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第八章 反常积分
习 题 8.1 反常积分的概念和计算
⒈ 物理学中称电场力将单位正电荷从电场中某点移至无穷远处所做的功为电场在该点处的电位。一个带电量+q 的点电荷产生的电场对距离r 处的单位正电荷的电场力为F k q
r =2
（k 为常数），求距电场中心x 处的电位。 解 ⎰+∞
==x x kq
dr r
q k
U 2
。 ⒉ 证明：若⎰+∞
a dx x f )(和⎰+∞
a dx x g )(收敛，k k 12和为常数，则[]⎰+∞
+a dx x g k x f k )()(21也收敛，且
⎰⎰
⎰
+∞
+∞
+∞
+=+a
a
a
dx x g k dx x f k dx x g k x f k )()()]()([2121。
证 设⎰+∞a dx x f )(⎰+∞→=A
a A dx x f )(lim ，⎰+∞a dx x g )(⎰+∞
→=A
a A dx x g )(lim ，则 []⎰+∞
+a dx x g k x f k )()(21
[]⎰+=+∞→A
a
A dx x g k x f k )()(lim 21 ⎰+∞→=A
a
A dx x f k )(lim
1⎰+∞→+A
a
A dx x g k )(lim
2⎰⎰+∞
+∞+=a a dx x g k dx x f k )()(21。
⒊ 计算下列无穷区间的反常积分（发散也是一种计算结果）：
⑴ e sin -+∞
⎰20
5x xdx ;
⑵ e cos -+∞
⎰302x xdx ;
⑶ 1
1
2x x dx ++-∞
+∞
⎰;
⑷
1
22220
()()
x a x b dx +++∞
⎰
)0,0(>>b a ;
⑸ ⎰∞
+∈0
)(e 2
R a dx x ax ; ⑹ )(ln 1
2
R ∈⎰∞
+p dx x
x p
; ⑺ 1
1232
()/x d x +-∞+∞
⎰;
⑻ 1
20(e e )x x dx +-+∞
⎰;
⑼ 1
1
40
x dx ++∞
⎰； ⑽ ln x
x dx 12
++∞
⎰。 x q
图8.1.4
解（1）e sin -+∞
⎰205x xdx ⎰∞
+--=025cos e 51
x d x ⎰∞
+--=025cos e 5
2
51xdx x
⎰∞+--=
025sin e 25251x d x ⎰∞
+--=025sin e 25
451xdx x ， 所以
e sin -+∞
⎰205x xdx 29
5
=
。 （2）e cos -+∞
⎰302x xdx ⎰∞
+-=032sin e 21
x d x ⎰∞
+-=032sin e 2
3
xdx x
⎰∞+--
=032cos e 43x d x ⎰∞+--=0
32cos e 4943xdx x
， 所以
=
⎰∞
+-032cos e xdx x 13
3
。 （3）11
2x x dx ++-∞
+∞
⎰⎰∞
+∞-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=dx x 2
2
23211
⎰∞
+∞
-⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=
31231211
32
2x d x =+=
∞+∞
-3
12arctan
3
2x 3
2π。
（4）当b a ≠时，
122220
()()x a x b dx
+++∞
⎰⎰∞+⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+-+-=0
2222
2
21
11
dx b x a x a b =⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=
b a a b 22122ππ
)(2b a ab +π； 当b a =时，
⎰∞
++0
222)(1dx a x ⎰∞+⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛
+-+=
2222
222
)(11dx a x x a x a )1(
2120
222
3
⎰∞
+++
=
a x xd a a π
⎰∞
++-
=0
222
321
2a x dx a a π3342a a ππ-=3
4a
π