一道课本习题解题方法的思考
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面 我 们 就 结合 根 与 系 数 关 系 介 绍 一 种 设 而 不 求 的 解 题 方法．
‘
．
‘ ｘ ） Ｂ（ 一ｚ， 一 在 圆上 Ａ（ ， ４ 一２ ） （ １ ＋ 。 ２ ｚ一 ） 一 ５
．
① ②
（ 一ｚ一１ ＋ （ ２ ４ ） 一 一 ） 一２ ５
以上 两 式 相 减 ４ 一 一 １ 一。 简 得 ｚ ２ 化
。 有 ｚ ＋ ｚ ‘碉 １ 十 ｚ 一—ｒ 一
． ．
・
’ ， 凼力 （ ’ ） 援 因为 Ｐ（ ， １ 为弦 ｚ ２一 力
－ ４解 得 忌 一
ＡＢ 的 中点 ，Ｉ ． ＋ ２ ４ 即 ． ７ ．． ２ １ — ．
÷， 将 一÷代入方程①， ＞ｏ △ 符合题意， 所以Ａ Ｂ弦 分 别 为 Ａ（ ， ）Ｂ（。 ｙ） ４ ｚ ｊ ， ｘ ，。贝 有 ，
中 点 的 弦所 在 直 线方 程 ． 解 法 一 ： 联立 法 ） （
２
．． ２
＋ １ 々一
①
１ ＋ ４ 一 ≠ ’ １ ６
以 两 相 墅 ＋ 上 式减 磊
ｚ＋２ 一４ —０
’
．
②
一化 得 ０简
③
设 以 Ｐ（ ， ） 中点 的 弦 Ａ１ ２ 一１ 为 ３的斜 率 为 ， 直 则 线 Ａ 的 方 程为 Ｙ （ １ 一 ｚ一２ Ｂ 一 一 ） （ ）
一
２ 一÷ （ ｏ ） 一１ ｚ ＋ｚ 一寺 （ｏ ＋ ） 即 ，
ｚｏ ４－ Ｘ ， 一 一 ２一 一 － Ｙｏ
’
．
Ａ（ ） Ｂ（ －Ｘ， －ｙ 在 曲线 上 ｘ， ４ 一２ ）
个
２
２
‘ ・ ・
例 １ 已 知椭 圆 ＋ ＝ １ 求 以点 Ｐ（ ， １ 为 ｙ ， ２一 ）
以定 点 为 中点 的 弦 的 方程 的 好 方 法 ， 捷 方 便 ， 于 掌 快 易 握 ， 得 推广 ， 们 可 以再 举 一 例 ， 体 会其 应 用 价 值 ． 值 我 以
例 ２ 若 Ｐ ２ 一 １ 为 圆 （ 一 １。 （， ） ． ｚ ） ＋ 一 ２ ５弦 ＡＢ 的 中点 ， 求直 线 ＡＢ的 方 程． 解 设 以 点 Ｐ（ ， ） 中点 的弦 ＡＢ 两点 的坐 标 ２ 一１ 为
得 ｚ＋２ 一４ —０ 点拨 ：点差 法 解 中 点 弦方 程 问题 固 然要 简 捷 的 多 ，
但 这 种解 法 也 有 它 的 弊端 ， 以 Ｐ（ ， １ 为 中 点 的 弦 即 ２一 ） ＡＢ是 否 存 在 ， 就 需要 我 们 把 直 线 方 程 代 入 到 椭 圆方 这 程 中加 以检 验 以验 证 其 存 在 性．
解 法 三 ： 以 点 Ｐ ２ 一１ 为 中点 的弦 与 椭 圆 交 于 设 （， ） Ａ、 Ｂ两 点 Ａ（ ， ， （ ｏ Ｙ ） 于 是 有 ｚ ） Ｂ ｘ ， ｏ ，
意想不到的效果． 教 学过程 中， 们要用 多种方 法， 在 我 从 各 个 不 同角 度 和 不 同 途 径 去 寻 求 问 题 的答 案 ， 一 用 题 多 解来 培 养 学 生 思 维 过 程 的 灵 活 性 ． 面 我 们 就 以 下 北 师 大版 《 修 》 材 （ － ） 习 题 二 Ａ 组 第 ８题 来 说 选 教 １１复 明 这 个 问题 ．
＋２ 一 ４ ０ ＝
整 理 得 （ ＋４ 。 一 ８ ２ １ 志） （ ｋ＋１ ｋｃ （ ｋ ） １ —０ ① ） ｓ＋４ ２ ＋１ 一 ６ 设 Ａ（ １ Ｙ ） Ｂ ｘ ， ２ ｘ ，１ ， （ ｚＹ ）
点 拨 ： 种解 法 实 际 上 利 用 了 曲线 上 的 对 称点 法 ， 这 构 思 巧妙 独 特 ， 避 免 了 繁 琐 的 计 算 确 实 是 我 们 解 决 也
ｆ 一 ｚ一 ２ 一 １ 忌
