初中数学抛物线与几何专题训练及答案

初中数学抛物线与几何专题训练及答案

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抛物线与几何问题

【知识纵横】

抛物线的解析式有下列三种形式：1、一般式：

2y ax bx c =++(a ≠0)；2、顶点式：y =a(x —h) 2-＋k ；3、交点式：y=a(x —x 1)(x —x 2 ) ，这里x 1、x 2 是方程ax 2 +bx+c=0的两个实根。 解函数与几何的综合题，善于求点的坐标，进而求出函数解析式是解题的基础；而充分发挥形的因素，数形互动，把证明与计算相结合是解题的关键。 【典型例题】

【例1】 (浙江杭州) 在直角坐标系xOy 中，设点A （0，t ），点Q （t ，b ）。平移二

次函数2tx y -=的图象，得到的抛物线F 满足两个条件：①顶点为Q ；②与x 轴相交于B ，C 两点（∣OB∣<∣OC∣），连结A ，B 。 （1）是否存在这样的抛物线F ， OC OB OA ⋅=2

请你作出判断，并说明理由；

（2）如果AQ∥BC，且tan∠ABO=2

3

，求抛

物线F 对应的二次函数的解析式。

【思路点拨】（1）由关系式OC OB OA ⋅=2

来构建关于t 、b 的方程；(2)讨论

t 的取值范围，来求抛物线F 对应的二次函数的解析式。

【例2】(江苏常州)如图,抛物线24y x x =+与x 轴分别相交于点B 、O,它的顶点为A,连接AB,把AB 所的直线沿y 轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P 是直线l 上一动点.

（1）求点A 的坐标;

（2）以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形中,有菱形、等

腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P 的坐标;

（3）设以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形的面积为S,

点P 的横坐标为x,当462682S +≤≤+时,求x 的取值范围.

【思路点拨】（3）可求得直线l 的函数关系式是y=-2x ，所以应讨论①当点P 在第二象限时，x<0、 ②当点P 在第四象限是，x>0这二种情况。

【例3】（浙江丽水）如图，在平面直角坐标系中，已知点A 坐标为（2，4），直线2=x 与x 轴相交于点B ，连结OA ，抛物线2x y =从点O 沿OA 方向平移，与直线2=x 交于点P ，顶点M 到A 点时停止移动．

（1）求线段OA 所在直线的函数解析式； （2）设抛物线顶点M 的横坐标为m ,

①用m 的代数式表示点P 的坐标；

②当m 为何值时，线段PB 最短； y B

A P M

x

（3）当线段PB 最短时，相应的抛物线上是否存在点Q ，使△QMA 的面积与△PMA 的面积相等，若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

【思路点拨】（2）构建关于PB 的二次函数，求此函数的最小

值；（3）分当点Q 落在直线OA 的下方时、当点Q 落在直线OA 的上方时讨论。

【例4】（广东省深圳市）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数)0(2>++=a c bx ax y 的图象的顶点为D 点，与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），OB ＝

OC ，tan∠ACO＝3

1

．

（1）求这个二次函数的表达式．

（2）经过C 、D 两点的直线，与x 轴交于点E ，在该抛物线上是否存在这样的点F ，

使以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）若平行于x 轴的直线与该抛物线交于M 、N 两点，且以MN 为直径的圆与x

轴相切，求该圆半径的长度．

（4）如图2，若点G （2，y ）是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上

一动点，当点P 运动到什么位置时，△APG 的面积最大求出此时P 点的

坐标和△APG 的最大面积.

【思路点拨】（2）可先以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形时，求F 点的坐标，再代入抛物线的表达式检验。（3）讨论①当直线MN 在x 轴上方时、②当直线MN 在x 轴下方时二种情况。（4）构建S 关于x 的二次函数，求它的最大值。

【例5】（山东济南）已知：抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)，顶点C (1，3-)，与x 轴交于A 、B 两点，(10)A -，．

（1）求这条抛物线的解析式．

（2）如图，以AB 为直径作圆，与抛物线交于点D ，与抛物线对称轴交于点E ，依次连接A 、D 、B 、E ，点P 为线段AB 上一个动点(P 与A 、B 两点不重合)，过点P 作PM ⊥AE 于M ，

PN ⊥DB 于N ，请判断PM PN BE

AD

+是否为定值 若是，请求出此定值；若不

是，请说明理由．

（3）在(2)的条件下，若点S 是线段EP 上一点，过点S 作FG ⊥EP ，FG 分别与边．

AE 、BE 相交于点F 、G (F 与A 、E 不重合，G 与E 、B 不重合)，请判断PA EF PB

EG

=是否成

【思路点拨】（2）证△APM ∽△ABE ，PM BE 同理: PN PB AD AB = （3）证PH =BH 且△APM ∽△再证△MEP ∽△EGF 可得。

【学力训练】

1、（广东梅州）如图所示，在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ， AD ⊥DB ，AD =DC =CB ，AB =4．以AB 所在直线为x 轴，过D 且垂直于AB 的直线为y 轴建立平面直角坐标系．

（1）求∠DAB 的度数及A 、D 、C 三点的坐标；

（2）求过A 、D 、C 三点的抛物线的解析式及其对称轴L ．

（3）若P 是抛物线的对称轴L 上的点，那么使∆PDB 为等腰三角形的点P 有几个（不必求点P 的坐标，只需说明理由）

2、（广东肇庆）已知点A （a ，1y ）、B （2a ，y 2）、C （3a ，y 3）都在抛物线x x y 1252+=上.

（1）求抛物线与x 轴的交点坐标； （2）当a =1时，求△ABC 的面积；

（3）是否存在含有1y 、y 2、y 3，且与a 无关的等式如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由.

3、（青海西宁）如图，已知半径为1的1O 与x 轴交于A B ，两点，

OM 为1O 的切线，切点为M ，圆心1O 的坐标为(20)，

，二次函数2y x bx c =-++的图象经过A B ，两点． （1）求二次函数的解析式；

（2）求切线OM 的函数解析式；

（3）线段OM 上是否存在一点P ，使得以

P O A ，，为顶点的三角形与1OO M △相似．若

y x

O

A

B M O 1