高等数学学期期末考试题含答案全

高数(2-3)下学期期末试题 (A 卷)

专业 ____________ 姓名 ______________ 学号 ________________

《中山大学授予学士学位工作细则》第六条：“考试作弊不授予学士学位”

一,填空题 (每题4分,共32分)

1. 213______4

x y kx y z k π

+-=-==若平面与平面成角,则 1/4

2. 曲线20

cos ,sin cos ,1t

u t

x e udu y t t z e =

=+=+⎰ 在t = 0处的切线方程为________________

3. 方程z e xyz =确定隐函数z = f (x,y )则z x

∂∂为____________

4.

(

),dy f x y dx ⎰1

交换的积分次序为_________________________

5．()2221,L x y x y ds +=-=⎰L 已知是圆周则 _________π-

6. 收敛

7. 设幂级数0n

n n a x ∞=∑的收敛半径是2,则幂级数210

n n n a x ∞

+=∑的收敛半径是

8. ()211x y ''+=微分方程的通解是()2121

arctan ln 12

y x x c x c =-+++_______________________ 二．计算题 (每题7分,共63分)

1．讨论函数 f ( x, y ) = 221

,x y

+ 22

0x y +≠, f ( 0 , 0 ) = 0

在点（ 0 , 0 ）处的连续性，可导性及可微性。 P 。330

2．求函数2

222z y x u ++=在点)1,1,1(0P 处沿O P 0方向的方向导数，其中O 为坐

标原点。

3．2

1

2.1n n n n n ∞

=⎛⎫

⎪+⎝⎭

∑判别级数的敛散性 P ．544 012

112x y z ---==z

z yz x e xy ∂=∂-211sin ____________1

n n n ∞

=++∑级数的敛散性为

4．设u=),(z y xy f +，),(t s f 可微，求du dz

f dy f x f dx y f '+⎪⎭⎫ ⎝⎛'+'+⋅'2211.

5．

,,3622欲造一无盖长方形容器,已知其底部造价为3元/m 側面造价为1元/m 现想用元造一容积最大的容器,求它的尺寸.

答：长宽为2M ，高为3M 。

6. (2

242ln I x y x dy ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎰计算

()()22

22,010,x y c A a B b a b

+=曲线是从点沿椭圆的第一象限部分到点的弧段.

解：

5

220

,882ln ln 3Bo

oA D

b

b Bo oA I xdxdy b dy xdx y Rdy b R

a

=

--=-=+⎰⎰⎰⎰

⎰⎰将积分路径家直线段与构成正向的闭曲线,由格林公式得,

7．()222221

ln x y x y dxdy εε→≤+≤+⎰⎰

计算极限lim

()221

2

20

ln ln d r rdr udu π

ε

ε

εεθ→→=⎰⎰⎰0

解:原式=lim lim ()21ln |u u u εεππ→=-=-0

lim

8．试求幂函数

∑∞-+--1

1

21

)12(2)

1(n nx n n 的收敛域及和函数。

9．求微分方程

)1(822x e y y y +=+'-''的通解。 特征方程0122

=+-r r 的根为：

121==r r 对应的齐次方程的通解为

x C e x C C y )(21+=

设特解为x x

e y B A Be A y 2*2*

888

,8+===+=代入方程确定

故所求通解为

x x e e x C C y 22188)(+++=

三．（本题5分）

已知曲线积分[]⎰+-L y

x x x

y x x d )(d )(sin ϕϕ与路径无关，其中ϕ()x 可导，且

ϕπ()=1，求ϕ()x 。

解：由积分与路径无关，故

()c x x c dx e x x e x

x

x x x x x y

P

x Q x dx

x dx +-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=Φ=

ΦΦ'Φ-=

Φ'∂∂=∂∂⎰-

cos 1sin sin 1)(sin )(为：一阶线性微分方程通解－即

代初始条件：ϕπ()=1 得

)1cos (1

)(1-+-=

Φ-=ππx x x c 特解为：

2． 设平面上有三个点)1,0(),0,1(),0,0(B A O ，在OAB ∆的闭区域D 上，求出点M ，使它到点O 、A 、B 的距离平方和为最大。

解：设所求点为M(x,y,) 距离的平方和：

)10,10()1()1(222222x y x y x y x y x d -≤≤≤≤-+++-++= 在区域内部求驻点： ⎪⎭⎫ ⎝⎛==-=∂∂==-=∂∂31,313102631026驻点：解出解出y y y d x x x d 在该点的函数值d(1/3,1/3)=4/3，

在边界x=0, 0≤y ≤1上1)1(22

2+-+=y y d 驻点(0,1/3),与端点函数值比较，得该边界上最大值点（0,1）d(0,1)=3。

在边界y=0, 0≤x ≤1上1)1(22

2+-+=x x d 驻点(1/3，0),与端点函数值比较，得该边界上最大值点（1,0），最大值d(1,0)=3。

在边界y=1-x ,0≤x ≤1上2

22)1()1(23-+-+=x x x d 驻点(1/2,1/2) 与端点函数值比较，得该边界上最大值点是(1,0)、(0,1)。

比较区域内驻点及边界上最大值点的函数值知，该问题最大值点为：A(1,0)、B(0,1)，最大值为3。