即 … ｋ ２ １由 ｚ ｙ ｘ ｋ 。 Ｚ
消 去 Ｙ得 。
ｉ １ 一 而 。
＋ ４ ① 、 Ａ、 ②． ． 一 定 也 适 合 ③式 ， － ． 则 以 点 Ｐ ２ 一１ 为 中点 的弦 Ａ 所在 直 线 方 程 为 （， ） Ｂ
・ ２ ４ ・
数 学教 育 研 究
２１ ０ ０年第 ２ 期
一
道课 本 习题解题 方法 的思考
王 雷 义 （ 河南省武陟县第一中学 ４４５） ５９０
深 入 研 究 教 材 中典 型 习题 ， 掘 概 念 的 内 涵 ， 利 挖 有 于我 们 掌 握 基 础 知识 ， 开发 其 使 用 价 值 ， 是 我 们 对 新 这 课 程 理 念 的 深 刻 理解 ． 圆 锥 曲 线 的 教 学 中 ， 点 弦 问 在 中 题 一 直 是 中学 教 学 的 一 类 重 要 问题 ， 是 高 考 的 热 点 也 问题 之 一 ， 常 规 解法 比较 繁琐 ， 果 我 们 能 改 变 常 规 但 如 解 题 思 路 ， 用 圆锥 曲线 的概 念 ， 将 对 我 们 解 题 起 到 善 这
所 在直线方程为 ｙ一÷ ｚ ， ｓ ｙ —０ 一２ 即 ｃ ＋２ ＂４
点 拨 ： 种 解 法 虽 是 圆锥 曲线 弦 的 问 题 通解 ， 而 此 然
２ 一÷ （ｏ ｃ 一１ ｚ ＋ｓ ） 一÷ （ ＋ ）即 ，
ＸＯ ４一 ｚ・Ｙｏ一 一 ２一 Ｙ 一
。 ．
计 算 量 大 ， 比较 繁 琐 ， 且 因此 在 解 题 过 程 中 我 们 一 定 要 讲 究 计 算 方 法 ， 重 细节 ， 高 运 算 的 准 确 性 和 运 算 的 注 提 速 度 ． 以要 开 辟 多 角 度 、 层 次 的 解 题 思 维 途 径 ． 所 多 下
— ｙ一 ３— ０
解 法 二 ：（ 点 作 差法 ） 代 设 以 Ｐ（ ， １ 为 中 点 的 弦 Ａ 设 Ａ（ ， １ ， ２一 ） Ｂ， ｙ ）
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例 ２ 若 Ｐ ２ 一 １ 为 圆 （ 一 １。 （， ） ． ｚ ） ＋ 一 ２ ５弦 ＡＢ 的 中点 ， 求直 线 ＡＢ的 方 程． 解 设 以 点 Ｐ（ ， ） 中点 的弦 ＡＢ 两点 的坐 标 ２ 一１ 为
得 ｚ＋２ 一４ —０ 点拨 ：点差 法 解 中 点 弦方 程 问题 固 然要 简 捷 的 多 ，
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解 法 三 ： 以 点 Ｐ ２ 一１ 为 中点 的弦 与 椭 圆 交 于 设 （， ） Ａ、 Ｂ两 点 Ａ（ ， ， （ ｏ Ｙ ） 于 是 有 ｚ ） Ｂ ｘ ， ｏ ，
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数 学教 育 研 究
２１ ０ ０年第 ２ 期
一
道课 本 习题解题 方法 的思考
王 雷 义 （ 河南省武陟县第一中学 ４４５） ５９０
深 入 研 究 教 材 中典 型 习题 ， 掘 概 念 的 内 涵 ， 利 挖 有 于我 们 掌 握 基 础 知识 ， 开发 其 使 用 价 值 ， 是 我 们 对 新 这 课 程 理 念 的 深 刻 理解 ． 圆 锥 曲 线 的 教 学 中 ， 点 弦 问 在 中 题 一 直 是 中学 教 学 的 一 类 重 要 问题 ， 是 高 考 的 热 点 也 问题 之 一 ， 常 规 解法 比较 繁琐 ， 果 我 们 能 改 变 常 规 但 如 解 题 思 路 ， 用 圆锥 曲线 的概 念 ， 将 对 我 们 解 题 起 到 善 这
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