排列组合公式以及排列组合计算公式word版

排列组合公式/排列组合计算公式
排列P------和顺序有关
组合C -------不牵涉到顺序的问题
排列分顺序,组合不分
例如把5 本不同的书分给3 个人,有几
种分法. "排列"
把 5 本书分给 3 个人,有几种分法
"组合"
1．排列及计算公式
从n 个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列；从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫
做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号p(n,m)表示.
p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).
2．组合及计算公式
从n 个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素
的一个组合；从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元
素中取出m 个元素的组合数.用符号
c(n,m) 表示.
c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);
3．其他排列与组合公式
从n 个元素中取出r 个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.
n 个元素被分成k 类，每类的个数分别是n1,n2,...nk 这n 个元素的全排列数为
n!/(n1!*n2!*...*nk!).
k 类元素,每类的个数无限,从中取出m 个元素的组合数为c(m+k-1,m).
排列（Pnm(n 为下标，m 为上标)）
Pnm=n×（n-1）....（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Pnn（两个n 分别为上标和下标）=n！；0！=1；Pn1（n 为下标1 为上标）=n
组合（Cnm(n 为下标，m 为上标)）
Cnm=Pnm/Pmm ；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个n 分别为上标和下标）=1 ；
Cn1（n 为下标1 为上标）=n；Cnm=Cnn-m
2008-07-08 13:30
公式P 是指排列，从N 个元素取R 个进行排列。

公式C 是指组合，从N 个元素取R 个，不进行排列。

N-元素的总个数
R 参与选择的元素个数
！-阶乘，如9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1
从N 倒数r 个，表达式应该为n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1);
因为从n 到（n-r+1)个数为n－（n-r+1)＝r
举例：
Q1:有从1 到9 共计9 个号码球，请问，可以组成多少个三位数？
A1:123 和213 是两个不同的排列数。

即对排列顺序有要求的，既属于“排
列P”计算范畴。

上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997 之类的组
合，我们可以这么看，百位数有9 种可能，十位数则应该有9-1 种可能，个位数则应该只有9-1-1 种可能，最终共有9*8*7 个三位数。

计算公式＝P（3，9)＝9*8*7,(从9 倒数 3 个的乘积）
Q2:有从1 到9 共计9 个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？
A2:213 组合和312 组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即
可。

