高等数学(微积分)课件--83偏导数与全微分

(x,y )(0,0)
(x)2 (y)2
x y (x, y)
lim ( x ,y )( 0, 0 )
(x)2 (y)2 0
因
x y (x)2 (y)2
x
(x)2 (y)2
y 2
(x)2 (Y )2
故只要当（0，0） 0时，f (x, y)在(0,0)可微.
26
练习解答4-2
（2） ( x, y)在什么条件下，f ( x, y)在(0,0)处可微. 解 由全微分的定义 ,要使 f (x, y)在(0,0)可微,必须有
lim f ( f x (0,0)x f y (0,0)y)
(x,y )(0,0)
(x)2 (y)2
lim f (x,y) f (0,0) 0
25
练习解答4-1
4 设f ( x, y) x y ( x, y),其中 ( x, y)在点(0,0)
的邻域内连续，问:
（1） ( x, y)在什么条件下，f x (0,0), f y (0,0)存在？
解 f x (0,0) 显然 x
lim
lim f
x0
(x,0)
(x,0) f x
(0,0)
du u dx u dy u dz x y z
dy f1dx1 f2dx2 ... fndxn
16
例题与讲解
例：计算z=exy在点(2,1)处的全微分。
解： z ye xy , x
z xe xy , y
z e2 , z 2e2 ,
x (2,1)
y (2,1)
所求全微分 dz e2dx 2e2dy.
(2)
z x
y
ex
y ( x2 ),
z y
y
ex
1 x
dz
(
y x2
)e
y
x dx
1 x
y
e xdy.
23
练习解答
2 求函数z ln(1 x2 y2 )当x 1, y 2时的
全微分.
解
由 z x
1
2x x2
y2 ,
z 2 y y 1 x2 y2
z 1 , x x1 3
y2
z 2 y x1 3
20
小结
１ 多元函数全微分的概念； ２ 多元函数全微分的求法； ３ 多元函数连续、可导、可微的关系． （注意：与一元函数有很大区别）
21
练习
1 求下列函数的全微分.
y
(1)z x2 4xy2 y4; (2)z e x
[解答]
2.求函数z ln(1 x2 y2 )当x 1, y 2时的全微分 .
例： 求 z x2 3xy y2在点(1,2)处的偏导数．
解： z 2x 3y ; x
z y
3x 2y .
z x
x 1 y2
2132 8 ,
z y
x1
y2
3122 7 .
4
例题与讲解
y
例：求下列偏导数 (1)u x z ; (2)u arctan(x y)z.
解：
(1)
u
y
(
x
y 1) z
,
u
x
y z
ln
x
1
1
x
y z
ln
x
x z
y
Leabharlann Baidu
zz
u z
x
y z
ln
x
(
y z2
)
y z2
x
y z
ln
x
(2)
u x
1
1 [( x
y)z ]2
z(x
y ) z 1
z( 1
x y)2z (x y)2z
u y
1
z(x (x
y ) z 1 y)2z
,
u z
( x y)z ln( x 1 (x y)2z
设需求函数: Q1=Q1(p1,p2)、 Q2=Q2(p1,p2)。
则
Qi p j
表示商品i关于商品j价格pj的边际需求。
而
Eij
lim iQi / Qi p j 0 p j / p j
pj Qi
Q1 p2
(ln Qi ) (ln p j )
表示商品i需求量对商品j价格pj的需求价格偏弹性。 通常，当i=j时称直接需求价格偏弹性；
8
18
全微分在近似计算中的应用
应用的原理：当x、 y很小时,
z dz f 'x (x, y)x f ' y (x, y)y.
也可写成
f (x x, y y) f (x, y) f 'x (x, y)x f y' (x, y)y.
19
例题与讲解
例：计算(1.04)2.02的近似值。 解： 设函数 f ( x, y) x y.
取 x 1, y 2, x 0.04, y 0.02. f (1,2) 1, fx ( x, y) yx y1, fy ( x, y) x y ln x, fx (1,2) 2, fy (1,2) 0, 由公式得 (1.04)2.02 1 2 0.04 0 0.02 1.08.
10
全微分的定义
定义：如果函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处的全增
量z可表示为z = Ax+By+ ；其中
A=A(x0,y0) 、B=B(x0,y0)与x 、y无关, (x)2 (y)2 , ()为 0时的无穷小量 , 即在(x,y)(0,0)时,是的高阶无穷小量； 则称z的线性主部Ax+By为函数z=f(x,y)在 点P0(x0,y0)处的全微分,记为dz,即 dz= Ax+By 并称函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处可微。
(0,0) lim
x lim
x0
x (x
(x,0)
x
,0) (0,0)
xo_
x
x0
x
要使 f x (0,0)存在，充要条件是 (0,0) (0,0).
即 (0,0) 0, 此时f x (0,0) 0 即当 (0,0) 0, f x (0,0)存在且为 0
同理, 当（0，0）时，f y (0,0) 0
3 求函数z e xy当x 1, y 1, x 0.15, y 0.1 [解答]
时的全微分.
