伍德里奇《计量经济学导论》(第5版)笔记和课后习题详解-第10章 时间序列数据的基本回归分析【圣才出

第10章时间序列数据的基本回归分析
10.1复习笔记
一、时间序列数据的性质
时间序列数据与横截面数据的区别：
（1）时间序列数据集是按照时间顺序排列。

（2）时间序列数据与横截面数据被视为随机结果的原因不同。

①横截面数据应该被视为随机结果，因为从总体中抽取不同的样本，通常会得到自变量和因变量的不同取值。

因此，通过不同的随机样本计算出来的OLS估计值通常也有所不同，这就是OLS统计量是随机变量的原因。

②经济时间序列满足作为随机变量是因为其结果无法事先预知，因此可以被视为随机变量。

一个标有时间脚标的随机变量序列被称为一个随机过程或时间序列过程。

搜集到一个时间序列数据集时，便得到该随机过程的一个可能结果或实现。

因为不能让时间倒转重新开始这个过程，所以只能看到一个实现。

如果特定历史条件有所不同，通常会得到这个随机过程的另一种不同的实现，这正是时间序列数据被看成随机变量之结果的原因。

（3）一个时间序列过程的所有可能的实现集，便相当于横截面分析中的总体。

时间序列数据集的样本容量就是所观察变量的时期数。

二、时间序列回归模型的例子
1．静态模型
假使有两个变量的时间序列数据，并对y t和z t标注相同的时期。

把y和z联系起来的
一个静态模型（staticmodel）为：
10 1 2 t t t y z u t n
ββ=++=⋯，，，，“静态模型”的名称来源于正在模型化y 和z 同期关系的事实。

若认为z 在时间t 的一个变化对y 有影响，即1t t y z β∆=∆，那么可以将y 和z 设定为一个静态模型。

一个静态模型
的例子是静态菲利普斯曲线。

在一个静态回归模型中也可以有几个解释变量。

2．有限分布滞后模型
（1）有限分布滞后模型
有限分布滞后模型（finitedistributedlagmodel，FDL）是指一个或多个变量对y 的影响有一定时滞的模型。

考察如下模型：
001122t t t t t
y z z z u αδδδ--=++++它是一个二阶FDL。

为集中研究其他条件不变情况下z 对y 的影响，设z 在t 期之前所有时期取值都为c，在t 期暂时提高为c＋1，t 期之后取值又恢复为c，每个时期的误差项均为0。

则有：
()()()
100120012100122001230012111t t t t t y c c c
y c c c
y c c c
y c c c y c c c
αδδδαδδδαδδδαδδδαδδδ-+++=+++=++++=++++=++++=+++从前两个方程得到
10
t t y y δ--=它表明0δ是z 在t 时期提高一个单位所引起y 的即期变化。

0δ通常被y 称作冲击倾向（impactpropensity）或冲击乘数（impactmultiplier）。

同时111t t y y δ+-=-是这个暂时变化发生后下一个时期y 的变化，221t t y y δ+-=-是这个暂时变化发生两个时期后y 的变化，如果把j δ作为j 的函数作图，便得到滞后分布（1agdistribution），它概括了z 的一个暂时变化对y 的动态影响。

（2）分布滞后的长期乘数
假定在t 期之前，z 等于常数c。

从第t 期起，z 永久性地提高为c＋1。

即当s＜t 时，z s ＝c；当s≥t 时，z s ＝c＋1。

再次把误差都设为0，便得到：
()()()()()()
1001200121001220012111111t t t t y c c c
y c c c
y c c c
y c c c αδδδαδδδαδδδαδδδ-++=+++=++++=+++++=++++++随着z 从第t 期开始永久性提高，一期后y 提高了01δδ+，两期后y 提高了012δδδ++。

两个时期以后，y 没有进一步变化。

这表明，z 的当期和滞后系数之和012δδδ++，等于z 的永久性提高导致y 的长期变化，它被称为长期倾向或长期乘数。

LRP 是在分布滞后模型中人们经常关注的问题。

（3）q 阶有限分布滞后模型
0011...t t t q t q t
y z z z u αδδδ--=+++++估计一个分布滞后模型的主要目的是检验z 是否对y 有滞后影响。

