江苏百校大联考(一)含详细答案A3

其图象过 A, D 两点，且函数 y = f(x) 的图象在点 A 处的切线经过点 B，在点 D 处的切线经过点 C. 若将由
A(0, 0), B(1, 4), C(3, 2), D(4, 0) 四点所确定的“N 型函数”记为 y = f(x)，则下列选项正确的是
A. 曲线 y = f(x) 在点 D 处的切线方程为 y = −2x + 8
22
为 Ç√
Ì
31 3
A.
r, r, r
Ç 4 √ 4 2å
1 31
C. r, r, r
222
Ç√
Ì
31 3
B.
r, r, r
Ç 2 √2 √2 å
133
D. r, r, r
44 2
()
二. 多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
9. 已知曲线 E 的方程为 ax2 + by2 = ab(a, b ∈ R)，则下列选项正确的是
,!'!解析本题考查统计知识考查数据处理能力! 因为!厘米)!%毫米#所以标准差变为"!!.!%)"!毫米!
/!*!解析本题考查三角恒等变换及三角函数求值考查运算求解能力!
因为函数($$%的图象过点$$,!"#%%#所以0-1$$,!"&+
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/
))$)&%#解得)
9
场比赛中出现输球场数的期望为
.
四. 解答题:(本大题共 6 小题, 共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10 分）在
1
(a−c)(sin A+sin C) = b(sin A−sin B),
2
2c cos C = a cos B+b cos A,
3
1 S△ABC = 2 c(a sin A+b sin B−
高三数学 第 2 页（共 4 页）
18.（12 分）在数列 {an} 中，已知 a1 = 2, a2n+1 − 4anan+1 + 4a2n = 0, Tn = an + an+1 + · · · + a2n−1. (1) 求数列 {Tn} 的通项公式; (2) 令 bn = (−1)n · n2 + log2(4n − Tn)，求数列 {bn} 的前 50 项和 S50.
()
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11. 若 2x = 3, 3y = 4, 则下列选项正确的是
3 A. y > 2
B. x > y
C. xy = 2
√ D. x + y > 2 2
()
12. 在直角坐标系内，由 A, B, C, D 四点所确定的“N 型函数”指的是三次函数 f(x) = ax3 + bx2 + cx + d(a ̸= 0)，
19.（12 分）王老师组织甲、乙、丙三位学生参与摸球实验，已知盒中共有 3 个红球、7 个白球、摸球方法如下：当 王老师掷出的骰子为 1 点时，甲从盒中摸球；当王老师出的骰子为 2 或 3 点时，乙从盒中摸一球；当王老师掷 出的骰子为其他点时，丙从盒中摸一球. 该三位学生摸球后均不放回. 假定学生从盒中摸到任何一球的可能性 相等.
计!/%种!
"!'!解析本题考查指数型函数的应用以及数学建模考查运算求解能力!
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&!'!解析本题考查函数的性质及不等式的解法考查化归与转化的数学思想!
1 B. f(x) = x(x − 4)(x − 8)
8
C. 曲线 y = f(x) 关于点 (4, 0) 对称
D. 当 4 ⩽ x ⩽ 6 时，f(x) ⩾ 0
()
三. 填空题: 本大题共 4 小题, 每小题 5 分，共 20 分．
13. 已知点 A(m, 1) 是抛物线 x2 = 2py(p > 0) 上一点，F 为抛物线的焦点，且 |AF| = 3, 则 p =
D. R
8. 假设地球是半径为 r 的球体，现将空间直角坐标系的原点置于球心，赤道位于 xOy 平面上，z 轴的正方向为
球心指向正北极方向，Ç本初子√午线å（弧 ASB）是 0 度经线，位于 xOz 平面上，且交 x 轴于点 S(r, 0, 0) 如图所
示, 已知赤道上一点 E
1 r,
3 r, 0
位于东京 60 度，则地球上位于东经 30 度、北纬 60 度的空间点 P 的坐标
#» OCn
=
#» OA
+
#» nOB(n = 1,
#» B. OC1
2, 3)，则下列选项正确的是 #» #»
= OC2 = OC3
# » #» # » #» # » #»
# »#» # »#» # »#»
C. OC1 · OB < OC2 · OB < OC3 · OB
D. OC1 · OA < OC2 · OA < OC3 · OA
．
14. 已知一圆锥的母线长为 5, 高为 4, 则该圆锥的体积为
.
