2018年高考数学江苏卷-答案解析

江苏省2018年普通高等学校招生全国统一考试
数学答案解析
一、填空题
1.【答案】{1,8}
【解析】观察两个集合即可求解。

【考点】集合的交集运算
2.【答案】2
【解析】2i (i)i i i 12i a b a b a b +=+=-=+，故2,1,2i a b z ==-=-.
【考点】复数的运算 3.【答案】90
【解析】8989909191905
++++= 【考点】茎叶图，数据的平均数
4.【答案】8
【解析】代入程序前11I S =⎧⎨=⎩
符合6I <， 第一次代入后32I S =⎧⎨=⎩
，符合6I <，继续代入； 第二次代入后54I S =⎧⎨=⎩
，符合6I <，继续代入， 第三次代入后78
I S =⎧⎨=⎩，不符合6I <，输出结果8S =，
故最后输出S 的值为8.
【考点】伪代码
5.【答案】[2,)+∞
【解析】2log 100x x -⎧⎨>⎩
≥，解之得2x ≥，即[2,)+∞. 【考点】函数的定义域，对数函数
6.【答案】310
【解析】假设3名女生为,,a b c ，男生为,d e ，恰好选中2名女生的情况有：选a 和b ，a 和c ，b 和c 三种。

总情况有a 和b ，a 和c ，a 和d ，a 和e ，b 和c ，b 和d ，b 和e ，c 和d ，c 和e ，d 和e 这10种，两者相比即为答案310
【考点】古典概型
7.【答案】：6
π- 【解析】函数的对称轴为+k 2ππ+()2k k π
π∈Z ， 故把3x π
=代入得2,326
k k πππϕπϕπ+=+=-+ 因为22π
π
ϕ-<<，所以0,6k πϕ==-.
【考点】正弦函数的图像和性质
8.【答案】2 【解析】由题意画图可知，渐近线b y x a
=与坐标轴的夹角为60。

故22224b c a b a a ==+=，故2c e a
==. 【考点】双曲线的几何性质
9.
【答案】2
【解析】因为(4)()f x f x +=，函数的周期为4， 所以11(15)(1),(1)122
f f f =--=-+=
∴1((15))cos 242ff f f π⎛⎫===
⎪⎝⎭.
【考点】分段函数，函数的性质，函数值的求解
10.【答案】4 3
【解析】平面ABCD为底面边长，高为1的正四棱锥，
14
12
33
⨯⨯=.
【考点】空间几何体的结构，体积的计算
11.【答案】3
-
【解析】32
2
1
()212
f x x ax a x
x
=-+⇒=+
令'32
23
12
()2,()20231
g x x g x x x
x x
=+=->⇒-+
在(0,1)上单调递减，在(1,)
+∞上单调递增
∵有唯一零点∴32
(1)213()231
a g f x x x
==+=⇒=-+
求导可知在[1,1]
-上，
min max
()(1)4,()(0)1
f x f f x f
=-=-==
∴
min max
()()3
f x f x
+=-
【考点】函数零点，导数在函数性质中的应用
12.【答案】3
【解析】∵AB为直径∴AD BD
⊥
∴BD即B到直线l的距离。

BD==
∵CD AC BC r
===，又CD AB
⊥
∴2
AB BC
==
设(,2)
A a a
1
AB a
===或3（舍去）.
【考点】直线方程，圆的方程以及直线与圆的位置关系
13.【答案】9
【解析】由面积得：111sin120sin 60sin 60222
ac a c ︒=︒+︒ 化简得(01)1a a c ac c a a +=⇒=
<<-
14414(1)51(1)
59a a c a a a a +=++=-++--=≥ 当且仅当14(1)1a a -=-，即3,32
a c ==时取等号。

