在x ∈[0,4]，使f (x )＋12－a ·2x ≥0成立，而t ＝2x >0，∴存在t ∈[1,16]，使得a ≤t ＋6t －
5成立．
令g (t )＝t ＋6
t －5，则g (t )在[1，6]上是减少的，在[6，16]上是增加的，而g (1)＝2<g (16)＝
918
， ∴g (t )max ＝g (16)＝918，∴a ≤g (t )max ＝g (16)＝91
8，
∴实数a 的取值范围是⎝
⎛⎦⎤－∞，91
8. 22．(1)证明 ∵f (x ＋2)＝f (x ＋1＋1)＝－1
f (x ＋1)＝f (x )，
∴f (x )的周期为2，∵f (x )＋f (2－x )＝0，即f (x )＋f (－x )＝0，
又∵f (x )的定义域是⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪
x ≠k
2
，k ∈Z ，x ∈R ，关于原点对称， ∴f (x )为奇函数．
(2)解 当－1<x <－12时，12<－x <1，则f (－x )＝3－
x .
∵f (x )＝－f (－x )，
∴当－1<x <－12
时，f (x )＝－3－
x .
(3)解 任取x ∈⎝⎛⎭⎫2k ＋12，2k ＋1，则x －2k ∈⎝⎛⎭⎫1
2，1， ∵f (x )＝f (x －2k )＝3x －2k
，
log 3(3x
－2k
)>x 2－kx －2k 在x ∈⎝⎛⎭
⎫2k ＋1
2，2k ＋1时有解， 即x 2－(k ＋1)x <0在x ∈⎝⎛⎭
⎫2k ＋1
2，2k ＋1时有解，
∵k ∈N ＋，∴(0，k ＋1)∩⎝⎛⎭⎫2k ＋1
2，2k ＋1≠∅， ∴k ＋1>2k ＋1
2
(k ∈N ＋)无解．
∴不存在这样的k ∈N ＋，使得当x ∈⎝⎛⎭⎫2k ＋1
2，2k ＋1时， log 3f (x )>x 2－kx －2k 有解．
滚动检测二
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．
2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．
3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2017·辽宁重点高中协作校期中)已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，M ＝{3,4,5}，N ＝{1,3,6}，则集合{4,5}等于( ) A ．M ∩(∁U N ) B ．(∁U M )∩(∁U N ) C ．(∁U M )∪(∁U N )
D ．M ∪(∁U N )
2．(2017·黄山质检)下列命题中正确的是( ) A ．若p 或q 为真命题，则p 且q 为真命题
B ．若直线ax ＋y －1＝0与直线x ＋ay ＋2＝0平行，则a ＝1
C ．若命题“存在x ∈R ，x 2＋(a －1)x ＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是a <－1或a >3
D ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2”的逆否命题为“若x ≠1或x ≠2，则x 2－3x ＋2≠0”
3．(2018·大同调研)给定函数：①y ＝x 12，②y ＝1
x ，③y ＝|x |－1，④y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ，其中既是奇函数又在区间(0,1)上是增函数的是( ) A ．① B ．②
C ．③
D ．④
4．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且(x －1)f ′(x )>0，a ＝f (0)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12，
c ＝f (3)，
则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．c >a >b C ．b >a >c
D ．c >b >a
5．已知f (x )是偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上是增函数，如果f (ax ＋1)≤f (x －2)在x ∈⎣⎡⎦⎤
12，1时恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－2,1] B ．[－5,0] C ．[－5,1]
D ．[－2,0]
6．曲线y ＝e x 在点A (2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A ．e 2 B ．2e 2 C ．e
D.e 2
2
7．函数y ＝e |ln x |－|x －1|的图像大致是( )
8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c 且a cos C ，b cos B ，c cos A 成等差数列．若b ＝3，则a ＋c 的最大值为( ) A.3
2
B ．3
C ．2 3
D ．9
9．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像沿x 轴向左平移π
8个单位长度后，得到一个偶函数的图像，则
φ的一个可能取值为( ) A.3π4 B.π4
C ．0
D ．－π
4
10．(2018届佳木斯市鸡东县二中月考)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图像的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π8，0，则函数f (x )的递增区间是( ) A.⎣
⎡⎦⎤2k π－5π8，2k π－π
8(k ∈Z ) B.⎣
⎡⎦⎤2k π－π8，2k π＋3π
8(k ∈Z ) C.⎣
⎡⎦⎤k π－5π8，k π－π
8(k ∈Z ) D.⎣
⎡⎦⎤k π－π8，k π＋3π
8(k ∈Z ) 11．己知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称，已知当x ∈[－1,0]时，f (x )＝－(x ＋1)2＋1，函数y 1＝f (x )的图像和函数y 2＝lg|x |的图像的交点个数为( )
A ．8
B ．9
C ．16
D ．18
12．已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋ax 恰有两个零点，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，0) B ．(0，＋∞) C ．(0,1)∪(1，＋∞)
D ．(－∞，0)∪{1} 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．(2017·洛阳一模)已知p ：任意x ∈⎣⎡⎦⎤
14，12，2x <m (x 2＋1)，q ：函数f (x )＝4x ＋2x ＋1＋m －1存在零点，若“p 且q ”为真命题，则实数m 的取值范围是________． 14．若sin(π＋α)＝3
5，则cos (－α)＋sin ⎝⎛⎭⎫－α－π2＋1sin (3π－α)－cos ⎝⎛⎭
⎫－α－π2的值是________．
15．(2017·唐山一模)将函数f (x )＝cos ωx 的图像向右平移π
2个单位长度后得到函数g (x )＝
sin ⎝
⎛⎭⎫ωx －π
4的图像，则正数ω的最小值为________．
16．定义：如果函数f (x )在[m ，n ]上存在x 1，x 2(m <x 1<x 2<n )满足f ′(x 1)＝f (n )－f (m )n －m ，f ′(x 2)＝f (n )－f (m )
n －m .
