植树问题(方阵问题)
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2011年1月15日植树问题(方阵问题)
课堂讲解
1、方阵的概念:
横着排叫行,竖着排叫列,若行数与列数都相等,恰好排成一个正方形,这就是一个方队,这种方队也叫做方阵(亦叫乘方问题)。在摆放的方阵中如果是实心的,我们叫它实心方阵;如果这个方阵是空心的,我们叫它空心方阵。2、方阵的基本特点:
方阵中,里一层总比外一层的一边少2个物体,里一层物体的个数一定比个一层物体总个数少8个。
实心方阵中,物体个数=最外层的一边个数×最外层一边的个数;
(每边数—1)×4=每层数;每层数÷4+1=每边数
空心方阵中物体的个数=(最外层一边的个数—层数)×层数×4
3、方阵去掉行或列以后的人数变化:
4、方阵中其它特性问题:
1、如果把最外圈形成的正方形叫第一层,再向里一圈叫第二层的话,会发现相邻的这两个正方形每边个数相差为2,相邻两层相差总个数为8。
2、每边人(或物)数和四周人(或物)数的关系:四周人(或物)数=【每边人(或物)
数-1】×4;每边人(或物)数=四周人(或物)数÷4+1
3、中实方阵的总人数(或物)=每边人(或物)数×每边人(或物)数
4、观察中空方阵,我们不难发现方阵的基本特点:
中空方阵的总人(或物)数=(最外层每边人(或物)数-中空方阵的层数)×中空方阵的层数×4
课堂练习题
例题1:学生排成12人一行共12行的一个队伍,如果去掉一行一列,共需要去掉多少人?
解:因为根据方阵特点,去掉一行一列需要去掉“每边数×2-1”,即12×2-1=23人。例题2:小丁在围棋盘上摆一个方阵,其中二行二列是白子,其余都是黑子,黑子共有81枚,这个方阵共有多少枚棋子?
解:可以画个图。并且这是个特殊的方针问题,它去掉的另一边棋子是对齐的。81枚黑子,则每边是9枚,所以黑棋每行梅列都是9枚,最上层的棋子数就是(9+2)=11(枚),那么这个方针共有棋子:11×11=121(枚)。
例题3:游行队伍中,少先队员在彩车周围围成每边两层的方阵,最外面一层每边15人,那么彩车周围共有少先队员多少人?
解:这是个空心方阵。因为根据方阵特点,每层人数=(每边数-1)×4,而两层之间人数相差8人。所以答案为:(15-1)×4×2-8=104人,如果有三层学生,那么答案为:(15-1)×4×3-8×(1+2)=144人。
例题4:有一队学生排成一个中空方阵,最外层有64人,最内层有32人,这队学生共有多少人?
解:这是个空心方阵。因为根据方阵特点,每层人数=(每边数-1)×4,而两层之间人数相差8人。那么第二层人数是:64-8=56人,第三层:56-8=48人,第四层:48-8=40人,第五层:40-8=32人。而最外层每边人数:64÷4+1=17(人),第二层是17-2=15人。第三层是:15-2=13人,第四层是:13-2=11人,第五层:11-2=9人,
第一种方法:第六层:9-2=7人,第七层:7-2=5人,第八层是:5-2=3人,所以根据方阵特点可以这样做:17×17-(24+16+8+1)=240(人)第二种方法:另外根据公式:中空方阵的总人(或物)数=(最外层每边人(或物)数-中空方阵的层数)×中空方阵的层数×4
所以总人数=(17-5)×5×4=240人
第三种方法:64+56+48+40+32=240(人)
例题5:有一队学生如果排成三层中空方阵,则多10人,如果在中间空心部分接着增排一层又少6人,问这队学生共有多少人?
解:这是个空心方阵。因为根据方阵特点,每层人数=(每边数-1)×4,而两层之间人数相差8人。根据题意,最后少6人,得出增加的一层人数是16人(10+6=16)。
第一种方法:那么第四层每边人数:16÷4+1=5人,第三层每边人数:5+2=7人,第二层每边人数:7+2=9人,最外层每边人数:9+2=11人。那么总人数:11×11-5×5+10=106(人);
第二种方法:另外根据公式:中空方阵的总人(或物)数=(最外层每边人(或物)数-中空方阵的层数)×中空方阵的层数×4
所以总人数=(11-4)×4×4-6=106人
第三种方法:把每一层的人数相加,减去不足的6人。16+24+32+40-6=106(人)
例题6:一方正形桃园,共10层,最里层共种了16棵桃树,若每颗桃树结桃60千克,这个桃园共结桃多少千克??
解:这是个实心方阵,又结合了植树问题。最外层每边的种桃数:(16÷4+1)+2×(10-1)=23(棵),而最里层共种了16棵,即每边数:16÷4+1=5棵,那么还有一层没种。即每边还可以种3棵。
第一种方法:可以得出:这个桃园共种了:23×23-3×3=520(棵),那么棵结桃:60×520=31200(千克)。
第二种方法:另外根据公式:中空方阵的总人(或物)数=(最外层每边人(或物)数-中空方阵的层数)×中空方阵的层数×4
所以总棵数=(23-10)×10×4=520(棵);60×520=31200(千克)。
当然也可以用比较复杂的办法,把每一层的数目相加的办法来做,但实在有点太繁琐。
(2011年1月15日)植树问题(方阵)---课堂练习1 1、军训的学生进行列队表演,排成了一个10行10列的队伍,如果去掉1行1列,要去掉多少人?
2、小明在围棋上摆出了一正方形方阵,其中两行两列是白子,共有76枚,而其余是黑子,问这个方阵共有多少枚棋子?
3、手持鲜花的同学在一辆车的四周围成了每边两层的方阵,最外面一层每边13人,彩车周围的同学有多少人?
4、有一队学生排成中心空的方阵,最外层是52人,最内层是28人,这队学生有多少人?
5、三年级学生组成一个正方形方阵,共13行,每行13人,后来由于服装不够,只好去掉两行两列,问这个方阵还有多少人?
6、小丁把棋子排成一个正方形方阵,如果在这个方阵中去掉横竖各一排,则这个方阵少了13枚棋子,那么这个方阵共有棋子多少枚?
7、在一个正方形的方阵中,其中两行两列都是男生,有84人,其余都是女生,问这个方阵共有学生多少人?
8、学生排成正方行列,如果这个队列横竖再增加一排,还需补充15人,问原来参加队列的学生有多少人?