即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。

上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最
终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1
排列、组合的概念和公式典型例题分析
例1设有 3 名学生和4 个课外小组．（1）每名学生都只参加一个课外小组；（2）每
名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方法？
解（1）由于每名学生都可以参加 4 个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的
人数，因此共有种不同方法．
（2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此
共有种不同方法．
点评由于要让 3 名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算．
例 2 排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少种？
解依题意，符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个，共 3 类，每一类中不同
排法可采用画“树图”的方式逐一排出：
∴符合题意的不同排法共有9 种．
点评按照分“类”的思路，本题应用了加法原理．为把握不同排法的规律，“树图”是
一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型．
例３判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果．
（1）高三年级学生会有11 人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了
一次手，共握了多少次手？
（2）高二年级数学课外小组共10 人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不
同的选法？②从中选 2 名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？
（3）有2，3，5，7，11，13，17，19 八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多
少种不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？
（4）有8 盆花：①从中选出2 盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？②从中
选出 2 盆放在教室有多少种不同的选法？
分析（1）①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺
序有关是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题．其他类似分析．
（1）①是排列问题，共用了封信；②是组合问题，共需握手（次）．
（2）①是排列问题，共有（种）不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．（3）①是排列问题，共有种不同的商；②是组合问题，共有种不同的积．
（4）①是排列问题，共有种不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．
例４证明证明．
左式
右式．
∴等式成立．
点评这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质，可使变形过程得以简化．
例5化简．
解法一原式
解法二原式
点评解法一选用了组合数公式的阶乘形式，并利用阶乘的性质；解法二选用了组合数的两个性质，都使变形过程得以简化．
例6解方程：（1）；（2）．
解（1）原方程
解得．
（2）原方程可变为
∵，，
∴原方程可化为．
即，解得
第六章
一、考纲要求
排列组合、二项式定理
1.掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些简单的问题.
2.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质， 并能用它们解决一些简单的问题.
3.掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题. 二、知识结构
三、知识点、能力点提示 (一)加法原理乘法原理
说明加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排列、 组合中有关问题提供了理论根据.
例 1 5 位高中毕业生，准备报考 3 所高等院校，每人报且只报一所，不同的报 名方法共有多少种?
解： 5 个学生中每人都可以在 3 所高等院校中任选一所报名，因而每个学生 都有 3 种不同的报名方法，根据乘法原理，得到不同报名方法总共有
3×3×3×3×3=3 (种)
(二)排列、排列数公式
说明排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，它研究
的对象以及研究问题的方法都和前面掌握的知识不同，内容抽象，解题方法比 较灵活，历届高考主要考查排列的应用题，都是选择题或填空题考查. 例 2 由数字 1、2、3、4、5 组成没有重复数字的五位数，其中小于 50 000 的 偶数共有() A.60 个
B.48 个
C.36 个
D.24 个
1
5
解因为要求是偶数，个位数只能是 2 或 4 的排法有 P 2；小于 50 000 的五位 1数，万位只能是 1、3 或 2、4 中剩下的一个的排法有 P 3;在首末两位数排定后， 3131中间 3 个位数的排法有 P 3，得 P 3P 3P 2＝36(个) 由此可知此题应选 C.
例 3 将数字 1、2、3、4 填入标号为 1、2、3、4 的四个方格里，每格填一个 数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种?
解：将数字 1 填入第 2 方格，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填 法有 3 种，即 214 3，3142，4123；同样将数字 1 填入第 3 方格，也对应着 3 种填法；将数字 1 填入第 4 方格，也对应 3 种填法，因此共有填法为
3P 3=9(种).
例四
例五可能有问题，等思考
1
三)组合、组合数公式、组合数的两个性质
说明历届高考均有这方面的题目出现，主要考查排列组合的应用题，且基本上 都是由选择题或填空题考查.
例 4 从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台，其中至少有甲型与乙型电 视机各 1 台，则不同的取法共有() A.140 种
B.84 种
C.70 种
D.35 种
解：抽出的 3 台电视机中甲型 1 台乙型 2 台的取法有 C 14·C 25 种；甲型 2 台乙 21型 1 台的取法有 C 4·C 5 种 根据加法原理可得总的取法有 C 24·C 25+C 24·C 15=40+30=70(种 ) 可知此题应选 C.
例 5 甲、丙、乙、丁四个公司承包 8 项工程，甲公司承包 3 项，乙公司承包 1 项， 丙、丁公司各承包 2 项，问共有多少种承包方式? 解：
甲公司从 8 项工程中选出 3 项工程的方式 C 8 种；
1
3
乙公司从甲公司挑选后余下的 5 项工程中选出 1 项工程的方式有 C 5 种；
丙公司从甲乙两公司挑选后余下的 4 项工程中选出 2 项工程的方式有 C 4 种；
丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的 2 项工程中选出 2 项工程的方式有 2C 2 种.
根据乘法原理可得承包方式的种数有 C 8×C 5×C 4×C 2= ×1=1680(种). (四)二项式定理、二项展开式的性质
3
1
2
2
2
说明二项式定理揭示了二项式的正整数次幂的展开法则，在数学中它是常用的 基础知识，从 1985 年至 1998 年历届高考均有这方面的题目出现，主要考查二 项展开式中通项公式等，题型主要为选择题或填空题. 例6
在(x- ) 的展开式中，x 的系数是(
6
10
6
)
D.9C 10
4
A.-27C 10
解 因T
B.27C 10
4
C.-9C 10
6
设(x- )10 的展开式中第γ+1 项含 x 6， γ+1
=C γ 10 x 10-γ (- ) ，10-γ=6,γ=4
4
4
4
γ 于是展开式中第 5 项含 x 6，第 5 项系数是 C 10(- ) =9C 10 故此题应选 D. 例7
于
(x-1)-(x-1)2＋(x-1)3-(x-1)+(x-1)５的展开式中的 x ２的系数等
解：此题可视为首项为 x-1，公比为-(x-1)的等比数列的前 5 项的和，则其和为 在(x-1) 中含 x 的项是 C 6x (-1) =-20x ，因此展开式中 x 的系数是-2 0. (五)综合例题赏析 例8 A.1 解：A.
例 9 2 名医生和 4 名护士被分配到 2 所学校为学生体检，每校分配 1 名医生和 2 名护士，不同的分配方法共有() A.6 种
B.12 种
2
6
3
3
3
3
3
2
若(2x+ ) =a 0+a 1x+a 2x +a 3x +a 4x ，则(a 0+a 2+a 4) -(a 1+a 3) 的值为(
B.-1
C.0
D.2
4
2
3
4
2
2
)
C.18 种
2
D.24 种
解分医生的方法有 P 2＝2 种，分护士方法有 C 4=6 种，所以共有 6×2＝12 种不 同的分配方法。

