专题训练(二)二次函数图象与a,b,c,b2-4ac等符号问题

专题训练（二）二次函数图象与a, b, c, b2—4ac等符号问题二次函数y= ax2+ bx+ c（a^ 0）的图象特征与a, b, c及判别式b2—4ac的符号之间的关系：一、选择题1. 2016宁波已知函数y= ax2—2ax—1（a是常数，a* 0）,下列结论正确的是（）A .当a = 1时，函数图象过点（一1, 1）B. 当a=—2时，函数图象与x轴没有交点C. 若a>0,则当x> 1时，y随x的增大而减小D. 若a v 0,则当x w 1时，y随x的增大而增大2. 二次函数y= ax2+ bx + c的图象如图2- ZT —1所示，则下列关系式错误的是()图 2 —ZT — 1A. a v 0B. b > 02C. b —4ac>0D. a+ b + c v 03. 以x为自变量的二次函数y= x2—2(b—2)x+ b2—1的图象不经过第三象限，贝U实数b的取值范围是()A . b> 5 B. b > 1 或b w—14C . b > 2D . 1 w b w 24 . 2017威海已知二次函数y= ax2+ bx+ c(a^ 0)的图象如图2—ZT —2所示，则正比例a _b _ c函数y= (b+ c)x与反比例函数y = ------------- 在同一坐标系中的大致图象是()图 2 —ZT — 2图 2 —ZT — 35. 2017安徽已知抛物线y= ax2+ bx + c与反比例函数y= b的图象在第一象限有一个公X共点，其横坐标为1,则一次函数y= bx+ ac的图象可能是（）A B C D图 2 —ZT — 46. 2017烟台二次函数y= ax2+ bx+ c（a^ 0）的图象如图2 —ZT —5所示，对称轴是直线x= 1.下列结论：①ab v 0 :②b2> 4ac;③a + b+ 2c v 0;④3a + c v 0.其中正确的是（）A .①④B .②④C.①②③ D .①②③④7. 2017鄂州如图2—ZT —6,抛物线y= ax2+ bx+ c的图象交x轴于点A（—2, 0）和点1 a + b B,交y轴负半轴于点C,且OB = OC.下列结论：①2b—c = 2;②a =-；③ac= b —1;④一厂 >0,其中正确的结论有（）A . 1个B . 2个C. 3个& 2017齐齐哈尔抛物线y = ax2+ bx+ c（a丰0）的对称轴为直线x= —2,与x轴的一个交点在（—3, 0）和（—4, 0）之间，其部分图象如图2—ZT —7所示，则下列结论：①4a—b= 0; 是该抛物线上的点，则y i< y2< y3.正确的结论有()②c v 0；③一3a + c>0;④4a—2b>at2+ bt（t 为实数）;⑤点—|,图 2 —ZT— 6-2A . 4个B . 3个C. 2个D . 1个二、填空题9. 二次函数y = ax2+ bx+ c的图象的一部分如图2 —ZT —8所示，则a的取值范围是图 2 —ZT —810. 2017天水如图2 —ZT —9是抛物线y i= ax2+ bx+ c(a^0)的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A(1, 3),与x轴的一个交点是B(4, 0),直线y2= mx+ n(m^ 0)与抛物线交于A, B两点，下列结论：①abc> 0;②方程ax2+ bx+ c= 3有两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是(一1, 0);④当1 < x<4时，有y2>y1；⑤x(ax+ b)< a+ b.其中正确的结论是_______________ .(只填写序号)11.2017株洲如图2—ZT —10,二次函数y= ax2+ bx+ c的图象的对称轴在y轴的右侧，其图象与x轴交于点A(— 1 , 0), C(X2, 0),且与y轴交于点B(0, —2),小强得到以下结论：①0< a < 2;②一1< b < 0;③c=—1;④当|a|= |b|时，X2> .5—1.以上结论中，正确的结论序号是12. 如图2— ZT — 11,二次函数y = ax 2+ bx + c(a>0)的图象的顶点为 D ,其图象与x 轴 的交点A , B 的横坐标分别为一1，3，与y 轴负半轴交于点 C.在下面五个结论中：① 2a — b1=0•，②a + b + c>0;③c =— 3a ；④当a = ?时，△ ABD 是等腰直角三角形；⑤使△ ACB 为等 腰三角形的a 的值可以有四个•其中正确的结论是 _________________ (只填序号).三、解答题13. 如图2— ZT — 12,二次函数y = ax 2+ bx + c 的图象与x 轴交于B , C 两点，交y 轴 于点A.(1) 根据图象确定a , b , c 的符号；1(2) 如果0C = OA = 3OB , BC = 4,求这个二次函数的表达式.3图 2 — ZT — 1214. 