【考点】三点共线，基本不等式的应用
14.【答案】27
【解析】{2,4,8,16,32,64,128}B =⋅⋅⋅与A 相比，元素间隔大。

所以从n S 中加了几个B 中元素考虑。

1个：23112,3,1224n S a =+===
2个：45224,10,1260n S a =+===
3个：78437,30,12108n S a =+===
4个：12138412,94,12204n S a =+===
5个：212216521,318,12396n S a =+===
6个：383932638,1150,12780n S a =+===
发现2138n ≤≤时n+112n S a =发生变号，以下用二分法查找：
3031687,12612S a ==，所以所求n 应在2229~之间.
2526462,12492S a ==，所以所求n 应在2529~之间.
2728546,12540S a ==，所以所求n 应在2527~之间.
2627503,12516.a a ==
∵272812S a >，而262712a a <，所以答案为27.
【考点】等差数列，等比数列
二、解答题
15.【答案】（Ⅰ）∵平行六面体1111ABCD A B C D -
∴面//ABCD 面1111A B C D
∵AB ⊂面ABCD
∴//AB 面1111A B C D
又面11ABA B 面111111A B C D A B =
且AB ⊂面11ABA B
∴11//AB A B
又11A B ⊂面11,A B C AB ⊄面11A B C
∴//AB 面11A B C
（Ⅱ）由1可知：11//BC B C
∵111AB B C ⊥
∴1AB BC ⊥
∵平行六面体1111ABCD A B C D -
∴11AB A B =
又由1得11//AB A B
∴四边形11ABB A 为平行四边形
∵11AA AB =
∴平行四边形11ABB A 为菱形
∴11AB A B ⊥
又1A B BC C =
∴1AB ⊥面1A BC
∵1AB ⊂面11ABB A
∴面11ABB A ⊥面1A BC
【考点】空间直线与平面平行、垂直的正面
16.【答案】（Ⅰ）方法一： ∵4
tan 3α=∴sin 4
cos 3αα=
又22sin cos 1αα+= ∴2216
9
sin ,cos 2525αα== ∴227
cos 2cos sin 25ααα=-=-
方法二：
222222222
2cos 2cos sin cos sin 1tan cos sin 1tan 417325413ααα
αααααα
=+--==++⎛⎫- ⎪⎝⎭
==-⎛⎫+ ⎪⎝⎭
（Ⅱ）方法一： 7cos 2,25αα=-为锐角24sin 20sin 24225
ππααα⇒<<⇒>⇒=
∵cos(),αβαβ+=均为锐角，2παβπ<+<
∴sin()αβ+=
∴cos()cos(2())cos 2cos()sin 2sin()αβααβααβααβ-=-+=-++=
∴sin()sin(2())sin 2cos()cos 2sin()25αβααβααβααβ-=-+=+-+=-
∴sin ()2tan()cos()11
ααβαβαβ--=
=-- 方法二： ∵α为锐角7cos 225
α=-∴2(0,)απ∈
∴24sin 225α==
∴24tan 27
α=- ∵,αβ为锐角∴(0,)αβπ+∈
又∵cos()5αβ+=-
∴sin()αβ+= ∴tan()2αβ+=- ∴tan 2tan()tan()tan(2())1tan 2tan()
ααβαβααβααβ-+-=-+=++
7(2)2257111(2)25-
--==-⎛⎫+-- ⎪⎝⎭ 【考点】同角三角函数的基本关系以及三角恒等变换
17.【答案】（Ⅰ）过N 作MN 垂直于交圆弧MPN 于，设PO 交CD 于H
40sin 10,240cos 80cos ,4040sin BC AB PH θθθθ=+=⨯==-
=(40sin 10)80cos 3200sin cos 800cos ABCD S AB BC θθθθθ⨯=+⨯=+矩形
()1180cos 4040sin 1600cos 1600sin cos 22
CDP S AB PH θθθθθ∆=⨯⨯=⨯⨯-=-. 当C 点落在劣弧MN 上时，AB MN >，与题意矛盾。

