矩阵理论课件 第一章 线性空间与线性变换

a1n
a2n
ann
前述关系可以表示为 AT 或 T T A
则称矩阵 A 为基 到基 的过渡矩阵（唯一且可逆）
定义2 （坐标变换）
设x V L(P) ，向量 x 在 基 和基 下的
坐标之间的关系，称之为坐标变换。
坐标变换与过渡矩阵的关系：
设 x k1x1 k2 x2 kn xn 和 x t1 y1 t2 y2 tn yn
和 W W1 W2 为直和，记为 W W1 W2 。
例6 设 R4的3个子空间：
① V1 (a, b, 0, 0)T a, b R ② V2 (0,0,c, 0)T c R ③ V3 (0,d,e, 0)T d,e R
容易验证V1 是V2直和， V1 V3不,V是2 直 V和3。
事实上 不妨设简单基为 (III )e1, e2 , , en ( x1, x2 , , xn ) (e1, e2 , , en )C1 ( y1, y2 , , yn ) (e1, e2 , , en )C2
( x1, x2 , , xn )C11C2
C C11C2
例4 设线性空间P3[t] 的两个基为： (I ) f1(t) 1, f2(t) 1 t, f3(t) 1 t t 2,
表示，不妨记
y1 a11x1 a21x2
y2
a12 x1
a22 x2
yn a1n x1 a2n x2
称上述关系为两组基的基变换。
an1xn an2 xn
ann xn
x1
y1
a11 a12
若记
x2
,
y2
A
a21
a22
xn
yn
an1 an2
②次数不超过n的多项式集合：
Rn[t] f (t)
n
ait i ai R, i 0,1,
, n
i0
③n维向量空间：
Rn x ( x1, x2, , xn )T xi R, i 1, 2, , n
④数域R上m 阶n 矩阵构成的集合： Rmn A A Rmn
⑤ 定义在区间 [a,上b]所有连续函数的全体： C[a,b]
x x1 x2 x y1 y2
k1
xn
k2
kn
k1 t1
k2
A
t2
kn tn
t1
yn
t2
x1
x2
t1
xn
A
t2
tn
tn
不同基之间过渡矩阵的求法：
已知两组基 (I )x1, x2 , , xn ( II ) y1, y2 , , yn
方法一：直接法（定义法）
该方法需要求n阶非齐次线性 方程组，计算复杂，一般不用 方法二：中介法（常用方法） 中介法的步骤：
①选取 V Ln (P) 的一组简单基，使得V中的元素
在该基下的坐标能够直接写出。
②分别写出简单基到已知两组基 (I ) 和(II ) 的过渡 矩阵 C1 和 C2 。 ③计算由基 (I ) 到 (II )的过渡矩阵 C ： C C11C2
定理3 （直和的判定方法）
设 W1,W2 是 V L(P) 的两个子空间，则
W W1是直W和2
W。1 W2
推论1 （直和的判定方法）
设 W1,W2 是 V L(P) 的两个子空间，则
W W1是直W和2 零向量表示式唯一。
定理4 （维数定理）
设 V W1 W2 ，W1,W2是它的两个子空间，则有 dim(W1 W2 ) dim(W1) dim(W2 ) dim(W1 W2 )
k1x1 k2 x2 kn xn 构成的集合形成V 的一个子空间，称之为由该向量组生 成的子空间。记为 W L( x1, x2 , , xn )
定义3 （子空间的和）
设 W1,W2 是 V L(P) 的两个子空间，称集合
W W1 W2 x y x W1, y W2
为子空间 W1 和 W2 的和。
1 0 0
1
1 0
,
2
1
1
,3
0
1
0
0
1
V1 的一个基为：
V1 L( A1, A2 , A3 )
1 1 0 1 0 0
A1
0
0
,
A2
1
0
,
A3
1
1
V1 V2 L( A1, A2 , A3 , B1, B2 ) ⑵ A1, A2 , A3 ,在B1, B的2简单R基22
C
C11C2
0 0
1 0
1 1
1 1
0
1
1 1
1 1
1
0
0 0 0 1 1 1 0 1
1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0
0
0
1 0
1 1
0
0
1 1
1 1
1 1
1
0
1
0
0 0
0
1
1 1
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1 0 1
§3、子空间与维数定理 定义1 （子空间）
⑶设 A V1 ，V则2有
k1, k满2足, k3 , t1, t2
A k1 A1 k2 A2 k3 A3 t1B1 t2 B2
k1 A1 k2 A2 k3 A3 t1B1 t2 B2
代入 A1, A2 , A3 ,并B比1,较B对2 应元素，得线性代数方程组
k1
t1 t2 0
k1 k2 k3 ak4 0
线性相关（无关）的性质： ①部分相关则整体相关； ②整体无关则部分无关；
n维向量空间通常记为
V Ln (P )
③ x1, x2 , 线,性x相n 关 其中至少一个向量可由其余
向量线性表示（表出）。
定义3
设 x1, x2 , , xn 是 V L(P) 中的一组线性无关
③求V1 的V基2 与维数。
分析： 设V的两个子空间为
求 x1, x2, , xm , y1, y2, , yn
的最大无关组： 的基。
V1
V2
V1 L( x1, x2 , , xm ) V2 L( y1, y2 , , yn )
解： ⑴先将 V表1 示成生成子空间 x1 x2 x3 x4 0 的基础解系为
二、线性相关（无关）的定义
定义2
设 V L(P) ， x1, x2 , , xn V ，如果存在 一组不全为0的数 k1, k2 , , kn P ，使得
k1x1 k2 x2 kn xn
则称向量 x1, x2 , , xn 线性相关，否则称线性无关。
