数形结合提高学生思维能力

数形结合提高学生思维能力

江苏省扬中市联合中心小学陈敏

[摘要]数与形是贯穿整个小学数学教材的两条主线，是贯穿整个小学数学教学始终的基本内容。数形结合思想也是数学中最重要、最基本的思想方法之一，是解决许多数学问题的有效思想。在小学数学教学中，数形结合能不失时机地为学生提供恰当的形象材料，可以将抽象的数量关系具体化，把无形的解题思路形象化，从而提高学生思维能力。

[关键词]数形结合；思维能力

数和形是数学的两个基本概念，全部数学大体上就是围绕这两个概念提炼、演变、发展而逐步展开的。早在数学萌芽时期，人们在测量长度、面积的过程中，就已经将数和形联系起来了；随着数学研究的深入，数和形的联系更加紧密，数形结合在数学发展中的重要意义也一再被人们认同。对此我国著名的数学家华罗庚早有精辟的概述：“数无形，少直观；形无数，难入微。”

大脑的两半球具有不同的功能，左半脑功能偏重于抽象的逻辑思维，右半脑功能则偏重于形象思维。数形结合就同时运用了左、右半脑的功能，借助形的生动直观来阐述数之间的关系（以形助数），借助数的精确严密来阐明形的某些属性（以数辅形）。笔者在教学中通过探索和相关的实践，深深地体会到在小学数学教学中用数形结合的思想引导学生思考，从而使“数”与“形”各展所长，优势互补，相辅相成，能全面提高学生的思维能力。

一、数形结合培养学生逻辑思维能力

儿童的认识规律，一般来说是从直接感知到表象，再到形成科学概念的过程，表象介于感知和形成科学概念之间。在教学中抓住这一中间环节，渗透数形结合的思想，培养初步的逻辑思维能力，具有十分重要意义。

例如在学习了圆的相关知识后有一道这样的题目：一个人要从A到B（如下

图），他可以按①号箭头所表示的路线走，也可

以按②号箭头所表示的路线走。哪条路近？为什

么？这是一个看起来纯属于形的问题，但是如果

我们只从形的角度来直观观察是无法得到结果

的，即使学生能猜到结果，也是缺少依据的。因

此在教学中需要引导学生从数的角度去加以证明。

方案1：假设数据计算。我们可以设大圆直径为12，三个小圆的直径分别为5、4和3，通过计算发现这两条路径的长度都是6π，从而得出两条路长度相等。

方案2：字母带入证明。假设大圆的直径为A，三个小圆的直径分别为B、C 和D，显然A=B+C+D。

第一条路径的长为：πA÷2；

第二条路径的长为：（πB+πC+πD）÷2=π（B+C+D）÷2=πA÷2。因此两条路径的长度相等。

延伸：如果路线②有N个半圆弧组成，假设大圆的直径为N，小圆的直径分别为n1、n2、n3、…,且N= n1+n2+n3+…，这两条路径的长度还相等吗？为什么？

显然“方案2”和“方案1”相比，是一种严格的证明，这里的数已经不再是具体的数，而是抽象的字母。“延伸”和“方案2”相比又是推理上的一次飞跃。在这里学生经历了由“具体的数”到“抽象字母”再到“数量上无限扩展”的过程，从个别到一般的归纳推理，一步步培养了学生的逻辑思维能力。

2、数形结合训练学生直觉思维能力

爱因斯坦说：“我相信直觉与灵感，真正可贵的因素是直觉。”人们在求解数学问题时，往往会运用已有的知识，从整体上对数学对象及其结构迅速识别、判断，进而作出大胆的猜想，合理的假设和试探性的结论。利用数形结合的方法解题时，能够充分调动学生的直觉思维，能最直接揭示问题的本质，直观地看到问题的结果，只需稍加计算或推导，就能得到确切的答案。

例如有这样一道题目：甲、乙

两辆汽车分别从A、B两地同时相对

开出。第一次相遇时，甲车距离A

地是40千米，相遇后甲车继续向B

地开，乙车继续向A地开，他们到

达A、B两地后又立即掉头。当他们第二次相遇时，甲车离B地20千米，求A、B两地的距离。这道题既没有车速，也没有时间，乍一看似乎缺少条件，无从解答。但是如果用示意图把题目意思表示出来（如右图），则会发现两辆车一共走了3个全程，从第一次相遇甲车行了40千米，可知甲、乙两车共同行每一个全程甲车都是行40千米，因此3个全程甲车一共行3×40=120（千米），从图

上则能清晰的看出AB全程的长度则为120-20=100（千米）。

再如计算“1+2+3+4+…+15+14+…+2+1”时，可以引导学生借助15×15的正方形图进行观察思考（如右图），借

助于图形的直观，学生很快就能发现原

算式的和为15×15=225。不仅如此，还

能清晰的发现其中的规律：1+2+3+4+…+

（N-1）+N+（N-1）+…+2+1=N2。

以上两题都是通过构造题目中所描

述的图形，把正在研究的问题从图形上

视觉化，利用形的直观引发出直觉，从

而发现解题思路。我国的数学教育一直

偏重于逻辑思维的培养，强调逻辑推理的严密度，而对学生直觉思维的培养甚少。而数形结合恰恰将这两种思维结合起来应用，达到更完美的效果。

3、培养学生的创造性思维能力

创造性思维能力指思维活动的创造意识和创新精神，它是思维的最高境界。表现为不墨守成规，奇异、求变，能创造性地提出问题和解决问题。数形结合在培养学生的创造思维上有不可估量的作用。

例如下面这个问题：小明看到许多钢管堆成如左图

的形状。最上层有3根，最下层有10根，有8层。这

堆钢管一共有多少根？大部分学生常规解答这样列式：

3+4+5+6+7+8+9+10=52（根）。继而老师出示下面的这

幅图（如右图），通过观察分析图形，学生就能将这个

问题和梯形面积的计算方法联系起

来，将图形所表示的含义转化成算

式：(3+10)×8÷2=52(根)。接着再

让学生计算“3+4+5+…+100=？”这

个加法算式时，他们马上又会将算式

转化成图形，利用梯形的面积计算方法来解决，即（3+100）×98÷2=5047（根）。

上面这个例子不管是“用图形表示算式的含义”还是“将算式转化成图形”都很好的激发了学生的创造热情，培养了创造性思维能力，另辟蹊径解决了原