高等数学A第6章多元函数微分学9-10(多元函数的极值 条件极值—拉格朗日乘数法则)

极值, 则f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0.
证
设z f ( x, y)在( x0 , y0 )取得极小值, 则f ( x, y) f ( x0 , y0 ),
取x x0 , y y0 , 仍有f ( x0 , y) f ( x0 , y0 ),
当 ( x, y ) 沿直线 A( x x0 ) B( y y0 ) 0 接近( x0 , y0 )
时, 有 Ah B k 0 , 故 Q(h, k ) 与 A 异号;
当 ( x, y ) 沿直线 y y0 0 接近( x0 , y0 )时, 有 k 0 , y 故 Q(h, k ) 与 A 同号.
3 2 例1 求f ( x , y ) x y y 3 x 2 1的极值. 2
3 3
例 2 求由方程x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 4 z 10 0 所确定的函数z z ( x , y )的极值.
例4. 设 f(x , y)=2x2-3xy2+y 4, 求它的极值
( 2) z f ( x , y)在极值点处的切平面为 z z0 , 平行于xoy面.
(3) 如果三元函数 u f ( x , y , z ) 在点 P ( x0 , y0 , z0 ) 具有 偏导数，则它在 P ( x0 , y0 , z0 ) 有极值的必要条件为 f x ( x 0 , y0 , z 0 ) 0 ， f y ( x 0 , y0 , z 0 ) 0 ， f z ( x 0 , y0 , z 0 ) 0 .
2 (1)对x求偏导得1 z x zz xx 2 z xx 0
(1)对y求偏导得z y z x zz xy 2 z xy 0
2 ( 2)对y求偏导得1 z y
zz yy 2z yy 0
1 1 在(1, 1,6)处, A 0, B 0, C , 4 4 B2 AC 0, 有极大值; 1 1 在(1, 1, 2)处, A 0, B 0, C , 4 4
则有 z f ( x0 h , y0 k ) f ( x0 , y0 )
2 1 [ f ( x h , y k ) h 0 2 xx 0 2 f x y ( x0 h , y0 k ) hk f y y ( x0 h , y0 k ) k 2 ]
极小值为f ( 2,0) 3.
例 2 求由方程x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 4 z 10 0 所确定的函数z z ( x , y )的极值.
解
方程两边对x , y求偏导得
2 x 2zz x 2 4 z x 0
2 y 2 zz y 2 4 z y 0
B2 AC 0, 有极小值.
极大值为z (1, 1) 6, 极小值为z (1, 1) 2.
解 显然 (0,0) 都是它们的驻点 , 并且在 (0,0) 都有
z
在(0,0)点邻域内的取值
正 可能为 负 , 因此 z(0,0) 不是极值. 0
可见 △z 在 (x0 , y0) 邻近有正有负,
因此 f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 无极值 ;
( x0 , y0 )
o
x
若 A＝C ＝0 , 则必有 B≠0 , 不妨设 B＞0 , 此时
Q(h, k ) Ah 2 2 B hk C k 2 2 B hk 对点 ( x0 h, y0 k ) 当 h , k 同号时 , Q(h, k ) 0 , 从而 z 0 , 当 h , k 异号时 , Q(h, k ) 0 , 从而 z 0 , y 可见 △z 在 (x , y ) 邻近有正有负,
第一步 解方程组 f x ( x , y ) 0,
求出实数解，得驻点.
f y ( x, y) 0
第二步 求 f xx ( x , y ), f xy ( x , y ), f yy ( x , y ).
第三步 对于每一个驻点( x0 , y0 ) ，
求出二阶偏导数的值 A、B、C.
第四步 定出 B 2 AC 的符号，再判定是否是极值.
(1)
( 2)
1 x 1 y zx , zy z2 z2
令z x 0, z y 0得x 1, y 1, 从而z1 6, z2 2.
下面考虑函数z z ( x , y )在(1, 1,6)及(1, 1, 2) 的邻域内取值情况
令F ( x , y, z ) x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 4 z 10
表明一元函数 f ( x0 , y)在y y0取得极小值,
f y ( x0 , y0 ) 0.
同理可证f x ( x0 , y0 ) 0.
注意:
(1)若f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0, 则称( x0 , y0 ) 为z f ( x , y )的驻点.
其中 , , 是当h →0 , k →0 时的无穷小量 ,于是
z
1 [ Ah 2 2
2 B hk C k ]
2
1 [ h 2 2
2 hk k ]

2 1 Q ( h , k ) o ( ) 2
( h2 k 2 )
因此当 h , k 很小时 , z 的正负号可由 Q(h , k ) 确定 .