例2 讨论下列矩阵向量组的线性相关性（ a R）：
a 1 1 a 1 1 1 1
A1
1
1 , A2 1
1 , A3 a
1 , A4 1
a
解： 根据线性相关的定义判定
设
k1 A1
k2 A2
k3 A3
k4 A4
0 0
0 0
ak1 k2 k3 k4 0
k1 k1
ak2 k3 k2 ak3
k4 k4
0 0
由系数矩阵的行列式是否 为0判定即可（过程略）
例7 设 R22 的2个子空间为：
V1
A
A
x1 x3
x2 x4
,
x1
x2
x3
x4
0
1 0
1 1
V2 L(B1, B2 ),
B1
2
3
,
B2
0
1
①将 V1 表V2示为生成子空间。
②求V1 的V2基与维数。 V1 V2 L(x1, x2, , xm , y1, y2, , yn )
下的坐标依次可记为
E11, E12 , E21, E22
1 0 0 1 1
1
1
0
,2
1 1
,
3
0
1
,
1
0
2
,
2
1 0
0
0
1
3
1
容易判定该向量组的一个最大无关组为 1,2 ,3 , 2
A1, A2 , A3, B2 是 V1 V2 的一个基。dim(V1 V2 ) 4
使得
x k1e1 k2e2 knen
且该表示式唯一。（其中 k1, k2 , , kn 称为向量x在该
组基下的坐标）
例3 写出例1中各线性空间的基和维数。
§2、基变换与坐标变换
定义1 （基变换）
设 x1, x2 , , xn 和 y1, y2 , , yn是 V L(P) 中的两组基，则 xi （或 yi ）均可由 yi（或 xi ）线性
基 (III )到基 (I ) 的过渡矩阵 C1 为：
1 1 1 1
C1
0 0
1 0
1 1
1 1
0 0 0 1
基 (III )到基 (II )的过渡矩阵 C2 为：
1 0 1 1
C2
0 1
1 1
1 1
1
0
1 1 0 1
则由基 (I ) 到基 (II ) 的过渡矩阵 C 为：
1 1 1 11 1 0 1 1
定理2 （子空间的构造方法）
设 W1,W2 是 V L(P) 的两个子空间，则有 ① W W1 是W的2 子空V间； ② W W1 是 W的2 子空V间。
定义4 （子空间的直和）
设 W1,W2 是 V L(P) 的两个子空间，如果这
两个子空间的和 W W1 W2 具有性质：对uW
分解式 u x y, x W1, y W2 是唯一的，则称
f4(t) 1 t t2 t3; (II ) g1(t) 1 t 2 t3, g2(t) t t 2 t3,
g3(t) 1 t t 2 , g4(t) 1 t t3;
求由基 (I )到基(II )的过渡矩阵 C 。
解：
（中介法）选取简单基为 (III ) 1, t, t 2 , t 3
设 V L(P) ，W V ,W ,如果W 对于 V
所定义的加法和数乘运算，也构成数域 P 上的线性空 间，则称 W 为 V 的线性子空间，简称子空间。
定理1 （子空间的判定方法）
设 W V L(P),W ，则W 是 V 的线性
子空间的充要条件是
(1)x, y W x y W ;
零子空间与
① x, y V , x y y x ② x, y, z V ,( x y) z x ( y z)
③ V中存在一个零元素 ，即对 x V , x x
④ V中存在一个负元素 ，即对
x V ,y V , s.t. x y 记作 y x
⑤对 x V ,1 x x
⑥对 x V , , P, ( x) ()x ⑦对 x V ,, P,( )x x x ⑧对 x, y V , P, ( x y) x y
第一章 线性空间与线性变换
§1、线性空间的概念 一、线性空间的定义 定义1
设集合 V ，P 是一个数域（包含非零元
素的数集且对四则运算法则封闭），如果满足
1.在 V 上定义一个加法运算：x, y V , x y V
2.在 V 上定义一个数乘运算：x V , P, x V
3.上述两种运算满足下列8条规则：
则称集合 为V数域 上P的线性空间或向量空间，记 作 V L，(P)中元V素称为向量。特别， 时P， R 为实向量空间，P 时C，为复向量空间。
注、①零向量与负元素唯一存在（自己证）
②0 x , ,(1) x x, x y x ( y)
例1 下列集合均为线性空间
① V x (x1, x2, , xn )T Ax , A Rnn,det(A) 0
1
2
0
3
dim(V1 V2 ) 1
§4、线性空间的同构
定义1 （线性空间的同构）
设V1 L(P ),V2 L(P ) 是两个线性空间，如果
V1 和 V2 之间存在一个一一对应关系 ，使得对任意的 x, y V1, P 满足
k1
k2 k2
k3
t2 2t1
0 0
k3 3t1 t2 0
其 通
k1
k2
1
1
解
k3
k
3
,
kR
为
t1 t2
1 0
A k1 A1 k2 A2 k3 A3 t1B1 t2 B2 k(1 B1 0 B2 )
ห้องสมุดไป่ตู้
k
1 2
0
3
V1 V2 的一个基为
(2)x W , P x W . 平凡子空间
例5
① V x (x1, x2, , xn )T Ax , A Rnn,det(A) 0
是 R中n 的一个子空间。 ② R3是3 R的m一n个子空间。
③ P3[是t] Pn[的t]一个子空间。
定义2 （线性生成子空间）
设 x1, x2 , , xn V L(P ) ， 线性组合
向量，且线性无关组的向量个数不超过n（或V中任意
n+1个向量都线性相关），则称 x1, x2 , , xn 是V的一
个最大无关组，简称为基。向量空间V的基所含向量的个
数称为V的维数，记为dim(V)。（注：基不唯一）
定理1
设 V L(P) ，e1, e2 , , en是V的一组基，则对
x V , k1, k2 , , kn P,（或者V中任意向量x),