15.“一湾如月弦初上，半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉. 某中学开展暑期社会实践活动，学
生通过测√量绘制出月牙泉的平面图，如图所示, 图中，圆弧 QRT 是一个以 O 点为圆心、QT 为直径的半圆， QT = 60 3 米圆弧 QST 的圆心为 P 点，PQ = 60 米. 圆弧 QRT 与圆弧 QST 所围成的明影部分为月牙泉的形
若')!#1)!#此时'$#+1/#)'1变为$#+/#)!#不表示椭圆! 若'1)$!#则'$#+1/#)'1$'#1&%可化为/'# $'$#)!#表示双曲线! 若')1'%#方程变为$#+/#)'#表示圆! 若')%#1*%#此时'$#+1/#)'1变为/)%#表示直线*同理#若1)%#'*%#'$#+1/#)'1也表示直线!故答 案为 ('*! !%!4'!解析本题考查向量的数量积考查运算求解能力!
江苏省迎新高考百校联考高三年级第一次试卷
数学
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无锡韩杰整理 2020.09
一. 单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．
1. 设全集 U = R，集合 A = {−1, 0} , B = {x | x ⩾ 0}，则 A ∩ (∁UB) =
A. {x | x ⩾ 0}
()
A. 当 ab = 1 时，曲线 E 一定是椭圆
B. 当 ab = −1 时，曲线 E 是双曲线
C. 当 a = b > 0 时，曲线 E 是圆
D. 当 ab = 0 且 a2 + b2 ̸= 0 时，曲线 E 是直线
10.
设 A.
O, 点
A, B 是平面内不共线的三点，若 C1, C2, C3 在同一直线上
c sin C) 这三个条件中任选一个，补充在下面的可题中，并加以解答.
已知 △ABC 的内角 A, B, C 所对的边分为 a, b, c，且
.
(1) 求角 C; √
(2) 若 D 为 AB 的中点，且 c = 2, CD = 3, 求 a, b 的值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
B. {−1}
C. {x | x ⩽ −1}
D. {−1, 0}
()
2. 设复数 z1 = 1 − i, z2 = a + 3i (i 是虚数单位，a ∈ R），若 z1 · z2 ∈ R，则 a =
A. 2
B. −2
C. −3
D. 3
()
3. 2020 年 7 月，我国湖北、江西等地连降暴雨，造成严重的地质灾害. 某地连续 7 天降雨量的平均值为 26.5 厘米，
因为函数($$%是定义在 上的偶函数#在$$6#%(上是增函数#且($!%)%#所以($$!%)%!在$$6#%(
上#($$%'%的$ 的取值范围是$$!#%(#又由对称性可知#在)%#+6%上#($$%'%的$ 的取值范围是)%#
! ! !%#所以$$#$!%($$%$%(
$#$!'%# 或
($$%$%
2+ 6 C.
4
D. 610 毫米 √√ 2+ 6
D. − 4
()
5. 某班级 8 位同学分成 A, B, C 三组参加暑假研学，且这三组分别由 3 人、3 人、2 分组成. 若甲、乙两位同学一定
要分在同一组，则不同的分组种数为
()
A. 140
B. 160
C. 80
D. 100
6. 某传染病在流行初期，由于大部分人未感染且无防护措施，所以总感染人数以指数形式增长。假设在该传染病
本实验王老师共掷骰子 2 次. 请解答下面的问题：
(1) 求学生甲恰好得到 2 个红球的概率；
(2) 求学生乙至少得到 1 个红球的概率.