则称函数f (x )是[m ，n ]上的“双中值函数”，已知函数f (x )＝x 3－x 2＋a 是[0，a ]上的“双中值函数”，则实数a 的取值范围是______________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪
18
≤2x －2≤16，B ＝{x |2m ＋1≤x ≤3m －1}． (1)求集合A ；
(2)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．
18．(12分)(2018届重庆一中月考)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π3(0<φ<2π)，若f (x )－f ⎝⎛⎭⎫π
4－x ＝0对x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫
π2>f (0)． (1)求y ＝f (x )的解析式和递增区间； (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，π
2时，求y ＝f (x )的值域．
19．(12分)(2018·葫芦岛调研)某公司生产一种产品，每年需投入固定成本25万元，此外每生产1件这样的产品，还需增加投入0.5万元，经市场调查知这种产品年需求量为500件，产品销售数量为t 件时，销售所得的收入为⎝
⎛⎭⎫5t －1
200t 2 万元． (1)设该公司这种产品的年生产量为x 件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x 的函数为f (x )，求f (x )；
(2)当该公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大．
20．(12分)已知函数f (x )＝ln x －1
2ax 2＋(1－a )x ＋1.
(1)当a ＝1时，求函数f (x )在x ＝2处的切线方程； (2)求函数f (x )在x ∈[1,2]时的最大值．
21.(12分)在△ABC中，设边a，b，c所对的角分别为A，B，C.A，B，C都不是直角，且ac cos B＋bc cos A＝a2－b2＋8cos A.
(1)若sin B＝2sin C，求b，c的值；
(2)若a＝6，求△ABC面积的最大值．
22．(12分)已知f(x)＝ln(1＋x)－
ax
x＋1
，x∈R.
(1)若曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线的斜率为5，求a的值；
(2)若函数f(x)的最小值为－a，求a的值；
(3)当x>－1时，(1＋x)ln(1＋x)＋(ln k－1)x＋ln k>0恒成立，求实数k的取值范围．
答案精析
1．A 2.C 3.D 4.B
5．D [因为f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数， 如果f (ax ＋1)≤f (x －2)在x ∈⎣⎡⎦⎤
12，1时恒成立，
则|ax ＋1|≤|x －2|，即x －2≤ax ＋1≤2－x .由ax ＋1≤2－x ，得ax ≤1－x ，a ≤1x －1，而1x －1
在x ＝1时取得最小值0，
故a ≤0.同理，当x －2≤ax ＋1时，a ≥1－3x ，而1－3
x 在x ＝1处取最大值－2，所以a ≥－2，
所以a 的取值范围是[－2,0]．]
6．D [y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点A (2，e 2)处的切线的斜率为e 2，相应的切线方程是y －e 2＝e 2(x －2)，
当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1，
∴切线与坐标轴所围成的三角形的面积S ＝12×e 2×1＝e 2
2.]
7．D [由y ＝e |ln x |－|x －1|可知，函数过点(1,1)， 当0＜x ＜1时，y ＝e
－ln x
－1＋x ＝1x ＋x －1，y ′＝－1x
2＋1＜0.∴y ＝e －
ln x －1＋x 在(0,1)上为减
函数；当x ＞1时，y ＝e ln x －x ＋1＝1，故选D.] 8．C [∵a cos C ，b cos B ，c cos A 成等差数列， ∴2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，
∴2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ， ∴2sin B cos B ＝sin(A ＋C )，
∵A ＋B ＋C ＝π，∴2sin B cos B ＝sin B ， 又∵sin B ≠0，∴cos B ＝1
2.
∵0<B <π，∴B ＝π
3
.
∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即a 2＋c 2－ac ＝3， ac ≤⎝⎛
⎭⎫a ＋c 22
，当且仅当a ＝c 时取等号，
∴(a ＋c )2－33≤
⎝⎛⎭⎫a ＋c 22， 即(a ＋c )2≤12，∴a ＋c ≤2 3.]
9．B [把函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像向左平移π
8个单位长度后，得到的图像的解析式是y ＝
sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ，该函数是偶函数的充要条件是π4＋φ＝k π＋π
2，k ∈Z ，根据选项检验可知φ的一个可能取值为π4
.]
10．C [由题意得2×π
8＋φ＝k π(k ∈Z )．
∵0<φ<π，∴φ＝3π
4
，
因此2k π－π2≤2x ＋3π4≤2k π＋π
2(k ∈Z )．
∴k π－5π8≤x ≤k π－π
8
(k ∈Z )．]
11．D [函数y 1＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称，故f (1＋x )＝f (1－x )． 函数f (x )是定义在R 上的偶函数，故f (1－x )＝f (x －1)， 因此f (x ＋1)＝f (x －1)，从而函数f (x )是周期为2的函数．
可根据函数性质作出函数y 1＝f (x )的图像和函数y 2＝lg|x |的图像，因为函数f (x )的值域为[0,1]，所以只需要考虑区间[－10，10]，数形结合可得交点个数为18.
