数学 悖论

红衣女子是真实的 还是在拼图里的？
两列火车会相撞吗？
美国魔术· 安德鲁斯创造了这个精彩的幻觉作品
球和影幻觉：两幅幻觉图中，球相对于背景的位置一样吗？
折叠的棋盘：你从上面还是从下面看到棋盘呢?
曲折的悖论：这是一个奇妙的不可能成立的曲折体， 由匈牙利艺术家托马斯· 伐克期创作
瑞典艺术家奥斯卡· 卢特 斯瓦尔德，给了我们不可 能的三角形中又一种变化。
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概率悖论之贝壳之谜
• 三个贝壳的谜题改编自蒙特霍问题，也就是三门 问题，源于博弈论和数学游戏问题.以下是蒙提霍 尔问题的一个著名的叙述：假设你正在参加一个 游戏节目，你被要求在三扇门中选择一扇：其中 一扇后面有一辆车；其余两扇后面则是山羊.你选 择了一扇门，假设是一号门，然后知道门后面有 什么，开启了另一扇后面有山羊的门，假设是三 号门.他然后问你：“你想选择二号门吗？”转换 你的选择对你来说是一种优势吗？这条问题亦被 叫做蒙提霍尔悖论：虽然该问题的答案在逻辑上 并不自相矛盾，但十分违反直觉.这问题曾引起一 阵热烈的讨论.
概率悖论之三张卡片的骗局
• 问题提出：三张卡片，分别为第一张A两面 都是红色，第二张B，一面是红色，一面是 黑色，第三张C两面都是黑色.庄家把卡片 放在帽子里摇晃，取出一张放在桌子上， 打赌下面和上面的颜色相同.庄家会这样说， 这个赌博是公平的.假定取出的卡片上面是 红色，那么不可能是卡片C，所以要么是A， 要么是B，也就是要么相同，要么不同，这 样的话输赢的概率都是1/2.
悖论(paradox)来希腊自语“para+dokein”，意思是“多想一想”
悖论有点像魔术中的变戏法，它使人们在看完之 后，几乎没有—个不惊讶得马上就想知道：“这套戏 法是怎么搞成的？”当把技巧告诉他时，他就会不知 不觉地被引进深奥而有趣的数学世界之中。 正是因为悖论的存在， 数学才能越来越严密，可以说，
概率悖论之贝特朗悖论
• 有一个半径为r的圆，在此圆内作内接正三 角形，设其边长为Y。取圆任意一条弦，设 其长为X；同时。请问，X>Y的概率是多少？
• 可以算出：Y=√3 r
• 解答一：此题等价于“从圆心到弦的距离<r/2”的 概率（这个很容易证明，因为内接正三角形的高 是3r/2）。我们取平行于任意一个方向的所有弦， 容易看出其中有一半的弦到圆心的距离<r/2，概 率为1/2
统计悖论之选举悖论
• 假定有三个人—阿贝尔、伯恩斯和克拉克 竞选总统。民意测验表明，选举人中有2/3 愿意选A不愿选B，有2/3愿选B不愿选C。 是否愿选A不愿选C的最多？
统计悖论之选举悖论
• 不一定！如果选举人下表那样排候选人，就会引 起一个惊人的逆论。 • 三分之一的人，对选举人的喜好是：A，B，C； • 另外三分之一的人，对选举人的喜好是：B，C， A； • 最后三分之一的人，对选举人的喜好是：C，A， B。 • 所以，有2/3宁愿选A而不愿选B；同样，有2/3宁 愿选B而不愿选C；有2/3宁愿选C而不愿选A！ • 这条悖论有时称为阿洛悖论，肯尼思· 阿洛曾根据 这条悖论和其他逻辑理由证明了，一个十全十美 的民主选举系统在原则上是不可能实现的，他因 此而分享了1972年诺贝尔经济学奖金。
• 因此，X>Y的概率为1/4
概率悖论之生日悖论
• 问题提出：如果一个房间里有23个或23个以上的人，那么至少有两个 人的生日相同的概率要大于50%.看起来是不是不太可能？
365 364 365 n 1 365 n
• 任意n（n<365）个人，他们的生日各不相同的概率为
.
