植树问题(方阵问题)

2011年1月15日植树问题（方阵问题）

课堂讲解

1、方阵的概念：

横着排叫行，竖着排叫列，若行数与列数都相等，恰好排成一个正方形，这就是一个方队，这种方队也叫做方阵(亦叫乘方问题)。在摆放的方阵中如果是实心的，我们叫它实心方阵；如果这个方阵是空心的，我们叫它空心方阵。2、方阵的基本特点：

方阵中，里一层总比外一层的一边少2个物体，里一层物体的个数一定比个一层物体总个数少8个。

实心方阵中，物体个数=最外层的一边个数×最外层一边的个数；

（每边数—1）×4=每层数；每层数÷4+1=每边数

空心方阵中物体的个数=（最外层一边的个数—层数）×层数×4

3、方阵去掉行或列以后的人数变化：

4、方阵中其它特性问题：

1、如果把最外圈形成的正方形叫第一层，再向里一圈叫第二层的话，会发现相邻的这两个正方形每边个数相差为2，相邻两层相差总个数为8。

2、每边人(或物)数和四周人(或物)数的关系：四周人(或物)数=【每边人(或物)

数-1】×4；每边人(或物)数=四周人(或物)数÷4+1

3、中实方阵的总人数(或物)=每边人(或物)数×每边人(或物)数

4、观察中空方阵，我们不难发现方阵的基本特点：

中空方阵的总人(或物)数=（最外层每边人(或物)数－中空方阵的层数）×中空方阵的层数×4

课堂练习题

例题1：学生排成12人一行共12行的一个队伍，如果去掉一行一列，共需要去掉多少人？

解：因为根据方阵特点，去掉一行一列需要去掉“每边数×2-1”，即12×2-1=23人。例题2：小丁在围棋盘上摆一个方阵，其中二行二列是白子，其余都是黑子，黑子共有81枚，这个方阵共有多少枚棋子？

解：可以画个图。并且这是个特殊的方针问题，它去掉的另一边棋子是对齐的。81枚黑子，则每边是9枚，所以黑棋每行梅列都是9枚，最上层的棋子数就是（9+2）=11（枚），那么这个方针共有棋子：11×11=121（枚）。

例题3：游行队伍中，少先队员在彩车周围围成每边两层的方阵，最外面一层每边15人，那么彩车周围共有少先队员多少人？

解：这是个空心方阵。因为根据方阵特点，每层人数=（每边数-1）×4，而两层之间人数相差8人。所以答案为：（15-1）×4×2-8=104人，如果有三层学生，那么答案为：（15-1）×4×3-8×（1+2）=144人。

例题4：有一队学生排成一个中空方阵，最外层有64人，最内层有32人，这队学生共有多少人？

解：这是个空心方阵。因为根据方阵特点，每层人数=（每边数-1）×4，而两层之间人数相差8人。那么第二层人数是：64-8=56人，第三层：56-8=48人，第四层：48-8=40人，第五层：40-8=32人。而最外层每边人数：64÷4+1=17（人），第二层是17-2=15人。第三层是：15-2=13人，第四层是：13-2=11人，第五层：11-2=9人，

第一种方法：第六层：9-2=7人，第七层：7-2=5人，第八层是：5-2=3人，所以根据方阵特点可以这样做：17×17-（24+16+8+1）=240（人）第二种方法：另外根据公式：中空方阵的总人(或物)数=（最外层每边人(或物)数－中空方阵的层数）×中空方阵的层数×4

所以总人数=（17-5）×5×4=240人

第三种方法：64+56+48+40+32=240（人）

例题5：有一队学生如果排成三层中空方阵，则多10人，如果在中间空心部分接着增排一层又少6人，问这队学生共有多少人？

解：这是个空心方阵。因为根据方阵特点，每层人数=（每边数-1）×4，而两层之间人数相差8人。根据题意，最后少6人，得出增加的一层人数是16人（10+6=16）。

第一种方法：那么第四层每边人数：16÷4+1=5人，第三层每边人数：5+2=7人，第二层每边人数：7+2=9人，最外层每边人数：9+2=11人。那么总人数：11×11-5×5+10=106（人）；

第二种方法：另外根据公式：中空方阵的总人(或物)数=（最外层每边人(或物)数－中空方阵的层数）×中空方阵的层数×4

所以总人数=（11-4）×4×4-6=106人

第三种方法：把每一层的人数相加，减去不足的6人。16+24+32+40-6=106（人）

例题6：一方正形桃园，共10层，最里层共种了16棵桃树，若每颗桃树结桃60千克，这个桃园共结桃多少千克？？

解：这是个实心方阵，又结合了植树问题。最外层每边的种桃数：（16÷4+1）+2×（10-1）=23（棵），而最里层共种了16棵，即每边数：16÷4+1=5棵，那么还有一层没种。即每边还可以种3棵。

第一种方法：可以得出：这个桃园共种了：23×23-3×3=520（棵），那么棵结桃：60×520=31200（千克）。

第二种方法：另外根据公式：中空方阵的总人(或物)数=（最外层每边人(或物)数－中空方阵的层数）×中空方阵的层数×4

所以总棵数=（23-10）×10×4=520（棵）；60×520=31200（千克）。

当然也可以用比较复杂的办法，把每一层的数目相加的办法来做，但实在有点太繁琐。

（2011年1月15日）植树问题（方阵）---课堂练习1 1、军训的学生进行列队表演，排成了一个10行10列的队伍，如果去掉1行1列，要去掉多少人？

2、小明在围棋上摆出了一正方形方阵，其中两行两列是白子，共有76枚，而其余是黑子，问这个方阵共有多少枚棋子？

3、手持鲜花的同学在一辆车的四周围成了每边两层的方阵，最外面一层每边13人，彩车周围的同学有多少人？

4、有一队学生排成中心空的方阵，最外层是52人，最内层是28人，这队学生有多少人？

5、三年级学生组成一个正方形方阵，共13行，每行13人，后来由于服装不够，只好去掉两行两列，问这个方阵还有多少人？

6、小丁把棋子排成一个正方形方阵，如果在这个方阵中去掉横竖各一排，则这个方阵少了13枚棋子，那么这个方阵共有棋子多少枚？

7、在一个正方形的方阵中，其中两行两列都是男生，有84人，其余都是女生，问这个方阵共有学生多少人？

8、学生排成正方行列，如果这个队列横竖再增加一排，还需补充15人，问原来参加队列的学生有多少人？