冲击倾向（冲击乘数）总是同期z 的系数0δ。

从方程中把z t 省略掉，这样，冲击倾向便为0，滞后分布又被描绘
成j 的函数j δ。

长期倾向便是所有变量z t－j 的系数之和：
01...q
LRP δδδ=+++3．标注时间的惯例
当模型中含有滞后解释变量时，对初始观测的处理容易产生混乱。

惯例是：既然它们是样本中的初始值，就从t＝1开始标注时间。

三、经典假设下OLS 的有限样本性质
1．OLS 的无偏性
第一个假定说明时间序列过程服从一个线性于参数的模型。

（1）假定TS.1（线性于参数）
随机过程(){}12 1 2 t t tk t x x x y t n ⋯=⋯，，，，：，，，服从线性模型：
011t t k tk t
y x x u βββ=++⋯++其中，{}1 2 t u t n =⋯：，，，是误差或干扰序列。

其中，n 是观测次数（时期数）。

（2）假定TS.2（无完全共线性）
在样本中（并因而在潜在的时间序列过程中），没有任何自变量是恒定不变的，或者是其他自变量的一个完全线性组合。

（3）假定TS.3（零条件均值）
()|0
t E u X =1 2 t n
=⋯，，，X 代表所有时期全部自变量集，这是一个关键假定，假定TS.3意味着，t 时期的误差项
u t 与每个时期的任何解释变量都无关。

如果u t 独立于x 且E（u t ）＝0，那么假定TS.3自动成立。

①同期外生性。

在时间序列的情况下需要u t 与时间下标为t 的解释变量不相关：用条件均值表示，即：
()()1| |0
t t tk t t E u x x E u X ⋯==，，当上式成立时，称x tj 是同期外生的，意味着u t 和同时期的解释变量无关：
()Corr 0
tj t x u =，对所有的j 都成立。

②变量严格外生
假定TS.3不仅仅要求同期外生性，即使s t ≠，u t 也必须与x sj 无关。

因此，当TS.3成立时，称解释变量严格外生。

能导致t 时期的无法观测因素与任何时期任一解释变量相关的情况，都会致使假定TS.3不成立。

导致无效的两个主要情形是遗漏变量和对某些回归元的测量误差。

（4）定理10.1（OLS 的无偏性）
在假定TS.1、TS.2和TS.3下，以X 为条件，OLS 估计量是无偏的，并因此下式也无条件地成立：
()
()ˆ0 1 ... j j E j k ββ==，，，2．OLS 估计量的方差和高斯—马尔可夫定理
（1）高斯—马尔可夫定理成立还需要的两个假定
①假定TS.4（同方差性）
以X 为条件，在所有时期t，u t 的方差都相等：
()()2Var |X Var , 1 2 t t u u t n
σ===⋯，，，这个假定意味着，()Var |X t u 不能依赖于X （即u t 和X 相互独立），而且，Var（u t ）在所有时期都保持不变。

当假定TS.4不成立时，称误差是异方差的。

当()Var |X t u 依赖于X 时，它常常依赖于t 时期的解释变量x t 。

②假定TS.5（无序列相关）
以X 为条件，任意两个不同时期的误差都不相关：
()Corr |X 0,t s u u t s
=∀≠，当上式不成立时，称为误差存在序列相关或自相关问题。

序列相关是时间序列回归的一个潜在的问题，而对于横截面数据，由于抽样时随机的，任意两次观测都是相互独立的，可以证明在随机抽样条件下以样本中所有解释变量为条件，不同观测的误差是独立的。

（2）定理10.2（OLS 的样本方差）
在时间序列高斯—马尔可夫假定TS.1～TS.5下，以X 为条件，ˆj
β的条件方差为：()
()22ˆVar |X /SST 1j j j R βσ⎡⎤=-⎣⎦1 ... j k =，，其中，SST j 是x tj 的总平方和，2j R 为由x j 对所有其他自变量回归得到的R 2。

在假定TS.1～TS.5下，通常的误差方差估计量也是无偏的，而且高斯—马尔可夫定理成立。

（3）定理10.3（2σ的无偏估计）
在假定TS.1～TS.5下，估计量2ˆSSR /df σ
=是2σ的一个无偏估计量，其中。