• n个人中至少有两人生日相同的概率为 P=1• 经计算可得下述结果：
• 罗素悖论使整个数学大厦动摇了。当弗雷 格已经完成他的关于算术基础的两册巨著 《算术的基本法则》的最后一册时，罗素 通信告诉了他这个悖论。弗雷格在其论著 的末尾以悲哀的话语写道：“一位科学家
不会碰到比这更痛苦的事情了，即在 工作完成之时，它的基础垮掉了。当 本书等待复印的时候，罗素先生的一 封信把我置于这种境地”。
超级橱窗
此图属于“不可能三角形”的一种变体。
美国魔术师杰瑞· 安德鲁斯 发明了一个“疯狂的板条 箱”。他怎么能把那么多竖 直的支撑杆似那么不可能的 方式连起来呢
拿 着 放 光 球 的 手
是静的还是动的
诺布的不可能的架子 中间到底是凹进去的， 还是凸出来的？
桥渐变成了船。 此图属于“背景错觉”。
悖论是缺憾的美
悖论是自相矛盾的命题。即如果承认这个命题成 立，就可推出它的否定命题成立；反之，如果承 认这个命题的否定命题成立，又可推出这个命题 成立 如果承认它是真的，经过一系列正确的推 理，却又得出它是假的；如果承认它是假的，经 过一系列正确的推理，却又得出它是真的。
• 一般地说，由于悖论是一种形式矛盾，即 是某些特殊的思想规定的产物，它们就不 可能是事物辩证性质的直接反映；进而， 我们也就不能把它们说成是“特殊的客观 真理”，而只能说它们是“歪曲了的真 理”。
能给这位理
• 这是伯特纳德· 罗素提出的这个悖论，为的 是把他发现的关于集合的一个著名悖论用 故事通俗地表述出来。
• 理发师悖论的数学表达式： • 已知：集合Z={x|x≠x} , 问：x是否属于集合 Z?
• 或者：已知：P={A∣A∈A} Q={A∣A￠A} 问：Q∈P 还是 Q∈Q？
罗素悖论的影响
在这幅图中，你看见了什么？你看见的是男人的腿，还是女人的腿？
在这幅图像中，一个大个子正在追赶一个 小个子，对吗？其实，这两个人完全是一 模一样的！（不信？用尺子量量看！）
此图属于“大小恒常错觉”。
你看到了螺旋，还是同心圆？ 乍一看，图中是一个螺旋，实际上 它是同心圆。 此图属于“Fraser螺旋错觉”。
概率悖论之四只猫的性别
• • • • 共有16种，分别是: BBBB BBBG BBGB BGBB GBBB BBGG BGBG BGGB GBBG GBBG GGBB BGGG GBGG GGBG GGGB GGGG
• 因此，都为雄猫或雌猫有两种，概率为 2/16=1/8 • 仅有一只雄猫或一只雌猫有八种，概率为 8/16=1/2 • 两只雄猫两只雌猫有六种，概率为 6/16=3/8 • 所以，最有可能的是第二种情况，只有一只雄猫 或只有一只雌猫.
概率悖论之贝壳之谜
• 问题提出：游戏规则是这样，三个贝壳猜 猜哪个贝壳下有绿豆，如果猜对了可以获 得多一倍的赌金 . 在玩了一阵后，马克先生 断定，他赢的概率最多为 . 于是庄家破例让 马克玩这个游戏，先允许马克先生随便选 一个贝壳，庄家再翻开一个空贝壳，这样， 绿豆一定在另两个贝壳的一个里，马克先 生赢的概率就增大了 . 但是，马克先生还是 输完了所有的钱.这是怎么回事？
几何悖论
• 几何悖论所构造的图案是仅存在于2维平面 世界里的图形，是一种通过素描，线描等 立体绘画手法表现出3维立体世界中不可能 存在的图像。
•
“不可能台阶”是由英国遗传学家列 昂尼尔· S· 彭罗斯和他的儿子，数学家罗杰 尔· 彭罗斯发明的，后者于1958年把它公布 于众，人们常称这台阶为“彭罗斯台阶”。 • 在这个台阶里，永远找不到最高阶和 最低阶，“不可能台阶”永远没有尽 头。。。。。。
悖论的种类
悖论主要有 • 逻辑悖论、 • 概率悖论、 • 几何悖论、 • 统计悖论 • 时间悖论等
逻辑悖论之“鸡生蛋，蛋生鸡”
• 传统的“先有鸡，还是先有蛋？”的循环 式悖论问题 • 这个互为因果的循环推理本身无法自我解 脱，需要实际的考证，如考古学和生物学 的研究成果等，才能打破这一循环。 它里面也隐含着一个不相容的前提假设： “鸡是由蛋孵化出来的，蛋又是由鸡生出 来的。”单独来看都符合日常观察，但合 在一起却是一对不自洽的假设。
