人教版九年级一元二次方程知识点总结及基础题型

一元二次方程
知识点一：一元二次方程的定义
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2 （二次）的方程叫做一元二次方程，一般形式是 ax2 bx c 0(a 0, a,b,c为常数)
①ax2 0a 0
类型：
②ax2 ③ax2

bx 0a 0 c 0a 0
④ax2 bx c 0a 0
判断一元二次方程的步骤
1.把方程化成一般形式 ax2 bx c 0(a 0, a,b, c为常数) 2.最高次数=2 3.最高次项的系数≠0
例 1：1.下列方程时一元二次方程的是
① 3x2 x 20 ；② 2x2 3xy 4 0；③ x2 1 4 ；④ x2 0 ；⑤ x2 x 3 0
x
3
⑥x2﹣1 ⑦（2）（1）2 ⑧ 6x2=5 ⑨
⑩ x2 +3x
0
；⑪ 1=0
；⑫
2x2 1 x 1
3
2；
⑬
x2 1 5 0 x
⑭
；⑮3y2﹣2﹣1；⑯2x2﹣53y2=0；⑰
⑱
；⑲
；⑳
⑥
；⑦
；⑧
⑩
（ ）．
；④
；⑤
；
；⑨
；
2．关于 x 的方程 2+32+4 是一元二次方程，则 m 应满足条件是 ．
3．关于 x 的一元二次方程 2﹣32=0 中，a 的取值范围是 ．
4．当 时，方程（m2﹣1）x2﹣5=0 不是一元二次方程．
5．若关于 x 的方程（k﹣1）x2﹣4x﹣5=0 是一元二次方程，则 k 的取值范围
是
例 2：当 m 6．若
时，方程 (m 1)x m 1 2x 7 0为一元二次方程 是关于 x 的一元二次方程，则 ．
7．若关于 x 的方程（m﹣1） ﹣﹣3=0 是一元二次方程，则 ．
8．当 时，（k﹣1） ﹣（2k﹣1）x﹣3=0 是关于 x 的一元二次方程．
9．方程（2）31=0 是关于 x 的一元二次方程，则
10．关于 x 的方程（m﹣2）﹣1=0 是一元二次方程，则 知识点二：一元二次方程的一般形式


一元二次方程的一般形式是 ax2 bx c 0(a 0, a,b,c为常数) ，其中 ax2 是二次项，
a 是二次项系数； bx 是一次项， b 是一次项系数； c 是常数项
① a 0；②指出二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符
号
③一元二次方程化为一般形式时，若没出现一次项 bx ，并不是没有，而是b 0
例 3： 把方程（1） x 1x 3 12 （2）
（3）
（4） 数项
化为一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常
1．一元二次方程
的二次项系数、一次项系数、常数项分别是
2.一元二次方程 4x2 x 1的二次项系数，一次项系数，常数项分别是
3.一元二次方程 x2 －3x = 4 的一般形式是
，一次项系数
为。

4．一元二次方程 3 x2 +2 x -5=0 的二次项系数、一次项系数和常数项依次为 5.把一元二次方程 2 x（ x -1）=（ x -3）+4 化成一般式之后，其二次项系数与 一次项分别是
6．方程 2 x2 =3（ x -2）化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项 分别是
7.一元二次方程 2 x2 x 1 的常数项为 8 下面的一元二次方程中，常数项为 5 的方程是（ ）
A．5 x2 -3 x +1=0 B．3 x2 +5 x +1=0 C．3 x2 x 5=0 D．3 x2 x 5 9 一元二次方程-3 x2 +57 的二次项系数是 10．若关于 x 的一元二次方程 x2 +5 x 2-1=0的常数项为0，则 m 等于
11. 关于 x 的一元二次方程 x2+（21）51 的一次项系数为 4，则常数项
A.1
1
C.0
D. 5
知识点三：一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫 做一元二次方程的根


①代入法检验一个数是否是方程的根 ②代入方程的根，可以求方程中的未知字母系数或字母常数的值 1：下列哪些数是方程 x2 x 12 0 的根
4， 3 ， 2， 1，0 ，1， 2 ，3， 4
2：关于 x 的一元二次方程 a 1x2 x a2 1 0的一个根是 0 ，则 a =
3. 关于 的一元二次方程
有一个根是 ，则
是(
)
A
B
C
D
的值
.
.
.
.
4：已知方程 x2 bx a 0 有一个根是 a a 0，则 a b 的值为 5：如果 2 是方程 x2 c 0 的一个根，那么常数 c 是多少？求出这个方程的其他 根
6. 若一元二次方程
（ ）有一根为 ，则 ， ， 满足的关
系式是
．
7. 如果
是方程
的解，则 的值是
．
8. 已 知 关 于 的 一 元 二 次 方 程
的一个根是 ，则
．
9. 已知
是一元二次方程
的一个根，则
的值
为
．
10. 若关于 的一元二次方程
的值是 (
)
的解是 ，则
A
B
C
D
.
.
.
.
11. 如 果
是一元二次方程
的一个根，那么常数
是(
)
12.一元二次方程 x2 0（a≠0）有一个根为 1，则。

知识点四：根据实际问题列一元二次方程 根据下列问题，列方程，并化成一般式
例 1：有一块矩形铁皮，长100cm，宽 50cm，在它的四角切去一个同样的正方 形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖 方盒的底面积为 3600cm2 ，那么铁皮各角应切去多大的正方形