21.（12 分）已知函数 f(x) = cos x + a(ex − 1). (1) 当 a = 1 时，求函数 y = f(x) 在 (0, π) 上的单调性； (2) 若 ∃x0 ∈ (0, +∞), f(x) < cos x0 + x0，求实数 a 的取值范围．
Ç√ å
√
22.（12
分）已知椭圆
C:
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a > b > 0)
过点
63 ,
，且离心率为
2 .
22
2
(1) 求椭圆 C 的方程;
(2) 已知点 A 的坐标是 (2, 1), M, N 是椭圆 C 上的两点，满足 AM⊥AN. 求证：直线 MN 过定点.
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20.（12 分）如图，已知 AC⊥BC, DB⊥平面ABC, EA⊥平面ABC，过√ 点 D 且垂 直于 DB 的平面 α 与平面 BCD 的交线为 l, AC = BD = 1, BC = 3, AE = 2. (1) 证明：l⊥平面AEC； (2) 设点 P 是 l 上任意一点，求平面 PAE 与平面 ACD 所成锐二面角的最小值.
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江苏省百校联考高三年级第一次试卷
数学参考答案
!!(!解析本题考查集合的运算考查运算求解能力! 因为""#)!$#$$%"#所以 %%$""#%)!$!"!
#!*!解析本题考查复数的概念及四则运算考查运算求解能力! 因为&!&&#)$'+,%+$,$'%-&#所以'),!
标准差为 6.1 厘米. 现欲将此项统计资料的单位由厘米为毫米，则标准差变为
()
A. 6.1 毫米
B. 32.6 毫米
C. 61 毫米
4. 若图数 f(x) = − sin
π ωx +
(0
<
ω
<
2)
的图象经过点
Å −
3π
,
ã 0,
则
f
π
=
√√
4 √√
√16 √
8
A. 2 − 6 4
B. − 2 − 6 4
$#$!$%# 故$
($$%'%#
的取值范围为$$6#$!%)$$!#!%)$!#+6%!
2!4!解析本题考查立体几何中的空间点的位置问题考查空间想象能力!
设点+
投影到$./
平面上的点为+0$图略%#则#.+#)-##.+0#)
#
##+0+#)槡#,-#又
.+0与$
轴正向的夹
角为,%7#由+0在$ 轴与/ 轴的投影可知+0$槡/,-#!/-#%%#因此+ 点的坐标为$槡/,-#!/-#槡#,-%! 5!('*!解析本题考查圆锥曲线的定义考查分类讨论的数学思想!
/$,!")$)&%!又%$/$,!")$##所以$
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#则))%#)
/ ,
#所以($2
%)$0-1$/ ,
.
2
+
/ %)
$槡#+/槡"!
3!4!解析本题考查计数原理的应用考查数据处理能力!
甲'乙两位同学在% 组或# 组的情况有 '!"', 3.#)!#%种#甲'乙两位同学在* 组的情况有 ', "', ,)#%种#共
流行初期的感染人数为 P0，且每位已感染者平均一天会传染给 r 位未感染这的前提下，n 天后感染此疾病的
总人数 Pn，可以表示为 Pn = P(1 + r)n，其中 P0 ⩾ 1 且 r > 0. 已知某种传染病初期符合上述数学模型，且每隔
16 天感染此病的人数会增加为原来的 64 倍，则 P20 · P8 · P12 的值为
()
P18 P5 P9
A. 2
B. 4
C. 8
D. 16
7. 若函数 y = f(x) 是定义在 R 上的偶函数，在 (−∞, 0] 上是增函数，且 f(1) = 0, 则使得 (x2 − 1)f(x) < 0 的 x 的
取值范围是
()
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A.
B. (−∞, −1) ∪ (1, +∞)
C. (−∞, −1) ∪ (−1, 1) ∪ (1, +∞)
状，则该月牙泉的面积为
平方米。
16. 假设苏州肯帝亚球队在某赛季的任一场比赛中输球的概率都等于 p，其中 0 < p < 1, 且各场比赛互不影响。令
X 表示连续 9 场比赛中出现输球的场数，且令 pk 代表 9 场比赛中恰有 k 场出现输球的概率 P(X = k). 已知
p4
+ p5
=
45 8
p6，则该球队在这连续