故选D.]
12．C [函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f (x )恰有两个零点，转化为ln x －ax 2＋ax ＝0，即方程
ln x x ＝a (x －1)恰有两解，设g (x )＝ln x
x ，则g ′(x )＝1－ln x x 2
，当0<x <e 时，g ′(x )>0，当x >e 时，g ′(x )<0，所以g (x )在(0，e)上是增函数， 在(e ，＋∞)上是减函数，且g (1)＝0，当x >e 时，g (x )>0，g ′(1)＝1，作出函数y 1＝g (x )和函数y 2＝a (x －1)的图像如图所示，
由图可知，两个函数有两个交点的充要条件是0<a <1或a >1，故选C.] 13.⎝⎛⎭⎫45，1
解析 已知p ：任意x ∈⎣⎡⎦⎤14，12，2x <m (x 2＋1)，故m >2x x 2＋1，令g (x )＝2x
x 2＋1，则g (x )在⎣⎡⎦⎤14，12上是增加的，
故g (x )≤g ⎝⎛⎭⎫12＝45，故p 为真时，m >4
5
； q ：函数f (x )＝4x ＋2x ＋
1＋m －1＝(2x ＋1)2＋m －2， 令f (x )＝0，得2x ＝2－m －1，
若f (x )存在零点，则2－m －1>0，解得，m <1， 故q 为真时，m <1；若“p 且q ”为真命题， 则实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫45，1. 14．－56
15.32
解析 f (x )向右平移π
2
个单位长度后得
g (x )＝cos ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －π2＝cos ⎝
⎛⎭⎫ωx －π2ω. ∵sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4＝cos ⎣⎡⎦
⎤π
2－⎝⎛⎭⎫ωx －π4＝cos ⎝
⎛⎭⎫ωx －3π4， ∴ωx －π2ω＝ωx －3π
4
＋2k π(k ∈Z )，
∴ω＝32－4k (k ∈Z )，∴正数ω的最小值为3
2
.
16.⎝⎛⎭⎫12，1
解析 因为f (x )＝x 3－x 2＋a ，所以由题意可知，f ′(x )＝3x 2－2x 在区间[0，a ]上存在x 1，x 2(0<x 1<x 2<a )，满足f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝f (a )－f (0)a －0＝a 2－a ，所以方程3x 2－2x ＝a 2－a 在区间(0，
a )上有两个不相等的实根． 令g (x )＝3x 2－2x －a 2＋a (0<x <a )， 则⎩⎪⎨⎪
⎧
Δ＝4－12(－a 2＋a )>0，g (0)＝－a 2＋a >0，g (a )＝2a 2－a >0，
解得1
2
<a <1.
17．解 (1)18
≤2x －2≤16,2－3≤2x －
2≤24，
∴－3≤x －2≤4，∴－1≤x ≤6，∴A ＝{x |－1≤x ≤6}． (2)若B ＝∅，则2m ＋1>3m －1，解得m <2，此时满足题意； 若B ≠∅且B ⊆A ，∴必有⎩⎪⎨⎪
⎧
2m ＋1≤3m －1，－1≤2m ＋1，
3m －1≤6，
解得2≤m ≤7
3
.
综上所述，m 的取值范围为⎩
⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪
m ≤73. 18．解 (1)f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋φ＋π3， 由f (x )－f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝0可知，x ＝π
8为函数的对称轴， 则2×π8＋φ＋π3＝k π＋π2，φ＝－π
12＋k π，k ∈Z ，
由0<φ<2π可知，φ＝11π12或φ＝23π12
.
又由f ⎝⎛⎭⎫π2>f (0)可知，－sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π3>sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π3， 则sin ⎝⎛⎭
⎫φ＋π
3<0， 验证φ＝11π12和φ＝23π12，则φ＝11π
12符合，
所以y ＝f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π4＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
4. 由π2＋2k π≤2x ＋π4≤3π
2
＋2k π，
得π8＋k π≤x ≤5π
8
＋k π，k ∈Z ， 所以f (x )的递增区间为⎣⎡⎦⎤π8＋k π，5π
8＋k π，k ∈Z . (2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，π2，所以2x ＋π
4∈⎣⎡⎦⎤π12，5π4， 则f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－1，22. 所以f (x )的值域为⎣
⎡⎦
⎤
－1，
22. 19．解 (1)当0＜x ≤500时，f (x )＝5x －1200x 2－x
2－25；
当x ＞500时，f (x )＝5×500－1200×5002－x
2
－25，
故f (x )＝⎩⎨⎧
－1200x 2
＋9
2x －25，0<x ≤500，
－1
2x ＋1 225，x >500.
(2)当0＜x ≤500时，f (x )＝－1200(x －450)2＋1975
2
. 故当x ＝450时，f (x )max ＝
1 975
2
＝987.5； 当x ＞500时，f (x )<－1
2
×500＋1 225＝975，
故当该公司的年产量为450件时，当年获得的利润最大． 20．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝ln x －1
2x 2＋1，
∴f ′(x )＝1
x
－x ，
∴f ′(2)＝－32，即x ＝2处的切线斜率k ＝－3
2.