[解答]
4 设f ( x, y) x y ( x, y),其中 ( x, y)在点(0,0)
的邻域内连续，问:
（1） (x, y)在什么条件下 , fx (0,0), f y (0,0)存在？ [解答]
y x2 y
2
x2y2 0 0
1 fx(x 1x, y y) fx(x, y) 00
2 f y(x, y y) fx(x, y) 00
14
连续、偏导、全微分三者关系
归纳本节的三个定理,可知连续、偏导、全微
分三者关系：
偏导数都存在
偏导数都连续 全微分存在
连续
由上面三者关系,可以知道求全微分的方法： ⑴先求出所有偏导函数；
y
13
可微的充分条件
定理2：如果函数z=f(x,y)的偏导函数fx'(x,y)、 fy'(x,y) 在点P(x,y)处连续,则该函数在点P处可微。
证*:z f ( x x, y y) f ( x, y)
[ f ( x x, y y) f ( x, y y)]
[ f (x, y y) f (x, y)]
§8.3偏导数与全微分
一、偏导数 二、全微分
1
偏导数定义及记法
定义：fx(x0 ,
y0 )
lim
x0
f
( x0
x, y0 ) x
f
(x0 , y0 )
f y(x0 ,
y0 )
lim
x0
f
(x0 ,
y0
y) y
f
(x0 ,
y0 )
z f
z x x0 x x yy0
x x0 y y0
x xx0 y y0
z f zx fx(x, y)
x x
f (x, y) f z
y z y xx0 y y0
x x0 y y0
y xx0 y y0
z f z y y y
y
2
偏导数的几何意义
偏导数fx(x0,y0)就是曲面z=f(x,y)被平面y=y0所截得的 曲线在点M0(x0,y0, f(x0,y0))处切线M0Tx对x轴的斜率。
11
可微与连续
微分函数：若函数在某区域各点内处处可微,则称函 数在该区域可微。此时,在该区域上就有了微分函数 dz=A(x,y)x+B(x,y)y。
定理：若函数z=f(x,y)在点P(x,y)可微,则在点P(x,y)连 续。
事实上 z Ax By o( ), lim z 0, 0
lim f ( x x, y y) lim[ f ( x, y) z]
⑵判断偏导函数的连续性；
⑶写出全微分的表示式。
注：一般初等函数的偏导函数仍是初等函数,在 其定义区域内总连续,故⑵不必写出。
15
全微分的习惯表示法
习惯上，总是将自变量的改变量表示为自变量
的微分,即x=dx、 y=dy，故记全微分为： dz z dx z dy x y
全微分的定义可推广到三元及三元以上函数：
y)
5
有关偏导数的几点说明
偏导数记号∂z/∂x、∂z/∂y是整体记号,不能拆分; 求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求。
例如, 设z f ( x, y) xy , 求fx (0, 0), f y (0, 0).
解
fx
(0,0)
lim
x0
| x0|0 x
0
f y (0,0).
6
偏导数的经济意义(详细展开！)
（2）(x, y)在什么条件下 , f (x, y)在(0,0)处可微 ? [解答]
22
练习解答
1 求下列函数的全微分 : y (1)z x2 4xy2 y4; (2)z e x
解 (1) z 2x 4 y2 , z 8xy 4 y3
x
y
dz (2x 4 y2 )dx (8xy 4 y3 )dy
17
例题与讲解
例：求函数z=ycos(x-2y)在 点(/4，)处，当
x= /4, y= 时的全微分。
解： z y sin( x 2 y),
x
z cos( x 2 y) 2 y sin( x 2 y), y
dz ( ,) 4
z dx x ( ,)
4
z dy y ( ,)
4
2 (4 7 ).
P( x x, y y) P 的某个邻域
z Ax By o( ) 总成立, 当y 0时，上式仍成立，此时 | x |,
f ( x x, y) f ( x, y) A x o(| x |),
lim f ( x x, y) f ( x, y) A z ,
x0
x
x
同理可得 B z .
当ij时称交叉需求价格偏弹性；
7
增加经济学例题
8
偏导数存在与连续的关系
一元函数中在某点可导连续。 多元函数中在某点偏导数都存在连续？
例如,函数
f
(
x,
y)
x
2
xy
y
2
,
0,
x2 y2 0
,
x2 y2 0
依定义知在(0,0)处， f x (0,0) f y (0,0) 0.
但函数在该点处并不连续.
偏导数存在 /连续.
9
全微分
多元函数偏导数只描述了某个自变量变化而其 它自变量不变时所引起的函数变化特征。
为了研究所有自变量同时发生变化时函数的变 化特征,需引入全微分概念。
为说清全微分概念,先引入全增量概念。 全增量：若函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域
内有定义,设点P(x0+x, y0+y)是该邻域内任一 点,则称这两点函数值之差 为函数z =在f点(x0P+0处x,对y0应+于y)自- f变(x量0,y改0) 变量x 、y 的全增量。即z = f(x0+x, y0+y) - f(x0,y0)。
(x,y )(0,0)
0
f (x, y)
故函数z f ( x, y)在点( x, y)处连续.
12
可微的必要条件
定理1：若函数z=f(x,y)在点P(x,y)可微,则在点P处偏
导数都存在,且点P处有 dz z x z y
证：
x
y
如果函数z f ( x, y)在点P( x, y)可微分,
y2
12
d z x1 dx dy
y2 3
3
24
练习解答
3 求函数z e xy当x 1, y 1,x 0.15,y 0.1 时的全微分.
解 dz z x z y x y
ye xyx xe xyy.
d z x1, y1 0.15e 0.1e x0.15,y0.1 0.25e
偏导数fy(x0,y0)就是曲面z=f(x,y)被平面x=x0所截得的 曲线在点M0(x0,y0, f(x0,y0))处切线M0Ty对y轴的斜率。
3
偏导数计算
从偏导数定义可见,在增量比的极限过程中,只 有一个变量在变,其余变量在该极限中不变,可 看作常量,这就和导数一样了。
求偏导数的方法：对某变量求偏导,则将其余 变量当作常量,按一元函数求导法计算即可。
fx(x 1x, y y)x f y(x, y 2y)y
fx(x, y)x f y(x, y)y
(0 1,2 1)
[ fx(x 1x, y y) fx(x, y)]x
[ f y(x, y 2y) f y(x, y)]y
其中,
f x( x, 1
y)x x
f y(
x2 y2
x, y)y 2