例 2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场 地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，比赛组织者应邀请 多少个队参赛？
（1） 4 个完全相同的正方形的面积之和是 25 ，求正方形的边长
（2）一个矩形的长比宽多 2 ，面积是100，求矩形的长
（3）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的 长的平方，求较短一段的长
（4）一个圆的面积是 2 ，求半径
（5）一个直角三角形的两条直角边相差 3cm ，面积是 9cm2 ，求较长的直角边的 长


（6）有一根1m长的铁丝，怎样用它围成一个面积为 0.06m2 的矩形？
（7）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手 10 次，有多少人参
加聚会？
1（454x、、.(x1一方解a形注）2元程)意如直2 b二x：接8或(21x次若开者=0a方．)平2bx2 2<程方50ab，的(的法b 方解根：0b)程法是的，无方方解x程 可a 以b用。

直
接
开平方 。

程
法
解
，
两
边
直
接
开平方
x 2 25
得
0
(5)(1)2=0
(6)2(x－1)2=0
(7)(21)2=0 （9） 1 (21)2=3
2
3x2－1=0
(8)(2x－1)2=1 （10） (1)2－144=0
5 x2 7 =0
22


(x 6)2 50
（1）2x2－24=0 （3）2(x－2)2=50
3x2 2 0
（2） (x 1)2 4 （4） (3x 2)2 24
（用注5、1配意（）(x方：x配2①②③④m法当－方)2二移用配解n2法4次项直n一方x0(:n项：接时元+： 0系使开，二)方的数方平方次程形化程方程方两式左法为无程；边边解解1a）x：都为变2 方=二形加b（x程次后上xc两－项的一0边与方(a次都一程 项0除次。

) 的系以）项一二2数，。

般次一右步项边般骤系为的数常平；数方项，；把 方 程 化 为
①、x2+6
=（
）2；
②、x2－5
=（x－
）2；
③、x2+ ④、x2－9
6、用配方法解方程 2x 2 3 7x ．
=（ =（x－
）2； ）2
3x2 7x 4 0
（1）3x2-52．
（2）x2+89


（3）x2+1215=0 1、. y 2 6 y 6 0
（4） 1 x24=0
4
2、 3x2 2 4x
3、 x2 4x 96
4、 x2 4x 5 0
5、 2x2 3x 1 0
6、 3x2 2x 7 0
（78、、2方因一）程式般因①②③④分步3式将将令解x解骤分2方方每这法－如解程程个两解5下法右左因个方0：：边边式一的程得分分元根各解别一是项为为次移两零方到个，程方一得，程次到他左因两们边式个的，相一解使乘元就方的一是。

程形次原右式方方边；程程；的为解0；。

x 2 3x 2 0 ．
y2＋7y＋6＝0；
（1） (x 2)2 2x 4 ；
（2） 4(x 3)2 x(x 3) 0 ；


（3）10x2 11x 6 0 ；
（4） 9(x 2)2 4(x 1)2 。

（5） x2 x 0 ；
（6） x2 2x 35 0 ；
（7） x2 7x 10 0 ； （10） 6x2 11x 7 0.
（8） x2 9x 18 0 ；
(2)t(2t－1)＝3(2t－1)；
(3)(2x－1)(x－1)＝1．


（2） 2(2x 3)2 3(2x 3) 0 ；
（3） x2 (2 2 2)x 3 2 2 0 ；
（4） y2 (2 3 3 2)x 6 6 0 .
5x2 2 2(1 x) x(x 1) 2
（2） 公式法： 一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 根的判别式： b2 4ac
0 方程有两个不相等的实根: x b b2 4ac （ b2 4ac 0 ） f (x) 的图
2a
像与 x 轴有两个交点 0 方程有两个相等的实根 f (x) 的图像与 x 轴有一个交点
9则、关 于0 x方程的无一实元根二。

次f (x方) 的程图像m 与x2 x－轴2没x 有+1交=点0 有 两 个 相 等 实 数 根 ， 11、不解方程，判别下列方程的根的情况：
(1) 2x 2 3x 4 0 ；
(2)16y2 9 24y ；
(3) 5(x 2 1) 7x 0 ．
12、用公式法解方程 1、 x2 2x 8 0
2、 4y 1 3 y2
2


3、 3y 2 1 2 3y 5、 4x2 8x 1
4、 2x2 5x 1 0 6、 2x2 3x 2 0
13、用适当方法解方程 （1） 2 2x + 3=0
(3) x 2 －4 3=0
(5) 2 2 31=0
（2） 2 6x－5=0 (4) x 2 －2x－1 =0 (6) 3 2 2x－1 =0


(7) 5x 2－32 =0 (8) 7x 2－4x －3 =0
(9) 212 =0 (10) x 2－69 =0
根的判别式的作用：
①定根的个数；
②求待定系数的值；
③应用于其它。

典型例题：
例1、若关于x 的方程0122=-+x k x 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 。

例2、关于x 的一元二次方程()0212=++-m mx x m 有实数根，则m 的取值范围是( )
A.10≠≥且m m
B.0≥m
C.1≠m
D.1>m 例3、已知关于x 的方程()0222=++-k x k x
(1)求证：无论k 取何值时，方程总有实数根；
针对练习：
★1、当k 时，关于x 的二次三项式92++kx x 是完全平方式。

★3、已知方程022=+-mx mx 有两个不相等的实数根，则m 的值是 .
★★4、k为何值时，方程()()0
-
-
x
kx
+kx
+
+
1
2
2
22=
4
（1）有两个相等的实数解，并求此解；
（2）有两个不相等的实数解；
（3）没有实数解.。