2021届高考数学(浙江专用)一轮课件：§3.8 函数模型及函数的综合应用

当x<0时,x=- a 时取最大值-2 a .
4.解函数应用题的步骤(四步八字) (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型; (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数 学知识建立相应的数学模型; (3)求模:求解数学模型,得出数学结论; (4)还原:将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义. 以上过程用框图表示如下:
192 eb,
eb 192,
解析 (1)由题意得
48
e22kb , 解得e11k
1, 2
当x=33时,y=e33k+b=(e11k)3eb=
1 2
3
×192=24.
(2)①由题意知,当燕子静止时,它的速度为0,代入题目所给关系式可得0=5
log2 1Q0 ,解得Q=10,
即燕子静止时的耗氧量为10个单位.
①写出y关于x的函数关系式,并指出这个函数的定义域; ②求羊群年增长量的最大值; ③当羊群的年增长量达到最大值时,求k的取值范围.
解题导引 (1)根据图象信息,确定函数解析式.
(2)由于最大蓄养量为m只,实际蓄养量为x只,则蓄养率为 mx ,故空闲率为1 x .建立函数模型后,利用函数的最值求羊群年增长量的最大值.
n
点分别为x=xi(i=1,2,…,n),则 i1 xi= ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
解题导引 分别判断出两个函数图象都关于直线x=1对称,作出两个函数 的图象,由图象知两个函数图象有7个交点,结合图象的对称性进行求解即 可.
1 |x-1|
1 |x-1|
1 |x-1|
利润;若1≤c<3,则当日产量为c万件时,可获得最大利润.
方法总结 1.解决分段函数模型问题应关注以下三点:
(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出,而是由几个不
同的关系式构成,如出租车车费与路程之间的关系,应构建分段函数模型求
解;
(2)构造分段函数时,要力求准确、简洁,做到分段合理不重不漏;
3
方法总结 解决函数模型的实际应用题,首先应考虑该题考查的是何种函 数,并要注意定义域,然后结合所给模型,列出函数关系式,最后结合其实际 意义作出解答.明确下面的基本解题步骤是解题的必要基础:
考法二 函数的综合应用
1 |x-1|
例5 (2019山西吕梁模拟,12)记函数f(x)= 2 +cos πx在区间(-2,4)上的零
x
(3)关注函数的定义域,取得最值时等号成立的条件.
例3 (1)(2015四川)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃) 满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃ 的保鲜时间是 小时. (2)燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬,研究燕子的科学家发现,两岁燕子
余为合格品)
已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元,但每生产1万件次品将亏损1
万元,故厂方希望定出合适的日产量.
(1)试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T(万元)表示为日产量x(万件)的
函数;
(2)当日产量为多少时,可获得最大利润?
解析 (1)当x>c时,P= 23 ,∴T= 13 x·2- 23 x·1=0.当1≤x≤c时,P= 61-x ,
9 6-x
≤15-12=3,
当且仅当x=3时取等号.故Tmax=3,此时x=3.
(ii)当1≤c<3时,由T'=
2x2
-24x (6-x)2
54
=
2(x-3)(x-9) (6-x)2
>0知,函数T= 9x6--2xx2
在[1,c]上
递增,∴当x=c时,Tmax= 9c6--2cc2 ,综上,若3≤c<6,则当日产量为3万件时,可获得最大
知能拓展
考法一 解函数应用题的方法步骤
例1 (1)某人根据经验绘制了2019年春节前后,从12月21日至1月8日自己 种植的西红柿的销售量y(千克)随时间x(天)变化的函数图象,如图所示,则 此人在12月26日大约卖出了西红柿 千克.
(2)牧场中羊群的最大蓄养量为m只,为保证羊群的生长空间,实际蓄养量不 能达到最大蓄养量,必须留出适当的空闲量.已知羊群的年增长量y只和实 际蓄养量x只与空闲率的乘积成正比,比例系数为k(k>0).
