2020年“三位一体”自主招生综合测试试卷(3)(含答案)

2020年“三位一体”自主招生综合测试试卷（3）

一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分）

1. 若0

x

这四个数中（）

A. 1

x 最大，x2最小 B. x最大，1

x

最小 C. x2最大，√x最小 D. x最大，x2最小

2. 小明和小亮的口袋里面都放有五张不同的2008年北京奥运会福娃纪念卡，他们分别从自己口袋里摸出一张福娃纪念卡，则摸出的福娃都是贝贝的概率是（）

A. 1

25B. 2

5

C. 1

5

D. 1

8

3. 方程(x2+x−1)x+3＝1的所有整数解的个数是（）

A. 5个

B. 4个

C. 3个

D. 2个

4. 顶点为A(6, 6)，B(−4, 3)，C(−1, −7)，D(9, −4)的正方形在第一象限的面积是（）

A. 25

B. 36

C. 49

D. 30

5. 使方程2x2−5mx+2m2＝5的一根为整数的整数m的值共有（）

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

6. 函数y＝a|x|与y＝x+a的图象恰有两个公共点，则实数a的取值范围是（）

A. a>1

B. −1

C. a≥1或a≤−1

D. a>1或a<−1

7. 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80∘，P在△ABC中，∠PBC＝10∘，∠PCB＝30∘，则

∠PAB的度数为（）

A. 50∘

B. 60∘

C. 70∘

D. 65∘

8. 二次函数y＝−x2+2x+8的图象与x轴交于B，C两点，点D平分BC，若在x轴上侧的A

点为抛物线上的动点，且∠BAC为锐角，则AD的取值范围是（）

A. 3

B. 3≤AD≤9

C. 4

D. 3≤AD≤8

9. 一个三角形有一内角为48∘，如果经过其一个顶点作直线能把其分成两个等腰三角形，

那么它的最大内角可能值有（）

A. 3个

B. 4个

C. 5个

D. 6个

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）

10. 甲、乙、丙三人各有糖若干块，甲从乙处取来一些糖，使原来有糖的块数增加一倍，

乙从丙处取来一些糖，使留下的块数增加一倍，丙再从甲处取来一些糖，也使留下的块数

增加一倍．这时三人的糖块一样多．开始时，丙有32块糖，则乙原来有________块糖．

11. 设a−b＝2+√3，b−c＝2−√3，则a2+b2+c2−ab−ac−bc＝________．

12. 已知△ABC为钝角三角形，其最大边AC上有一点P（点P与点A，C不重合），过点P作

直线l，使直线l截△ABC所得的三角形与原三角形相似，这样的直线l可作的条数是

________．

13. 如图，△________中，∠________的平分线交________于________，若________＝

6________，________＝4________，∠________＝60∘，则________的长为________．

14. 已知a是整数，一次函数y＝10x+a的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积数为质数，则这个质数等于________．

15. 如图，△________．

16. 小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶

来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时

间发一辆车，那么发车间隔的时间是________分钟．

17. 如图，以半圆中的一条弦BC（非直径）为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D，若

AD BD =2

3

，且AB＝10，则CB的长为________．

三、解答题（本大题共5小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或步骤）

18. 解关于x的不等式：x2+3<4|x|．

19. 如图(1)，由直角三角形边角关系，可将三角形面积公式变形得到S△ABC=1

2

bcsinA⋯①即三角形的面积等于两边之长与夹角正弦值之积的一半

如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，∠ACD＝α，∠DCB＝β

∵S△ABC＝S△ACD+S△BCD，由公式①得到1

2AC⋅BC⋅sin(α+β)=1

2

AC⋅CD⋅sinα+1

2

BC⋅

CD⋅sinβ

即AC⋅BC⋅sin(α+β)＝AC⋅CD⋅sinα+BC⋅CD⋅sinβ…②

你能利用直角三角形关系及等式基本性质，消去②中的AC、BC、CD吗？若不能，说明理由；若能，写出解决过程．并利用结论求出sin75∘的值．

20. 如图，过△ABC内一点M做各边的平行线与各边分别交于D，E，F，G，L，N各点．

求证：DE

BC +FG

AC

+LN

AB

=2．

21. 已知二次函数y1＝ax2+4ax+4a−1的图象是M．

（1）求M关于点R(1, 0)中心对称的图象N的解析式y2；

（2）当2≤x≤5时，y2的最大值为√5，求a的值．

22. 证明：只存在唯一一个三角形，它的三边长为三个连续的正整数，并且它的三个内角中有一个内角为另一个内角的2倍．