三角函数、数列、导数试题及详解

三角函数、数列导数测试题及详解

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是 符合题目要求的．

1．已知点A （-1，1），点B （2，y ），向量a=（l ，2），若//AB a

，则实数y 的值为

A ．5

B ．6

C ．7

D ．8

2．已知等比数列123456{},40,20,n a a a a a a a ++=++=中则前9项之和等于 A ．50

B ．70

C ．80

D ．90

3．2(sin cos )1y x x =+-是

A ．最小正周期为2π的偶函数

B ．最小正周期为2π的奇函数

C ．最小正周期为π的偶函数

D ．最小正周期为π的奇函数 4．在右图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，

每一纵列成等比数列，那么x+y+z 的值为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．已知各项均不为零的数列{}n a ，定义向量

*1(,),(,1),n n n n c a a b n n n N +==+∈

，下列命题中真命题是

A ．若*,//n n n N c b ∀∈总有成立，则数列{}n a 是等差数列

B ．若*,//n n n N c b ∀∈总有成立，则数列{}n a 是等比数列

C ．若*,n n n N c b ∀∈⊥总有成立，则数列{}n a 是等差数列

D ．若*,n n n N c b ∀∈⊥总有成立，则数列{}n a 是等比数列

6．若sin2x 、sinx 分别是sin θ与cos θ的等差中项和等比中项，则cos2x 的值为

A B C D ．

14

-

7．如图是函数sin()y x ωϕ=+的图象的一部分，A ，B 是图象上的一个最高点和一个最低

点，O 为坐标原点，则OA OB ⋅

的值为

A ．12π

B ．2119π+

C ．2

119

π-

D ．2

113

π-

8．已知函数()cos ((0,2))f x x x π=∈有两个不同的零点x 1，x 2，且方程()f x m =有两个

不同的实根x 3，x 4．若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m 的值为

A ．

12

B ．12

-

C

D

9．设函数f （x ） =e x （sinx —cosx ），若0≤x ≤2012π，则函数f （x ）的各极大值之和为

A ．1006(1)1e e e πππ--

B ．20122(1)

1e e e

πππ

-- C ．10062(1)1e e e πππ

-- D ．2012(1)1e e e

πππ

-- 10．设函数01

1

()(),2

1

x

f x x A x =+

+为坐标原点，A 为函数()y f x =图象上横坐标为*

()n n N ∈ 的点，向量11

,(1,0),n n k k n n k a A A i a i θ-===∑

向量设为向量与向量的夹

角，满足

1

5

tan 3

n

k

k θ

=<

∑的最大整数n 是 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位

置上，题两空的题，其答案按先后次序填写，填错位置，书写不清，模棱两可均不得分． 11．设1

(sin cos )sin 2,()3

f f ααα+=则的值为 ．

12．已知曲线1*()()n f x x n N +=∈与直线1x =交于点P ，若设曲线y=f （x ）在点P 处的

切线与x 轴交点的横坐标为201212012220122011,log log log n x x x x +++ 则的值为____．

13．已知22

sin sin ,cos cos ,33

x y x y -=-

-=且x ，y 为锐角，则tan （x -y ）= ． 14．如图放置的正方形ABCD ，AB =1．A ，D 分别在x 轴、y 轴的正半

轴（含原点）上滑动，则OC OB ⋅

的最大值是____．

15．由下面四个图形中的点数分别给出了四个数列的前四项，将每个图形

的层数增加可得到这四个数列的后继项，按图中多边形的边数依次称 这些数列为“三角形数列”、“四边形数列”…，将构图边数增加到n 可 得到“n 边形数列”，记它的第r 项为P （n ，r ），则（1）使得P （3，r ）>36的最 小r 的取值是 ；

（2）试推导P （n ，r ）关于，n 、r 的解析式是____．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知2

(2sin ,),(1cos 1)OA a x a OB x x ==-+ ，O 为坐标原点，0,a ≠设(),.f x OA OB b b a =⋅+>

（I ）若0a >，写出函数()y f x =的单调速增区间； （Ⅱ）若函数y=f （x ）的定义域为[,2

π

π]，值域为[2，5]，求实数a 与b 的值，

17．（本小题满分12分）

如图，某测量人员，为了测量西江北岸不能到达的两点A ，B 之间的距离，她在西江南岸找到一个点C ，从C 点可以观察到点A ，B ；找到一个点D,从D 点可以观察到点A ，C ；到一个点E ，从E 点可以观察到点B ，C ；并测量得到数据：∠ACD=90°,∠ADC= 60°,∠ACB =15°，∠BCE =105°，∠CEB =45°，DC=CE =1（百米）． （I ）求△CDE 的面积； （Ⅱ）求A ，B 之间的距离．

18．（本小题满分12分）

国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款，旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习

期间所需的学费、住宿费及生活费．每一年度申请总额不超过6000元．某大学2010届毕业生李顺在本科期间共申请了24000元助学贷款，并承诺在毕业后3年内（按36个月计）全部还清．