2014高考调研理科数学课本讲解8-6空间向量及运算

D→1C共面，即A→1C1，D→1A，D→1C共面．
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3．已知向量 a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且 ka＋b 与 2a－b
互相垂直，则 k 的值为
()
A．1
1 B.5
37Βιβλιοθήκη C.5D.5答案 D
解析 ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)．
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第 6 课时 空间向量及运算
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1．了解空间向量的概念．了解空间向量的基本定理及其意 义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．
2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示． 3．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量 积判断向量的共线与垂直．
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3．空间向量基本定理
如果三个向量 a、b、c 不共面，那么对空间任一向量 p， 存在唯一的有序实数组 x，y，z，使 p＝xa＋yb＋zc .
推论：设 O、A、B、C 是不共面的四点，则对空间任一点 P，都存在唯一的三个有序实数 x、y、z，使O→P＝ xO→A＋ yO→B＋zO→C .
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解析 O→E＝O→A＋12A→D ＝O→A＋12×12(A→B＋A→C) ＝O→A＋14(O→B－O→A＋O→C－O→A) ＝12O→A＋14O→B＋14O→C ＝12a＋14b＋14c.
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|A→B|＝ A→B·A→B ＝ x2－x12＋y2－y12＋z2－z12 .
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1．在下列命题中：
①若向量 a，b 共线，则向量 a，b 所在的直线平行；
②若向量 a，b 所在的直线为异面直线，则向量 a，b 一定
不共面；
③若三个向量 a，b，c 两两共面，则向量 a，b，c 共面；
∵(ka＋b)⊥(2a－b)，
∴3(k－1)＋2k－4＝0，解得 k＝75.
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4．在四面体 O—ABC 中，O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，D 为
BC 的中点，E 为 AD 的中点，则O→E＝________(用 a，b，c 表
示)． 答案 12a＋14b＋14c
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⑤a⊥b⇒ a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a≠0，b≠0)；
⑥A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，
A→B＝O→B－O→A＝ (x2，y2，z2)－(x1，y1，z1) ＝ (x2－x1，
• y2－y1，z2－z1)
．
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点出发的三条棱所对应的三个向量；④错，a，b，c 要求不共
面．
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2．在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，向量D→1A、D→1C、A→1C1
是
()
A．有相同起点的向量 B．等长向量
C．共面向量
D．不共面向量
答案 C 解析 A→1C1＝A→C，又∵AC，D1A，D1C 共面，∴A→C，D→1A，
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请注意！
纵观近几年的高考试题，对空间向量部分的考查主要集中 于空间向量的概念和运算的考查，部分用空间向量知识来解的 题目也可以不建空间直角坐标系，而直接使用线性运算，充分 发挥空间向量基本定理的作用．总体来看，高考对空间向量更 多地考查其工具性作用.
①(λ·a)·b＝ λ(a·b) ；
②a·b＝ b·a (交换律)； ③a·(b＋c)＝ a·b＋a·c (分配律)．
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5．空间向量的直角坐标运算
设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 ①a＋b＝ (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) ； ②a－b＝ (a1－b1，a2－b2，a3－b3) ； ③a·b＝ a1b1＋a2b2＋a3b3 ，特殊地 a·a＝ a21＋a22＋a23 ； ab33(b1④·b2a·b∥3≠b⇔0)a1＝λb1，a2＝λb2；，a3＝λb3(λ∈R，b≠0)或ab11＝ba22＝
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1．把空间中具有 大小 和 方向 的量叫向量． 2．(1)共线向量定理：对于空间任意两个向量 a，b(b≠0)， a∥b 的充要条件是 存在实数λ，使a＝λb . (2)共面向量定理：如果两个向量 a、b 不共线，则向量 p 与向量 a、b 共面的充要条件是存在实数对 x、y，使p＝xa＋yb .
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6．向量 a 与 b 的夹角
设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 a1b1＋a2b2＋a3b3
a，b ＝ a21＋a22＋a23· b12＋b22＋b23 .
7．两点距离公式
设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)为空间两点，则
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4．两个向量的数量积
(1)非零向量 a，b 的数量积：a·b＝ |a||b|cos<a，b> ．
(2)向量的数量积的性质： ①a·e＝ |a|cos<a，e>，e为单位向量 ；
②a⊥b⇔ a·b＝0； ③|a|2＝ a·a .
(3)向量的数量积满足如下运算律：
④已知空间的三个向量 a，b，c，则对于空间的任意一个
向量 p 总存在实 x，y，z 使得 p＝xa＋yb＋zc.
其中正确命题的个数是
()
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A．0
B．1
C．2
D．3
答案 A
解析 ①错，向量 a，b 所在的直线可能重合；②错，向量
a，b 可以平行移动到同一平面内；③错，如从三棱锥的一个顶