已知切点为(2，－1＋ln 2)，
∴切线的方程为3x ＋2y －4－2ln 2＝0.
(2)∵f ′(x )＝－ax 2＋(1－a )x ＋1x ＝(x ＋1)(1－ax )
x (1≤x ≤2)，
当a ≤0时，f ′(x )>0在[1,2]上恒成立， ∴f (x )在[1,2]上是增加的， ∴f (x )max ＝f (2)＝－4a ＋3＋ln 2；
当1a ≥2，即0<a ≤1
2时，f ′(x )≥0在[1,2]上恒成立， ∴f (x )在[1,2]上是增加的，
∴f (x )max ＝f (2)＝－4a ＋3＋ln 2；
当1<1a <2，即1
2<a <1时，f (x )在⎣⎡⎦⎤1，1a 上是增加的， 在⎣⎡⎦⎤1a ，2上是减少的，∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝1
2a －ln a ； 当0<1
a ≤1，即a ≥1时，f (x )在[1,2]上是减少的，
∴f (x )max ＝f (1)＝－3
2
a ＋2.
综上所述，f (x )max
＝⎩⎪⎨⎪⎧
－4a ＋3＋ln 2，a ≤12
，
－ln a ＋12a ，1
2<a <1，
－32a ＋2，a ≥1.
21．解 (1)∵ac ·a 2＋c 2－b 22ac ＋bc ·b 2＋c 2－a 2
2bc
＝a 2－b 2＋8cos A ，
∴b 2＋c 2－a 2＝8cos A ，∴2bc cos A ＝8cos A ， ∵cos A ≠0，∴bc ＝4. 又∵sin B ＝2sin C ，
由正弦定理，得b ＝2c ，∴b ＝22，c ＝ 2. (2)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ≥2bc －2bc cos A ， 即6≥8－8cos A ，
∴cos A ≥1
4，当且仅当b ＝c 时取等号．
∴sin A ≤
154，∴S ＝12bc sin A ≤152
， ∴△ABC 面积的最大值为
15
2
. 22．解 (1)∵f ′(x )＝x ＋1－a
(x ＋1)2，∴f ′(0)＝1－a ＝5，
∴a ＝－4.
(2)函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)， f ′(x )＝11＋x －a
(x ＋1)2＝x ＋1－a (x ＋1)2，
令f ′(x )＝0，则x ＝a －1，
①当a －1≤－1，即a ≤0时，在(－1，＋∞)上，f ′(x )>0， 函数f (x )是增加的，无最小值．
②当a －1>－1，即a >0时，在(－1，a －1)上，f ′(x )<0，
函数f (x )是减少的；
在(a －1，＋∞)上，f ′(x )>0，函数f (x )是增加的，
∴函数f (x )的最小值为f (a －1)＝ln a －a ＋1＝－a ，
解得a ＝1e
. 综上，若函数f (x )的最小值为－a ，则a ＝1e
. (3)由(1＋x )ln(1＋x )＋(ln k －1)x ＋ln k >0，得
ln(1＋x )－x x ＋1＋ln k >0，即－ln k <ln(1＋x )－x x ＋1
， 令a ＝1，则f (x )＝ln(1＋x )－x x ＋1
， 由(2)可知，当a ＝1时，f (x )在(－1,0)上是减少的，在(0，＋∞)上，f (x )是增加的，∴在(－1，＋∞)上，f (x )min ＝f (0)＝0，
∴－ln k <0，即k >1.
滚动检测三
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．
2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．
3．本次考试时间120分钟，满分150分．
4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2017·绵阳一诊)设命题p ：⎝⎛⎭⎫12x ＜1，命题q ：ln x ＜1，则p 是q 成立的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
2．cos(－2 640°)＋sin 1 665°等于( )
A.1＋22
B ．－1＋22 C.1＋32 D ．－1＋32
3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知b －c ＝14
a,2sin B ＝3sin C ，则cos A 等于( )
A ．－14
B.14
C.78
D.1116
4．(2018·新余模拟)在△ABC 中，若B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2.则满足条件的三角形的个数为( )
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
5．已知定义在R 上的函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f ⎝⎛⎭⎫log 123，b ＝f (log 25)，
c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A ．b ＜a ＜c
B ．b ＜c ＜a
C ．a ＜b ＜c
D ．a ＜c ＜b
6．已知f (x )＝x 3－ax 在(－∞，－1]上是单调函数，则a 的取值范围是( )
A ．(3，＋∞)
B ．[3，＋∞)
C ．(－∞，3)
D ．(－∞，3]
7．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上是增加的是( )
A ．y ＝1x
B ．y ＝lg|x |
C ．y ＝cos x
D ．y ＝x 2＋2x
8．(2017·重庆三诊)已知a ＝(2,1)，b ＝(m ，－1)，且a ⊥(a －b )，则实数m 等于( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
9．(2018届洛阳联考)已知点O 是锐角△ABC 的外心，若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则( )
A ．m ＋n ≤－2
B ．－2≤m ＋n <－1
C ．m ＋n <－1
D ．－1<m ＋n <0
10．若M 为△ABC 所在平面内一点，且满足(MB →－MC →)·(MB →＋MC →－2MA →)＝0，则△ABC 的
形状为( )
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．正三角形
D ．等腰直角三角形
11．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2，若f (x )满足f (x ＋π)＝－f (x )，且f (0)＝12
，则函数h (x )＝2cos(ωx ＋φ)在区间⎣⎡⎦
⎤0，π2上的值域为( ) A ．[－1，3]
B ．[－2，3]
C ．[－3，2]
D ．[1，3]
12．对任意的正数x ，都存在两个不同的正数y ，使x 2(ln y －ln x )－ay 2＝0成立，则实数a 的取值范围为( )
A.⎝⎛⎭
⎫0，12e B.⎝⎛⎭⎫－∞，12e C.⎝⎛⎭⎫12e ，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫12e ，1
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13． 1
0(2x ⎰＋1－x 2)d x ＝________.
