中考数学一轮复习等腰三角形教案

第20讲:等腰三角形

一、复习目标

1．理解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的有关性质

2．熟练运用等腰三角形的性质和判定方法解决有关问题

二、课时安排

1课时

三、复习重难点

能灵活运用等腰三角形的性质和判定来解决问题。

四、教学过程

（一）知识梳理

等腰三角形的概念与性质

定义

有____相等的三角形是等腰三角形．相等的两边叫腰，第三边为底

性质轴对称性等腰三角形是轴对称图形，有____条对称轴

定理1

等腰三角形的两个底角相等(简称为：

__________)

定理2

等腰三角形顶角的平分线、底边上的________和

底边上的高互相重合，简称“三线合一”

拓展(1)等腰三角形两腰上的高相等

(2)等腰三角形两腰上的中线相等

(3)等腰三角形两底角的平分线相等

(4)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半

(5)等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行

(6)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高

(7)等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的

高

等腰三角形的判定

定理

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成：___________)

拓展

(1)一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形

(2)一边上的高与这边所对的角的平分线重合的三角形是等腰三角形

(3)一边上的中线与这边所对的角的平分线重合的三角形是等腰三角形

等边三角形

定义三边相等的三角形是等边三角形

性质

等边三角形的各角都______，并且每一个角都等于______

等边三角形是轴对称图形，有______条对称轴

判定

(1)三个角都相等的三角形是等边三角形

(2)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

线段的垂直平分线

定义经过线段的中点与这条线段垂直的直线叫做这条线段的垂直平分线

性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离________

判定与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的____________上

实质构成线段的垂直平分线可以看作到线段两个端点________的所有点的集合（二）题型、技巧归纳

考点1等腰三角形的性质的运用

技巧归纳：

(1)利用线段的垂直平分线进行等线段转换，进而进行角度转换．(2)在同一个三角形中，等角

对等边与等边对等角进行互相转换．

考点2等腰三角形判定

技巧归纳：要证明一个三角形是等腰三角形，必须得到两边相等，而得到两边相等的方法主要有(1)通过等角对等边得两边相等；(2)通过三角形全等得两边相等；(3)利用垂直平分线的性质得两边相等．

考点3等腰三角形的多解问题

技巧归纳：因为等腰三角形的边有腰与底之分，角有底角和顶角之分，等腰三角形的高线要考虑高在形内和形外两种情况．故当题中条件给出不明确时，要分类讨论进行解题，才能避免漏解情况．

考点4等边三角形的判定与性质

技巧归纳：等边三角形中隐含着三边相等和三个角都等于60°的结论，所以要充分利用这些隐含条件，证明全等或者构造全等．

（三）典例精讲

例1如图在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠GDF＝∠ADF.

(1)求证：△ADE≌△BFE；

(2)连接EG，判断EG与DF的位置关系，

并说明理由．

[解析] 先通过平行条件得到两对内错角相等，结合线段中点得到的线段相等，可证明两个三角形全等；由角相等的条件可证明△DFG是等腰三角形，再结合点E是DF的中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质可证明结论．

解： (1)证明：∵AD∥BC，

∴∠ADE＝∠BFE，∠DAE＝∠FBE.

∵E是AB的中点，

∴AE＝BE.

∴△ADE≌△BFE.

(2)EG与DF的位置关系是EG⊥DF.

∵∠GDF＝∠ADF，

又∵∠ADE＝∠BFE，

∴∠GDF＝∠BFE，

∴GD＝GF.

由(1)得，DE＝EF，

∴EG⊥DF.

例2、已知：如图锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB＝OC.

(1)求证：△ABC是等腰三角形；

(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．

[解析] (1)利用△BDC≌△CEB 证明∠DCB＝∠EBC；(2)连接AO，通过HL证明△ADO≌△AEO，从而得到∠DAO＝∠EAO，利用角平分线上的点到两边的距离相等，证明结论．

解：(1)证明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.

∵BD、CE是两条高，∴∠BDC＝∠CEB＝90°.

又∵BC＝CB，∴△BD C≌△CEB (AAS)．

∴∠DBC＝∠ECB, ∴AB＝AC.

∴△ABC是等腰三角形．

(2)点O是在∠BAC的平分线上．

连接AO.

∵△BDC≌△CEB，∴DC＝EB.

∵OB＝OC，∴ OD＝OE.

又∵∠BDC ＝∠CEB ＝90°，AO ＝AO ， ∴△ADO ≌△AEO(HL)．

∴∠DAO ＝∠EAO. ∴点O 是在∠BAC 的平分线上．

例3 已知等腰△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，且AD ＝0.5 BC ，则△ABC 底角的度数为( ) A ．45° B．75° C ．45°或75° D．60°

[解析] 首先根据题意画出图形，注意分别从∠BAC 是顶角与∠BAC 是底角去分析．

如图(1)：AB ＝AC ，

∵AD ⊥BC ，∴BD ＝CD ＝1

2BC ，∠ADB ＝90°.

∵AD ＝1

2BC ，∴AD ＝BD ，∴∠B ＝45°，

即此时△ABC 底角的度数为45°； 如图(2)，AC ＝BC ， ∵AD ⊥BC ，∴∠ADC ＝90°.

∵AD ＝12BC ，∴AD ＝1

2AC ，∴∠C ＝30°.

∴∠CAB ＝∠B ＝180°－∠A 2＝75°，

即此时△ABC 底角的度数为75°. 综上，△ABC 底角的度数为45°或75°. 故选C.

例4 数学课上，李老师出示了如下框中的题目．在等边三角形ABC 中，点E 在AB 上，点D 在CB 的延长线上，且ED ＝EC ，如图试确定线段AE 与DB 的大小关系，并说明理由．