例4 某店销售进价为2元/件的产品A,该店产品A每日的销售量y(单位:千
件)与销售价格x(单位:元/件)满足关系式y= x1-02 +4(x-6)2,其中2<x<6.
(1)若产品A销售价格为4元/件,求该店每日销售产品A所获得的利润; (2)试确定产品A的销售价格,使该店每日销售产品A所获得的利润最大.(保 留1位小数) 解题导引
(1)
(2)
解析 (1)当x=4时,y= 120 +4×(4-6)2=21,此时该店每日销售产品A所获得的利
润为(4-2)×21=42千元.
(2)设该店每日销售产品A所获得的利润为f(x)千元,
则f(x)=(x-2)· x1-02
4(x-6)2
=10+4(x-6)2(x-2)=4x3-56x2+240x-278(2<x<6),
的飞行速度可以表示为函数v=5log2 1Q0,单位是m/s,其中Q表示燕子的耗氧量.
①试计算:燕子静止时的耗氧量是多少个单位; ②当一只燕子的耗氧量是80个单位时,它的飞行速度是多少? 解题导引 (1)把题设中两组时间与温度的值代入函数解析式,利用方程思 想解题.
(2)①令0=5log2 1Q0 ,求出Q;②将Q=80代入关系式求解.
例2 某工厂生产一种仪器的元件,由于受生产能力和技术水平的限制,会
产生一些次品,根据经验知道,其次品率P与日产量x(万件)之间满足关系:
P=
1 ,1 6-x 2 ,x 3
c
x
c,
(其中c为小于6的正常数).
(注:次品率=次品数/生产量,如P=0.1表示每生产10件产品,有1件为次品,其
答案 (1) 1990
方法总结 一次函数、二次函数模型问题的常见类型及解题策略 单一考查一次函数或二次函数模型.解决此类问题应注意三点: ①二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决,但一定要密切注 意函数的定义域,否则极易出错; ②确定一次函数模型时,一般是借助两个点来确定,常用待定系数法; ③解决函数应用问题时,最后要还原到实际问题.
∴T= 1- 61-x
1
·x·2-6 -x
9x-2x2
·x·1= 6-x
.综上,每天的盈利额T(万元)与日产量x(万件)
9
Baidu Nhomakorabea
x-2
x
2
,1
x
c,
的函数关系为T= 6-x
0,x c.
(2)由(1)知,当x>c时,每天的盈利额为0万元,∴1≤x≤c.
(i)当3≤c<6时,T= 9x6--2xx
2
=15-2 (6-x)
解析 由f(x)= 2 +cos πx=0得- 2 =cos πx,设g(x)=- 2 ,h(x)=cos πx,
则g(x)的图象关于直线x=1对称,h(x)的图象也关于直线x=1对称,作出两个
函数的图象,如图,由图象知在(-2,4)上两个函数图象有7个交点,其中6个交
点两两关于直线x=1对称,第7个交点的横坐标为1,设关于直线x=1对称的6
空闲率为1- mx ,由此可得y=kx 1- mx
(0<x<m);
②由①,得y=- mk (x2-mx)=- mk
x-
m 2
2
+ k4m
.
即当x= m 时,y取得最大值 km ;
2
4
③由题意知为给羊群留有一定的生长空间,则有实际蓄养量与年增长量的
和小于最大蓄养量,即0<x+y<m.
因为当x= m2 时,ymax= k4m ,所以0< m2 + k4m <m,解得-2<k<2.又因为k>0,所以0<k<2.
y轴 接近于平行
接近于④ 平行
联系
存在一个x0,当x>x0时,有logax<xα<ax
3.“对勾”函数的性质
函数f(x)=x+ ax (a>0).
(1)该函数在(-∞,- a ]和[ a ,+∞)上单调递增,在(- a ,0)和(0, a )上单调递减.