已知函数y = ax 2 + bx + c ,若a >0, b v 0, c v 0,则这个函数的图象与 x 轴交点的图 2 — ZT — 10 图 2 — ZT —11情况是怎样的？若无交点，请说明理由；若有交点，请说明有几个交点及交点分别在x轴的哪个半轴上.详解详析专题训练(二)二次函数图象与a，b, c,b2—4ac等符号问题1. ［答案］D2. ［解析］D 抛物线开口向下，则a v 0,所以A选项的关系式正确；抛物线的对称轴在y轴的右侧，a, b异号，则b>0,所以B选项的关系式正确；抛物线与x轴有2个交点，则b2—4ac>0,所以C选项的关系式正确；当x = 1时，y> 0,即a+ b + c> 0,所以D选项的关系式错误.3. ［答案］A4. ［答案］C5. ［解析］B由公共点的横坐标为1,且在反比例函数y=-的图象上，当x = 1时，yx=b,即公共点的坐标为(1, b).又点(1, b)在抛物线上，得a+ b+ c= b,即a+ c= 0•由a* 0 知ac v 0,一次函数y = bx + ac的图象与y轴的交点在负半轴上，而反比例函数y 的图象X的一支在第一象限，故b>0，一次函数的图象满足y随x的增大而增大，选项B符合条件.故选B.6. ［解析］C ①抛物线的开口向上，所以a>0•抛物线的对称轴为直线x= —1,所以b<0,所以ab v 0.所以①正确；②抛物线与x轴有两个交点，所以b2—4ac>0,所以b2> 4ac•所以②正确；③由图象知，当x= 1时，y= a+ b + c<0.又抛物线与y轴交于负半轴，所以c<0,所以a+ b + 2c v 0.所以③正确；④由抛物线的对称性知当x= 3时，y= 9a+ 3b+ c>0.又一吕=1,所以b =—2a,所以2a3a+ c>0.所以④错误.综上可知，正确的是①②③.故选C.7. ［解析］C 在y = ax2+ bx + c 中，当x = 0 时y= c,二C(0, c),二OC = —c.^OB = OC, ••• B( —c, 0).••• A( —2, 0),•••—c, —2 是一元二次方程ax2+ bx + c= 0 的两个不相等c 1 1 o的实数根，•一 c • — 2) = . •/ C M 0, • a =3,②正确；v — c , — 2是一元二次方程-x + bx a 2 2 + c = 0的两个不相等的实数根，•一 c + (— 2)=—-,即2b — c = 2,①正确；把 B( — c , 0)2代入 y = ax 2 + bx + c ,得 0 = a( — c)2 + b (— c) + c ,即 ac 2— bc + c = 0. ■/ c 丰0, • ac — b + 1 = 0,• ac = b — 1，③正确；•••抛物线开口向上，• a >0. v 抛物线的对称轴在 x 轴左侧，•—丄v 2aa + b0, • b >0, • a + b >0. v 抛物线与y 轴负半轴交于点 C , • c v 0. • — v 0,④错误.c& ［解析］B v 抛物线y = ax 2 + bx + c(a M 0)的对称轴为直线 x =— 2, •—暑一 2, /4a — b = 0,故①正确;•••抛物线y = ax 2 + bx + c(a ^0)的对称轴为直线 x = — 2,与x 轴的一个交点在(—3, 0) 和(一4, 0)之间，.••另一个交点位于(一1, 0)和(0, 0)之间，.••抛物线与y 轴的交点在原点的 下方，• c v 0•故②正确；■/ 4a — b = 0, • b = 4a. v 当 x = — 3 时，y = 9a — 3b + c = 9a — 12a + c =— 3a + c>0,故③ 正确；2 2 2 2■/ 4a — b = 0, • b = 4a , • at + bt — (4a — 2b) = at + 4at — (4a — 2X 4a) = at + 4at + 4a = a(t + 4t + 4) = a(t + 2)2. •/ t 为实数，a v 0, • a(t + 2)2< 0, • at 2 + bt — (4a — 2b)< 0, • at 2 + bt < 4a —2b ,即 4a — 2b 》af + bt , ••④错误；•••将它们描在图象上可得 由图象可知：y i <y 3<y 2 ,故⑤错误. 综上所述,正确的有3个.故选B. 9.［答案］—1 v a v 0［解析］v 抛物线开口向下，.•• a v 0.v 函数图象过点(0, 1), ••• c = 1.•••点-2, yi ， -2, y2 ,2, y 3是该抛物线上的点，yio•••函数图象过点(1, 0), ••• a + b + c = 0, ••• b =- (a + c) = — (a + 1).由题意知，当x =— 1时，应有y > 0, --a — b + c > 0, --a + (a + 1) + 1 > 0, •• a > — 1,• a 的取值范围是一1< a v 0. 10.