14．(2018届乐山调研)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120°，BM →＝λBC →.若AM →·BC →＝
－173
，则实数λ的值为______．
15．(2017·石嘴山三模)给出下列命题：
①已知a ，b 都是正数，且a ＋1b ＋1＞a b
，则a ＜b ； ②已知f ′(x )是f (x )的导函数，若任意x ∈R ，f ′(x )≥0，则f (1)＜f (2)一定成立；
③命题“存在x ∈R ，使得x 2－2x ＋1＜0”的否定是真命题；
④“x ≤1且y ≤1”是“x ＋y ≤2”的充要条件．
其中正确的命题的序号是________．
16．(2018·九江模拟)已知f (x )＝x 3－3x ＋m ，若在区间[0,2]上任取三个数a ，b ，c ，均存在以f (a )，f (b )，f (c )为边长的三角形，则实数m 的取值范围为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)(2018·泉州模拟)已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫3sin x 4，1，n ＝⎝⎛⎭⎫cos x 4，cos 2x 4，f (x )＝m ·n . (1)若f (x )＝1，求cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x 的值；
(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足a cos C ＋12
c ＝b ，求函数f (B )的取值范围．
18．(12分)(2017·长春调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2(sin C －sin A )＝sin B .
(1)求b c －a
的值； (2)若b ＝2，BA →·BC →＝32
，求△ABC 的面积．
19.(12分)已知函数f (x )＝x 2
1＋x 2
. (1)分别求f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12，f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13， f (4)＋f ⎝⎛⎭
⎫14的值； (2)归纳猜想一般性结论，并给出证明；
(3)求值：f (1)＋f (2)＋…＋f (2 011)＋f ⎝⎛⎭⎫12 011＋f ⎝⎛⎭⎫12 010＋…＋f ⎝⎛⎭
⎫12＋f (1)．
20．(12分)(2018届西安模拟)已知x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，设向量m ＝(sin x ，cos x )，n ＝⎝⎛⎭⎫32，12. (1)若m ∥n ，求x 的值；
(2)若m·n ＝35
，求sin ⎝⎛⎭⎫x －π12的值．
21.(12分)某河道中过度滋长一种藻类，环保部门决定投入生物净化剂净化水体. 因技术原因，第t 分钟内投放净化剂的路径长度p (t )＝140－|t －40|(单位：m)，净化剂净化水体的宽度q (单
位：m)是时间t (单位：分钟)的函数：q (t )＝1＋a 2
t
(a 由单位时间投放的净化剂数量确定，设a 为常数，且a ∈N ＋)．
(1)试写出投放净化剂的第t 分钟内净化水体面积S (t )(1≤t ≤60，t ∈N ＋)的表达式；
(2)求S (t )的最小值．
22．(12分)已知函数f(x)＝e x－ax－1(a∈R)．
(1)若f(x)有极值0，求实数a，并确定该极值为极大值还是极小值；
(2)在(1)的条件下，当x∈[0，＋∞)时，f(x)≥mx ln(x＋1)恒成立，求实数m的取值范围．
答案精析
1．B [命题p ：⎝⎛⎭⎫12x ＜1，即x ＞0；命题q ：ln x ＜1，
即0＜x ＜e ，所以p 是q 成立的必要不充分条件，故选B.]
2．B [cos(－2 640°)＝cos 2 640°＝cos(7×360°＋120°)＝cos 120°＝－12
， sin 1 665°＝sin(4×360°＋225°)＝sin 225°＝sin(180°＋45°)
＝－sin 45°＝－22
， 故cos(－2 640°)＋sin 1 665°＝－12－22＝－1＋22
.] 3．A [在△ABC 中，∵b －c ＝14
a,2sin B ＝3sin C ，由正弦定理， 得2b ＝3c ，可得a ＝2c ，b ＝32
c ，再由余弦定理可得 cos A ＝b 2＋c 2－a 2
2bc ＝⎝⎛⎭⎫32c 2＋c 2－4c 22×32c ×c ＝－14
，故选A.] 4．B [由正弦定理，得c sin C ＝b sin B ，sin C ＝32
，由于c ＞b ， 所以有两种可能，故选B.]
5．A [∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )， ∴⎝⎛⎭⎫12|－x －m |－1＝⎝⎛⎭
⎫12|x －m |－1，∴|－x －m |＝|x －m |，(－x －m )2＝(x －m )2，∴mx ＝0，m ＝0.∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x |－1，∴f (x )在[0，＋∞)是减少的，并且a ＝f (|log 12
3|)＝f (|log 23|)，b ＝f (|log 25|)，c ＝f (0)．∵0＜log 23＜log 25，∴c ＞a ＞b ，故选A.]