所以点C 只能落在劣弧上. 所以40sin 2MN OP θ≤＜，即1sin 14
θ≤< （Ⅱ）设甲种蔬菜年产值为4(0)k k >，则乙种蔬菜年产值为3k ，设总年产值为y
则4+38000sin cos cos CDP ABCD y k S k S k θθθ==+△矩形（）
设()()222sin cos cos ,'cos sin sin 2sin sin 1f f θθθθθθθθθθ=+=--=--+
令()0f θ'=，解得sin 1θ=-或12，根据1舍去1-，记001sin ,0,42πθθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭
答：当6π
θ=时，年总产值最大.
【考点】三角函数、导数在实际问题中的应用
18.【答案】（Ⅰ）2
214
x y += （Ⅱ）①②y =+
【解析】（Ⅰ）由题意222223131124c a b a b ⎧=-=⎪⎨⎫+=⎪⎪⎭⎩点，代入 解得24a =，21b = 即椭圆标准方程为2
214
x y += （Ⅱ）设(,)P m n ，则223m n +=
显然l 斜率存在，设，:,=OP n l y kx p k m
=+， 则m k n
=-，:m l y p n =-+ 将(,)P m n 代入，得23m p n n n
=+= ∴3:m l y x n n
=-+与椭圆方程联立 得2222(4)6940m n y ny m +--+-=
①与椭圆相切，则0∆=，即2222364(4)(944)0n m n m -+--=
将22
3m n +=代入，解得2203m n ⎧=⎨=⎩(舍去)或2221m n ⎧=⎨=⎩ 由于P
在第一象限，则m =，1n =
即P
②设l 与轴交点为M 在3:m l y x n n =-+中令0y =，得3x n =，即3,0M n ⎛⎫= ⎪⎝⎭
假设A 的纵坐标大于B 的纵坐标 13||2OAB OAM OBM A B
S S S y y m
=-=-△△△ 而||A B y y -
2264A B n y y m n
+=+，2
2222944,14A B m y y a b m
n -===+ 即23624n m m n ⎛= +⎝ 将223m n +=代入
化简得(3
327
m
m m = 解此方程，得220m =，(由已知条件，m ∈舍
)或52，212
n = 由于P 在第一象限，则2m =，2
n =
回代入
3:m l y x n n
=-+，得:l +【考点】直线方程，圆的方程，椭圆的标准方程，几何性质以及直线与椭圆、圆的位置关系
19.【答案】（Ⅰ）()1f x '=，()22g x x '=+
若存在，则有20002212+2x x x x ⎧+-=⎪⎨=⎪⎩
…(1)…(2) 根据2得到01
2
x =-代入1不符合，因此不存在 （Ⅱ）()2f x ax '=，1()g x x
'= 根据题意有00001ln 12ax x ax x -=⎧⎪⎨
=⎪⎩
…(1)…(2)且有00x > 根据2得到0x =1得到e 2
a = （Ⅲ）()2f x x '=-，2e (1)()x
b x g x x
-'= 根据题意有02000020e e (1)2x
x b x a x b x x x ⎧-+=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩
…(1)…(2) 根据2有0
20002e 0011x x b x x -=>⇒<<- 转化为22
000201x x a x -++=- ∵001x <<
∴3220000(1)20x x a x x -++-+=
22000()3(1)0m x x x a x ⇒=-++-=
转化为()m x 存在零点0x ，001x <<
又(0)0m a =-<，(1)2m =
∴恒存在零点大于0小于1
∴对任意均存在0b >，使得存在“S 点”.
【考点】函数的新定义，导数与函数的综合应用
20.【答案】（Ⅰ）由题意得||1n n a b -≤对任意1,2,3,4n =均成立
故当10a =，121q b ==时
可得|01|1|2|1|24|1|38|1d d d -⎧⎪-⎪⎨-⎪⎪-⎩≤≤≤≤即13352
2753
2d d d ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩≤≤≤≤≤≤ 所以7532
d ≤≤
（Ⅱ）因为110a b =>，1||n n a b b -≤对2,3,1n m =+…均能成立
把n a ，n b 代入可得1111|(1)|(2,3,1n b n d b q b n m -+--=+≤…,) 化简后可得11111112(22)(22
2)0(2,3,1)111n n n m b q b b b q n n n m n n n ----=-+=-+=+---≤…, 因为q ∈，所以122n m -≤，22(2,3,1)n n m -=+≤…,
而1
10(2,3,,11
n b
q n m n -
>=+-…） 所以存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,1n m =+…,均成立 当1m =时，112)b d ≤
当2m ≥时，设1
11
n n b q c n -=-，则111111(1)(2,3,)1(1)n n n n n b q b q q n q c c b q n m n n
n n --+---=-==--… 设()(1)f n q n q =--，因为10q ->，所以()f n 单调递增，又因为q ∈
所以11()(1)(1)2(1)2111m m m f m q m q m m m m ⎛⎫ ⎪⎛⎫=----=-- ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪-⎝
⎭≤
11 / 11
设111,0,2x x x m m ⎛⎤==∈ ⎥⎝⎦，且设1()21x g x x =+-，那么'21()2ln 2(1)x g x x =-- 因为2ln 22ln 2x ≤，
214(1)x -≥ 所以'21(x)2ln 20(1)x g x =-<-在10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
上恒成立，即()
f x 单调递增。

所以()
g x 的最大值为1202g ⎛⎫
=< ⎪⎝⎭，所以()0f m <
∴()0f n <对2n m ≤≤均满足，所以{}n c 单调递减
∴1112,m b q d b q b m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
【考点】等差数列，等比数列以及数列与不等式的综合应用。