应选 B.
例 10 从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台，其中至少要有甲型与乙 型电视机各 1 台，则不同取法共有(). A.140 种
B.84 种
C.70 种
D.35 种
解：取出的3 台电视机中，甲型电视机分为恰有一台和恰有二台两种情形.
∵C 4·+C 5·C 4=5×6+10×4=70.
∴应选C.
例11 某小组共有10 名学生，其中女生3 名，现选举2 名代表，至少有1 名女生当选的不同选法有()
A.27 种
B.48 种
C.21 种
D.24 种
221
解：分恰有1 名女生和恰有 2 名女生代表两类：
∵C 3·C 7+C 3=3×7+3=24，
∴应选D.
例12 由数学0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的六位数，其中个位数字
小于十位数字的共有().
A.210 个C.464 个
B.300 个
D.600 个
1
112
解：先考虑可组成无限制条件的六位数有多少个?应有P 5·P 55=600 个.
由对称性，个位数小于十位数的六位数和个位数大于十位数的六位数各占一半.∴有×600=300 个符合题设的六位数.
应选B.
例13 A.70 个C.58 个以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有(
B.64 个
D.52 个
).
解：如图，正方体有8 个顶点，任取4 个的组合数为C48=70 个.
其中共面四点分3 类：构成侧面的有6 组；构成垂直底面的对角面的有2 组；形如(ADB1C1 )的有 4 组.
∴能形成四面体的有70-6-2-4=58(组)
应选C.
例 14 如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的 12 条直线 中，异面直线共有(). A.12 对 C.36 对
解：设正六棱锥为 O —ABCDEF.
任取一侧棱 OA(C 6)则 OA 与 BC 、CD 、DE 、EF 均形成异面直线对. ∴共有 C 6×4=24 对异面直线. 应选 B.
例 15 共 正六边形的中心和顶点共 7 个点，以其中三个点为顶点的三角形 个(以数字作答). 3
1
1
B.24 对 D.48 对
解：7 点中任取 3 个则有 C 7=35 组. 其中三点共线的有 3 组(正六边形有 3 条直径). ∴三角形个数为 35-3=32 个.
例 16 设含有 10 个元素的集合的全部子集数为 S ，其中由 3 个元素组成的子集 数为 T ，则的值为。

解 10 个元素的集合的全部子集数有：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
S ＝C 10+C 10+C 10+C 10+C 10+C 10+C 10+C 10+C 10+C 10+C 010=2 10=1024 其中，含 3 个元素的子集数有 T=C 10=120 故=
例 17 例 17在 50 件产品 n 中有 4 件是次品，从中任意抽了 5 件，至少
有 3 件是次品的抽法共
种(用数字作答).
解：“至少 3 件次品”即“有 3 件次品”或“有 4 件次品”. ∴C 4·C 46+C 4·C 46=4186(种)
例 18 有甲、乙、丙三项任务，甲需 2 人承担，乙、丙各需 1 人承担，从 10 人中选派 4 人承担这三项任务，不同的选法共有().
3
2
4
1
3
A.1260 种 C.2520 种
B.2025 种 D.5040 种
2
解：先从 10 人中选 2 个承担任务甲(C 10) 再从剩余 8 人中选 1 人承担任务乙(C 1 8) 又从剩余 7 人中选 1 人承担任务乙(C 7) ∴有 C 10·C 8C 7=2520(种). 应选 C.
例 19 A.7 个
集合｛1，2，3｝子集总共有( B.8 个
C.6 个
). D.5 个
2
1
1
1
解三个元素的集合的子集中，不含任何元素的子集有一个，由一个元素组成的 子集数
C 3，由二个元素组成的子集数 C 3。

由 3 个元素组成的子集数 C 3。

由加法原理可得集合子集的总个数是 C 13+C 23+C 33+1=3+3+1+1＝8 故此题应选 B.
例 20 假设在 200 件产品中有 3 件是次品，现在从中任意抽取 5 件，其中至少 有两件次品的抽法有(). A.C 3C 197 种 C.C 200-C 197
5
5
2
3 3
1
2
B.C 3C 197 +C 3C 197
D.C 200-C
5
1
3 2
3 3
2
C 197
2
3
4 解：
5 件中恰有二件为次品的抽法为 C 3C 197， 5 件中恰三件为次品的抽法为 C 33C 2197， ∴至少有两件次品的抽法为 C 3C 197+C 3C 197. 应选 B.
例 21 两排座位，第一排有 3 个座位，第二排有 5 个座位，若 8 名学生入座(每 人一个座位)，则不同座法的总数是().
2
3
3
2
A.C 8C 8 5 3
B.P 2C 8C 8 1 5 3
C.P 8P 8 5 3。