6．D [因为f (x )＝x 3－ax 在(－∞，－1]上是单调函数，
所以f ′(x )＝3x 2－a ≥0在(－∞，－1]上恒成立，
即a ≤(3x 2)min ＝3，故选D.]
7．B [对于答案A ，C ，当取x 1＝1，x 2＝2时，显然x 1＜x 2，但y 1＞y 2，故不是递增函数，
则两个答案都不正确；对于答案D ，由于f (－1)＝1＋12＝32
，f (1)＝1＋2＝3，即f (－1)≠f (1)，故不是偶函数，也不正确；对于答案B 结合所学基本初等函数的图像和性质可知函数f (x )＝
lg|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧
lg x ，x ＞0，lg (－x )，x ＜0是偶函数，且在(0，＋∞)上是增加的，故选B.]
8．C [由a ⊥(a －b )，所以a ·(a －b )＝0,6－2m ＝0，解得m ＝3，
故选C.]
9．C [∵O 是锐角△ABC 的外心，
∴O 在三角形内部，不妨设锐角△ABC 的外接圆的半径为1，
又OC →＝mOA →＋nOB →，∴|OC →|＝|mOA →＋nOB →|，
可得OC →2＝m 2OA →2＋n 2OB →2＋2mnOA →·OB →，
而OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|cos ∠AOB <|OA →|·|OB →|＝1.
∴1＝m 2＋n 2＋2mnOA →·OB →<m 2＋n 2＋2mn ，
∴m ＋n <－1或m ＋n >1，如果m ＋n >1则O 在三角形外部，三角形不是锐角三角形，∴m ＋n <－1，故选C.]
10．A [(MB →－MC →)·(MB →＋MC →－2MA →)
＝CB →·(MB →－MA →＋MC →－MA →)
＝CB →·(AB →＋AC →)
＝(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)
＝|AB →|2－|AC →|2＝0，
即|AB →|＝|AC →|，所以△ABC 的形状为等腰三角形．]
11．A [因为f (x ＋π)＝－f (x )，所以函数f (x )的周期为2π，
ω＝1，由f (0)＝sin φ＝12且|φ|＜π2，得φ＝π6
， 所以h (x )＝2cos ⎝⎛⎭
⎫x ＋π6， 由x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2知π6≤x ＋π6≤2π3
， 所以－12
≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤32，h (x )∈[－1，3]， 故选A.]
12．A [由x 2(ln y －ln x )－ay 2＝0(x ＞0，y ＞0)，
得a ＝
x 2(ln y －ln x )
y 2＝ln y x ⎝⎛⎭⎫y x 2，令t ＝y x (t ＞0)，所以a ＝ln t t 2.设g (t )＝ln t t 2(t >0)，g ′(t )＝1t ·t 2－(ln t )2t t 4＝1－2ln t t 3
， 令g ′(t )＞0，得0＜t ＜e ，g (t )是增加的；令g ′(t )＜0，得t ＞e ，g (t )是减少的．所以g (t )
最大值为g (e)＝12e
.又当t ＞1时，g (t )＞0；当0＜t ＜1时，g (t )＜0，故当a ∈⎝⎛⎭⎫0，12e 时，存在两个正数t ，使a ＝ln t t 2成立，即对任意的正数x ，都存在两个不同的正数y ，使x 2(ln y －ln x )－ay 2＝0成立，故选A.]
13．1＋π4
解析 由微积分基本定理，得1
0⎰2x d x ＝x 2|1
0＝1， 曲线y ＝1－x 2(0<x <1)表示单位圆的四分之一，
则1
0⎰1－x 2d x ＝14×π×12＝π4
， 由此可得，
10⎰ (2x ＋1－x 2)d x ＝1＋π4
. 14.13 解析 ∵AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120°，∴由余弦定理可得BC ＝19，又根据余弦定理可得cos ∠ABC ＝
419，AM →·BC →＝(BM →－BA →)·BC →＝λBC →2－BA →·BC →＝19λ－3×19×419
＝－173， 解得λ＝13
. 15．①③
解析 ①已知a ，b 都是正数，a ＋1b ＋1＞a b
，ab ＋b ＞ab ＋a ，则a ＜b 正确； ②若f (x )是常函数，则f (1)＜f (2)不成立，
③命题“存在x ∈R ，使得x 2－2x ＋1＜0”是假命题，则它的否定是真命题；
④“x ≤1且y ≤1”⇒“x ＋y ≤2”，反之不成立，则“x ≤1且y ≤1”是“x ＋y ≤2”的充分不必要条件．
正确的命题序号为①③.
16．(6，＋∞)
解析 三角形的边长为正数，而且任意两边之和大于第三边才能构成三角形，故只需求出函数在区间[0,2]上的最小值与最大值，从而可得不等式，即可求解．
令f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)＝0，
则x 1＝1，x 2＝－1(舍去)，
∵函数的定义域为[0,2]，∴当x ∈[0,1)时，f ′(x )＜0，
当x ∈(1,2]时，f ′(x )＞0，
∴函数f (x )在区间[0,1)上是减少的，在区间(1,2]上是增加的，
则f (x )min ＝f (1)＝m －2，f (x )max ＝f (2)＝m ＋2，f (0)＝m ，
由题意知，f (1)＝m －2＞0；①
由f (1)＋f (1)＞f (2)，得－4＋2m ＞2＋m ，②
由①②得m >6.
