变质量系统力学浅谈

变质量系统力学浅谈

姓名：傅航 学号：000663 班级：精仪01

课本中给出了一个变质量质点的运动微分方程：

设变质量质点P 在惯性系Oxyz 中运动，用1u 和2u 分别表示在时刻t 从质点P 分离出去和并入的微粒的绝对速度，用1m ∆和2m ∆分别表示分离质量和并入质量，质点P 的绝对速度为v ，令1122,r r u u v u u v =-=-，则：

1212r r

dm dm dv

m

F u u dt dt dt =-+（1） 当只有分离质量或只有并入质量时，上式可化简为：

r

dv dm

m

F u dt dt

=+（2） 当分离或并入质量的绝对速度为零时有：()

d mv F dt

=，形式上常质量质点动量定理的

微分形式相同；当分离或并入的相对速度为零时有：dv

m F dt

=，形式上与常质量质点运动

基本方程相同。 令111r

dm u dt Φ=-，2

22r dm u dt

Φ=，12Φ=Φ+Φ，其中Φ称为反推力，则（1）式可变为：dv m F dt

=+Φ（3） 此即密歇尔斯基方程。

由于21dm dm dm dt dt dt

=-，令12

12r

r

r dm dm u u dt dt u dm dt -+=，r

u v u =+，则 r

dv dm

m F u dt dt =+ ()d mv dm

F u

dt dt

=+（4） 此即变换了的密歇尔斯基基本方程。

下面介绍变质量质点动力学普遍定理 一、动量定理

设变质量质点任一瞬时的质量为m ，绝对速度为v ，则其动量为p mv = 故可将（4）式变为

dp dm F u dt dt

=+（5） 因为r u v u =+，所以

dp dm

F v

dt dt

=+Φ+（6） 这是变质量质点动量定理的另一种形式。

二、量矩定理

设变质量质点的运动用由定参考坐标系原点引出的矢径r 来描述，则该质点的动量对坐标原点的动量矩为L r mv =⨯

()()()()dL d dr d d d

r mv mv r mv v mv r mv r mv dt dt dt dt dt dt

=⨯=⨯+⨯=⨯+⨯=⨯ 把（4）式代入得：

dL dm

r F r u dt dt

=⨯+⨯（7） 三、动能定理

2222dT d mv dm v dv

mv dt dt dt dt

⎛⎫==+ ⎪

⎝⎭ 把（4）式代入得

2

2

dT dm v F v v dt dt =++Φ（8） 又因dr

v dt

=

，所以上式可以改写成 2222

mv v d dm F dr dr ⎛⎫=++Φ ⎪⎝⎭（9） 变质量刚体动力学普遍定理

一、概念

变质量质点系是有限个或无限个变质量质点的集合，各质点之间有着各种形式的联系，这些质点的运动都由变换了的密歇尔斯基方程来描述，即

()()(1,2,3,...,)e i i

i

i i dv m F F i n dt

=++Φ= 式中

i m ——点i 在瞬时t 的质量； i v ——点i 相对定参考系的速度 ()e i F ——作用于点i 的所有外力的合力

()i i F ——作用于点i 的所有内力的合力 i Φ——作用于点i 的反推力，其值为

()

1r i i dm v dt

Φ=

其中

12

i i i dm dm dm dt dt dt

=-

()()

1212

()r r i i i i r i i dm dm v v dt

dt v dm dt

-=

相加得：

1

n

i

i

i dv m R dt

==+Φ∑（10） 因为

()1

n

e i

i

c i dv m ma dt

==∑，()()()e r k c c c c a a a a =++ 所以

()()r k c c c ma R ma ma =+Φ++（11）

此即变质量体的质心运动的第二个定理。 二、动量定理 相对于定参考系

第一定理：1n

i i i dm dp

R u dt dt ==+∑ 第二定理：1n

i i i dm dp

R v dt dt

==+Φ+∑ 第三定理：

()()

12

e k c c dp dm R v ma dt dt =+Φ++ 三、动量矩定理 第一定理：

u R dL

M M dt

Φ=+ 其中()

1

n

e R i i

i M r F

==

⨯∑，1

u n

i ui

i M r Φ==

⨯Φ

∑

第二定理：1

n

i R i i i dm dL

M M r v dt dt Φ==++⨯∑ 其中1

n

i i

i M r Φ==

⨯Φ

∑