• 于是，弗雷格终结了这不止12年的辛勤劳动。 • 狄德金原来打算把《连续性及无理数》第3版复印， 这时也把稿件抽了回来。 • 发现拓扑学中“不动点原理”的布劳威也认为自己过 去作的工作都是“废话”，声称要放弃不动点原理。
罗素悖论引发了第三次数学危机！！！！
•罗素悖论的“破坏力”还不仅局限在数学领域，只要 把罗素悖论的陈述略加修改，即用逻辑的术语来代替 集合论中的术语，罗素悖论就可以推广到逻辑领域。 •这样，罗素悖论就不仅触及到数学的基础理论本身， 它涉及到了一向被认为极为严谨的两门科学----数学和 逻辑学。
逻辑悖论之沙堆悖论
• 有一堆1，000,000颗沙粒组成的沙堆。如果我们 拿走一颗沙粒，那么还是有一堆；如果我们再拿 走一颗沙粒，那么还是一堆。如果我们就这样一 次拿走一颗沙粒，那么当我们们取得只剩下一颗 沙粒，那么它还是一堆吗？ • 回答：设定一个固定的边界。如果我们说10,000 颗沙粒是一堆沙，那么少于10，000颗沙粒组成的 就不能称之为一堆沙。显然这样区分9999颗沙和 10001颗沙就有点不合理。那么就有一个解决方案 了——设定一个可变的边界，但是这个边界是多 少，并不需要知道。
• • 因此，X>Y的概率为1/2
• 解答二：在圆周上取任意一点A作为弦的一个端 点，另一端点沿圆周运动构成一系列弦。显然， 其中所有与过A点的圆切线构成大于60度角且小 于120度角的一部分弦是满足题目要求的，从角度 关系容易得知，此部分弦所有弦的1/3
• 因此，X>Y的概率为1/3
• 解答三：考虑弦的中点，根据解答一中的“等价 于”容易得知，若弦中点位于半径为r/2的同心小 圆内，则弦长满足题意要求。很明显，小圆面积 为大圆的1/4
逻辑悖论之理发师悖论
• 一个男理发师的招牌上写着： 告示：城里所有不自己剃头的男人都由我给 他们剃头，我也只给这些人剃头。 谁给这位理发师剃头呢？ 如果他自己剃头，那他就属于自己剃头的那 类人。但是，他的招牌说明他不给这类人剃头， 因此他不能自己来剃头。如果另外一个人来给他 剃头，那他就是不自己剃头的人。但是，他的招 牌说他要给所有这类人剃头。因此其他任何人也 不能给他剃头。看来，没有任何人 发师剃头了！
概率悖论之贝壳之谜
• 因为马克先生没有意识到，在他选完贝壳 后，再翻开一个空贝壳根本不影响他赢的 概率.在马克选贝壳的时候，仍然是在三个 A ，C ，B 中选，而庄家是游戏操纵者，自然知道空 贝壳是哪一个，翻开的贝壳一定是空的， 所以马克赢的概率没有改变.但是当改变一 下游戏规则，庄家先翻开一个贝壳，马克 再选，那么概率就上升到了.
一般认为四只都是雄的不太可能，都是雌的也不 可能（4-0）.也许只有一只雌的，也许只有一只 雄的（3-1）.而每只猫是雄的或雌的概率都是 ， 所以最有可能的是两只雌猫两只雄猫（2-2）.这 种想法正确吗？
• 若我们把所有情况都列出来，就很明显了.用B表 示雄猫，G表示雌猫，则共有16种，分别是: • BBBB BBBG BBGB BGBB GBBB • BBGG BGBG BGGB GBBG GBBG GGBB • BGGG GBGG GGBG GGGB GGGG
概率悖论之三张卡片的骗局
• 显然，庄家的话是骗人的，但好像有些道理，这 样很多的赌徒就上当了.因为实际情况是有三种等 可能情况，而非两种. 红色朝上有可能 是 A ，C ，B ， • 则下面与上面相同的有两种情况，所以庄家赢的 概率为2/3
1 2 1
•
这个卡片游戏是著名数学家沃德· 威弗设计的.他 曾在1950年10月《科学美国人》关于“概率”一 文中介绍过这个内容.卡片游戏是称为伯特纳德箱 的悖论的翻版.在伯特纳德以后，一位德国数学家 将它写进一本书中，于1889年发表.
365 364 365 n 1 365 n
n p
20
23
30
40
50
64
100
0.411 0.507 0.706 0.891 0.970 0.997 0.999
• 由表可看出，在仅有64人的班级里，“至少有两 人生日相同”这一事件的概率与1相差无几.
概率悖论之四只猫的性别
• 问题提出：新房子里的四只猫，它们的性别是什么？