［答案］②⑤［解析］①根据函数图象的开口方向、对称轴、与 y 轴交点可知，a < 0, b >0, c > 0,故 abc v 0;②根据函数图象的顶点坐标可知 ，方程ax 2 + bx + c = 3有两个相等的实数根，即 =X 2= 1;③根据抛物线的对称性可知 ，抛物线与x 轴的另一个交点是(—2, 0);④根据函数图象，当 1< x < 4 时，有 y 2< y 1;⑤当 x = 1 时，y = a + b + c = 3>x(ax + b) + c , • x(ax + b)< a +b.故正确的结论有②⑤.11. ［答案］①④故有 a =— b.又 a — b = 2,可得 a = 1, b =— 1. 故原函数为y = x 2— x — 2,当y = 0时，即有x 2 — x — 2= 0,解得X 1 = — 1, X 2= 2, 此时X 2= 2 > 5— 1.故答案为：①④ 12. ［答案］③④［解析］•••抛物线与x 轴的交点A , B 的横坐标分别为—1, 3, • AB = 4,对称轴为直线 x =—严=1, • b =— 2a ,即2a + b = 0.故①错误；根据图象知 ，当x = 1时，y < 0,即a + b2a+ c < 0.故②错误；•••点 A 的坐标为(—1, 0), • a — b + c = 0,而 b =— 2a, • a + 2a + c = 0, 即c =— 3a.故③正确；当a = 2时，b =— 1, c = — 3,抛物线的函数表达式为 y =討一x —；. 设对称轴直线x = 1与x 轴的交点为E ,「.把x = 1代入y = ^x 2— x — 2,得y = ^— 1 — ； = — 2, •••点D 的坐标为(1 , — 2) , • AE = 2 , BE = 2 , DE = 2, •△ ADE 和厶BDE 都为等腰直角三［解析］由抛物线的开口向上可知 工 a — b + c =0, c =— 2,-2a>0,由a — b = 2可得a = b + 2,将其代入I称轴在y 轴的右侧可得,a > 0,且抛物线经过点A( — 1, 0), B(0 , — 2),对即 a — b = 2,b < 0，故 a = 2 + b < 2•综合可知 0<a < 2;0< a < 2 中，得 0< b + 2< 2,即一2< b < 0;当 |a|= |b|时，因为 a > 0, b < 0,角形，•••△ ABD 为等腰直角三角形•故④正确；要使△ ACB 为等腰三角形，则必须保证AB = BC = 4 或 AB = AC = 4 或 AC = BC ,当 AB = BC = 4 时，•/ BO = 3, △ BOC 为直角三 角形，0C 的长为|c|, • c 2= 16- 9 = 7.T 抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上，• c =—• 7, 与2a + b = 0, a — b + c = 0联立组成方程组，解得a =#;当 AB = AC = 4 时，T A0 = 1, △ AOC 为直角三角形，0C 的长为 |c|, • c 2= 16— 1 = 15. •••抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上，• c =— 15,与2a + b = 0, a — b + c = 0联 立组成方程组，解得a=¥;当 AC = BC 时，在厶 AOC 中，AC 2= 1 + c 2,在厶 BOC 中，BC 2= c 2 + 9. v AC = BC , • 1 + c 2= c 2+ 9,此方程无解••••只有两个 a 值满足条件•故⑤错误•综上所述,正确的结论是③④.13. 解：⑴v •抛物线开口向上，• a>0.又v 对称轴x = — —<0 , 2a '• a , b 同号，即b>0. v 抛物线与y 轴交于负半轴，• c<0.综上所述,a>0, b>0, c<0.1 (2) v OC = OA = 3OB , BC = 4,•••点A 的坐标为(0, — 1),点B 的坐标为(一3, 0),点C 的坐标为(1 , 0).了 — 1 = c ,把A , B , C 三点的坐标分别代入 y = ax 2 + bx + c 中，可得 0 = 9a — 3b + c ,解得0 = a + b + c ,1a = 3,2b = 3 ,c =— 1,•••该二次函数的表达式是 y = 3x 2 + |x — 1.263422210］解：v a >0, b v 0, c v 0, • b — 4ac >0 ,x 轴的交点坐标为(X 1, 0) ,(X 2 , 0).9 / 1014.［全品导学号:•••这个函数图象与 x 轴有两个交点. 设这个函数图象与c-x1• x2= -, a> 0, c v 0,a/• x1• x2v 0,• ••这个函数图象与x轴有两个交点，一个交点在x轴的正半轴上，另一个交点在x轴的负半轴上.12 / 10。