17．解 (1)∵f (x )＝m ·n ＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x 4
＝32sin x 2＋12cos x 2＋12
＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＋12， 而f (x )＝1，∴sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝12.
又∵2π3
－x ＝π－2⎝⎛⎭⎫x 2＋π6， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x ＝－cos ⎣⎡⎦
⎤2⎝⎛⎭⎫x 2＋π6 ＝－1＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝－12
. (2)∵a cos C ＋12c ＝b ，∴a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋12
c ＝b . 即b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝12
. 又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3
. 又∵0＜B ＜2π3
， ∴π6＜B 2＋π6＜π2
，∴f (B )∈⎝⎛⎭⎫1，32. 18．解 (1)由正弦定理，得2(c －a )＝b ，即b c －a
＝2； (2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2(c －a )＝b ，b ＝2，BA →·BC →＝ca cos B ＝32
， 即⎩⎪⎨⎪⎧ c －a ＝1，ca ·a 2＋c 2－b 22ac ＝32，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1，c ＝2，所以cos B ＝34， 所以sin B ＝74，所以S ＝12ac sin B ＝74.
19．解 (1)∵f (x )＝x 2
1＋x 2
，
∴f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝22
1＋2
2＋⎝⎛⎭⎫1221＋⎝⎛⎭
⎫122＝221＋22＋122＋1＝1， 同理可得f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＝1，f (4)＋f ⎝⎛⎭⎫14＝1. (2)由(1)猜想f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫
1x ＝1.
证明：f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 21＋x 2＋⎝⎛⎭⎫1x 2
1＋⎝⎛⎭
⎫1x 2 ＝x 21＋x 2＋1
x 2＋1
＝1. (3)令S ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (2 011)＋f ⎝⎛⎭⎫12 011＋f ⎝⎛⎭⎫12 010＋…＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)， 则S ＝f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋…＋f ⎝⎛⎭⎫12 011＋f (2 011)＋f (2 010)＋…＋f (2)＋f (1)， 则2S ＝4 022，故S ＝2 011.
20．解 (1)因为m ＝(sin x ，cos x )，n ＝⎝⎛⎭
⎫
32，12，且m ∥n ，
所以sin x ·12＝cos x ·3
2，即tan x ＝3，
又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，所以x ＝π3. (2)因为m ＝(sin x ，cos x )，n ＝⎝⎛⎭
⎫
32，12，且m·n ＝35， 所以
32sin x ＋12cos x ＝35
， 即sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝35，令θ＝x ＋π6， 则x ＝θ－π6，且sin θ＝35，
因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，故θ∈⎣⎡⎦⎤π6，π2， 所以cos θ＝1－sin 2θ＝
1－⎝⎛⎭⎫352＝4
5，
所以sin ⎝⎛⎭⎫x －π12＝sin ⎝⎛⎭
⎫θ－π6－π
12 ＝sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝sin θcos π4－cos θsin π4＝35×22－45×22＝－210
.
21．解 (1)由题意， 得
S (t )＝p (t )·q (t )＝(140－|t －40|)⎝
⎛⎭⎫1＋a 2
t ＝⎩⎨⎧
100＋a 2＋t ＋100a 2t
，1≤t ＜40，t ∈N ＋，
180－a 2
－t ＋180a
2
t
，40≤t ≤60，t ∈N ＋
.
(2)当40≤t ≤60且t ∈N ＋时，S (t )＝180－a 2－t ＋
180a 2
t
， 当t 增加时180a 2
t 减小，所以S (t )在40≤t ≤60上是减少的，
所以当t ＝60时，S (t )有最小值2a 2＋120. 当1≤t ＜40且t ∈N ＋时，S (t )＝100＋a 2＋t ＋
100a 2
t
≥100＋a 2＋20a (当且仅当t ＝10a 时，等号成立)，
①若a ＝1或2或3；当t ＝10a 时，上述不等式中的等号成立， S (t )在1≤t ＜40范围中有最小值a 2＋20a ＋100. 又在40≤t ≤60时S (t )有最小值2a 2＋120.
当a ＝1时，100＋a 2＋20a ＝121＜122＝2a 2＋120， 故S (t )有最小值121；
当a ＝2或a ＝3时，100＋a 2＋20a ＞2a 2＋120， 故S (t )有最小值2a 2＋120. ②若a ≥4且1≤t ＜40时，
因为S (t ＋1)－S (t )＝1＋100a 2t ＋1－100a 2t ＝1－100a 2
t (t ＋1)<0，
所以S (t ＋1)<S (t )，
故S (t )在1≤t <40时是减少的；又S (t )在40≤t ≤60时是减少的，且100＋a 2＋40＋
100a 2
40
＝180－a 2－40＋
180a 2
40
， 所以S (t )在1≤t ≤60时是减少的． 所以，当t ＝60时，S (t )有最小值2a 2＋120. 综上，若a ＝1，当t ＝10时，S (t )有最小值121； 若a ≥2且a ∈N *，当t ＝60时，S (t )有最小值2a 2＋120. 22．解 (1)f ′(x )＝e x －a .