高等数学A
第6章多元函数微分学
6.3 多元函数微分的应用
6.3.3 多元函数的极值 6.3.4 条件极值—拉格朗日乘数法
中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组
6.3 多元函数微分的应用
二元函数极值的定义 极值存在的必要、充分条件
极多 值元 函 数 的 极 值 与 乘条 数件 法
6.3.3 多元函数的极值 求函数极值的步骤与习例1-3 多元函数的最值问题 多元函数的最值问题习例4-7 条件极值
( 2) A f xx 6 x 6, B f xy 0, C f yy 6 y 3
( 3)在(0,0)处A 6 0, B 0, C 3,
B2 AC 18 0, 无极值;
在(0, 1)处A 6 0, B 0, C 3,
函数 z 3 x 2 4 y 2 在 ( 0,0) 处有极小值．
(1)
函数 z x 2 y 2 在 (0,0) 处有极大值．
(2)
函数 z xy 在 (0,0) 处无极值．
(3)
2.极值存在的必要条件和充分条件
定理1（极值存在的必要条件） 设z f ( x , y )在( x0 , y0 )具有偏导数, 且在( x0 , y0 )取得
o x Q(h, k )可能
此时
2 z 1 Q ( h , k ) o ( ) 2
因为 Q(h, k ) 0 时, z 的正负号由 o( 2 ) 确定 ,
因此,不能断定 (x0 , y0) 是否为极值点 .
3. 求函数极值的步骤与习例
求函数 z f ( x , y ) 极值的一般步骤：
则Fz 2z 4 由于Fz (1, 1,6) 8 0, Fz (1,1, 2) 8 0,
从而确定了z f1 ( x, y), z f2 ( x, y)
由于2 x 2zz x 2 4 z x 0 (1) 2 y 2 zz y 2 4 z y 0 ( 2)
则 (1)当B2 AC 0时, 有极值,
A 0时有极大值, A 0时有极小值;
(2)当B2 AC 0时, 没有极值;
( 3)当AC B 2 0时, 为可能极值, 需另作讨论.
证: 由二元函数的泰勒公式, 并注意
f x ( x0 , y0 ) 0 , f y ( x0 , y0 ) 0
在点 ( x0 , y0 ) 有极小值 ;
当A 0 时, Q(h, k ) 0 , 从而 △z＜0, 因此 f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 有极大值 ;
(2) 当 B2 － AC >0 时, 若A , C不全为零, 无妨设 A≠0,
则
2 2 2 k ] Q(h, k ) 1 [( A h B k ) ) ( AC B ) A
3 2 例1 求f ( x , y ) x y y 3 x 2 1的极值. 2 2 f 3 x 6x 0 x 0, x 2 x 解 (1)由 得 2 y 0, y 1 f 3 y 3 y 0 y
3 3
驻点有(0,0), (0, 1), ( 2,0), ( 2, 1)
(4)驻点
极值点（可偏导函数）
定理2（极值存在的充分条件）
设z f ( x , y)在U ( P0 , )内连续, 且有一阶及二阶连续 偏导数, 又 f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0,
令 A f xx ( x0 , y0 ), B f xy ( x0 , y0 ), C f yy ( x0 , y0 ),
则称z f ( x, y)在P0 ( x0 , y0 )有极大值或极小值f ( x0 , y0 ).
极大值与极小值统称为极值. P0 ( x0 , y0 )为极值点. 若引进点函数, 则 当f ( P ) f ( P0 )时, f ( P0 )为极大值;
当f ( P ) f ( P0 )时, f ( P0 )为极小值.
0 0
－ +
因此 f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 无极值 ;
(3) 当AC－B2 ＝0 时,
+ ( x0 , y0 )
2 1 Q ( h , k ) ( A h B k ) 若 A≠0, 则 A 2 为零或非零 Q ( h , k ) C k 若 A＝0 , 则 B＝0 ,
—Lagrange
6.3.4 条件极值— Lagrange乘数法则 小结 思考题
Lagrange乘数法 Lagrange乘数法习例8-12
一、多元函数的极值
1.二元函数极值的定义 设z f ( x , y)在U ( P0 ( x0 , y0 ), )内有定义, 对于一切
异于P0的点P ( x , y), 若都适合不等式 f ( x, y) f ( x0 , y0 ) (或f ( x, y) f ( x0 , y0 ))
由于 f ( x , y ) 的二阶偏导数在点 ( x0 , y0 ) 连续, 所以 f x x ( x0 h , y0 k ) A
f x y ( x0 h , y0 k ) B f y y ( x0 h , y0 k ) C
(1) 当 B2 － AC <0 时, 必有 A≠0 , 且 A 与C 同号,
Q(h, k )
可见 , 当 A 0 时, Q(h, k ) 0 , 从而△z＞0 , 因此 f ( x, y )
1 [( Ah 2 2 AB h k B 2 k 2 ) ( AC B 2 ) k 2 ] A 1 [( Ah B k ) 2 ) ( AC B 2 ) k 2 ] A
B2 AC 18 0, 有极大值;
在( 2,0)处A 6 0, B 0, C 3,
B2 AC 18 0, 有极小值;
在( 2, 1)处A 6 0, B 0, C 3,
B AC 18 0无极值.
2
3 极大值为f ( 0, 1) , 2