(2)当x>0时,x= a 时取最小值2 a ;
f(x)=x+ xa (a>0)
2.三种增长型函数模型的性质比较
函数性质 在(0,+∞)上的增减性 增长速度
y=ax(a>1) 增函数 越来越快
y=logax(a>1) ① 增函数 越来越慢
y=xα(α>0) ② 增函数 相对平稳
图象的变化
随x值的增大图象与③ 随x值的增大图象与x轴 随α值变化而不同
高考数学
§3.8函数模型及函数的综合应用
考点清单
考点 函数模型及函数的综合应用
1.几种常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)
二次函数模型
f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
指数函数模型 对数函数模型 幂函数模型 “对勾”函数模型
f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0) f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0) f(x)=axn+b(a,b为常数,a≠0,n≠0)
实践探究
例 (2020届河南八市重点中学9月月考,21)“2019年”是一个重要的时间 节点——中华人民共和国成立70周年和全面建成小康社会的关键之年.70 年披荆斩棘,70年砥砺奋进,70年风雨兼程,70年沧桑巨变,勤劳勇敢的中国 人用自己的双手创造了一项项辉煌的成绩,取得了举世瞩目的成就.趁此良 机,李明在某网店销售“新中国成立70周年纪念册”,每本纪念册进价4元, 物流费、管理费共为m(1≤m≤3)元/本,预计当每本纪念册的售价为x元(9 ≤x≤10)时,月销售量为(14-x)千本. (1)求月利润f(x)(千元)与每本纪念册的售价x的函数关系式,并注明定义域; (2)当x为何值时,月利润f(x)最大?并求出最大月利润.
(3)分段函数的最值是各段的最大(或最小)值中的最大(或最小)值.
2.函数y=ax+ b 模型的应用
x
(1)明确对勾函数是由正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b 叠加而成的;
x
(2)解决实际问题时一般可以直接建立f(x)=ax+ b 的模型,有时将所列函数
x
解析式转化为f(x)=ax+ b 的形式;
②将耗氧量Q=80代入关系式得v=5log2 1800 =5log28=15(m/s),即当一个燕子的
耗氧量为80个单位时,它的飞行速度为15 m/s.
答案 (1)24
方法总结 应用指数函数模型的关注点: (1)指数函数模型的应用类型.常与增长率相结合进行考查,在实际问题中 有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来 解决. (2)应用指数函数模型的关键是对模型的判断,先设定模型,再将已知有关 数据代入验证,确定参数,从而确定函数模型. (3)y=a(1+x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解.
m
解析 (1)前10天满足一次函数关系,设为y=kx+b,k≠0,将点(1,10)和点(10,3
0)代入函数解析式得
10 30
k b, 10k
b,
解得k= 290 ,b= 790 ,所以y= 290 x+ 790 ,则当x=6
时,y= 1990 .
(2)①根据题意,由于最大蓄养量为m只,实际蓄养量为x只,则蓄养率为 mx ,故
个交点的横坐标从小到大为a,b,c,d,e,
f,则满足 a
f
= b e = c d
n
=1,所以
222
i 1
xi=3×2+1=6+1=7,故选C.
答案 C
方法总结 函数的综合应用基本思路: (1)首先确定函数的定义域; (2)拆分或化简解析式; (3)确定函数的单调性、奇偶性、周期性; (4)引入导数、不等式等工具,运用数形结合、分类讨论、化归与转化等数 学思想解决问题.
从而f '(x)=12x2-112x+240=4(3x-10)(x-6)(2<x<6).
令f '(x)=0,得x= 130 ,易知在 2,130 上, f '(x)>0,函数f(x)单调递增;在 130 ,6上,
f '(x)<0,函数f(x)单调递减.所以f(x)在x=1 30 处取得极大值,即最大值.所以当x= 10 ≈3.3时,函数f(x)取得最大值.故当销售价格为3.3元/件时,利润最大.
解题导引 本例以“中华人民共和国成立70周年”为背景创设情境,设计 考查二次函数模型的建立及运用,以模型解决实际问题.