①若a ≤0，f ′(x )＞0，f (x )在(－∞，＋∞)上是增加的，无极值，不符合题意； ②若a ＞0，令f ′(x )＝0，得x ＝ln a ，
当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )＜0，f (x )在(－∞，ln a )上是减少的；
当x ∈(ln a ，＋∞)时， f ′(x )＞0，f (x )在(ln a ，＋∞)上是增加的． 所以，当x ＝ln a 时，f (x )取到极小值， f (ln a )＝e ln a －a ln a －1＝0，即a ln a －a ＋1＝0. 令φ(a )＝a ln a －a ＋1(a >0)， 则φ′(a )＝ln a ＋a ·1
a
－1＝ln a ，
当0＜a ＜1时，φ′(a )＜0，φ(a )是减少的； 当a ＞1时，φ′(a )＞0，φ(a )是增加的． 又φ(1)＝0，所以a ln a －a ＋1＝0有唯一解a ＝1. (2)由(1)知，f (x )＝e x －x －1， 当x ≥0时，f (x )≥mx ln(x ＋1)恒成立，
即e x －x －mx ln(x ＋1)－1≥0(x ∈[0，＋∞))恒成立． 令g (x )＝e x －x －mx ln(x ＋1)－1(x ∈[0，＋∞))， 则g ′(x )＝e x －1－m ln(x ＋1)－mx
x ＋1(x ∈[0，＋∞))，
令h (x )＝e x －1－m ln(x ＋1)－
mx
x ＋1
(x ∈[0，＋∞))， 则h ′(x )＝e x －m ⎣⎡⎦
⎤1(x ＋1)2＋1
x ＋1，
h ′(0)＝1－2m,0＜1(x ＋1)2＋1
x ＋1≤2(当且仅当x ＝0时取“＝”)．
①当m ≤0时，h ′(x )＞0，h (x )在[0，＋∞)上是增加的， 所以h (x )min ＝h (0)＝0，即h (x )≥0，
即g ′(x )≥0，所以g (x )在[0，＋∞)上是增加的， 所以g (x )min ＝g (0)＝0，所以g (x )≥0， 所以e x －x －mx ln(x ＋1)－1≥0， 即f (x )≥mx ln(x ＋1)恒成立． ②当0＜m ≤1
2时，h ′(x )是增函数，
h ′(x )min ＝h ′(0)＝1－2m ≥0，
所以h ′(x )＞0，故h (x )在[0，＋∞)上是增加的， 所以h (x )min ＝h (0)＝0，即g ′(x )≥0，
所以g (x )在[0，＋∞)上是增加的，所以g (x )min ＝g (0)＝0， 所以g (x )≥0，即f (x )≥mx ln(x ＋1)恒成立．
③当m ＞1
2
时，h ′(x )是增函数，h ′(x )min ＝h ′(0)＝1－2m ＜0，
当x →＋∞时，e x →＋∞，－m ⎣⎡⎦
⎤1(x ＋1)2＋1
x ＋1→0，
所以h ′(x )→＋∞，则存在x 0＞0，使得h ′(x 0)＝0， 当x ∈(0，x 0)时，h ′(x )＜0，h (x )在(0，x 0)上是减少的， 此时h (x 0)＜h (0)＝0，即g ′(x )＜0，x ∈(0，x 0)，
所以g (x )在(0，x 0)上是减少的，g (x 0)＜g (0)＝0，不符合题意． 综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12.
滚动检测四
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．
2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．
3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合M ＝{x |lg x ＜1}，N ＝{x |－3x 2＋5x ＋12＜0}，则( ) A ．N ⊆M B ．∁R N ⊆M
C ．M ∩N ＝⎝⎛⎭⎫－∞，－4
3∪(3,10) D ．M ∩(∁R N )＝(0,3]
2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ－sin 2θ等于( ) A ．－4
5
B ．－35
C. 35
D. 45
3．(2018届衡水联考)已知命题p ：任意x ∈R ，(2－x )1
2
<0，则命题綈p 为( )
A ．存在x ∈R ，(2－x )1
2>0
B ．任意x ∈R ，(1－x )1
2>0
C ．任意x ∈R ，(1－x )1
2≥0
D ．存在x ∈R ，(2－x )1
2
≥0
4．(2018·济宁模拟)曲线y ＝3ln x ＋x ＋2在点P 处的切线方程为4x －y －1＝0，则点P 的坐标是( ) A ．(0,1) B ．(1,0) C ．(1，－1)
D ．(1,3)
5．设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,1)，若向量a －λb 与向量c ＝(5，－2)共线，则λ的值为( ) A.43 B.413 C ．－49
D ．4
6．(2017·贵阳适应性考试)设命题p ：若y ＝f (x )的定义域为R ，且函数y ＝f (x －2)图像关于点(2,0)对称，则函数y ＝f (x )是奇函数，命题q ：任意x ≥0， 12
x ≥13
x ，则下列命题中为真命题的是( ) A ．p 且q B ．(綈p )或q C ．p 且(綈q )
D ．(綈p )且(綈q )
7．已知a ＝1
2
13⎛⎫ ⎪⎝⎭
，b ＝1
2
1log 3，c ＝31
log 2
，则( ) A ．c >b >a B ．b >c >a C ．a >b >c
D ．b >a >c
8．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，B ＝30°，△ABC 的面积为3
2，则b 等于( )
A.1＋32
B ．1＋ 3 C.2＋32
D ．2＋ 3
9．(2018届吉林松原模拟)已知△ABC 外接圆的圆心为O ，AB ＝23，AC ＝22，A 为钝角，M 是BC 边的中点，则AM →·AO →
等于( )。