湘教版九年级下册数学 第1章达标检测卷

第1章达标检测卷
(120分，90分钟)
题号一二三总分
得分
一、选择题(每题3分，共30分)
1．抛物线y＝2(x＋3)2－4的顶点坐标是()
A．(3，－4) B．(－3，－4) C．(3，4) D．(－3，4)
2．将抛物线y＝(x－1)2＋3向左平移1个单位，得到的抛物线与y轴的交点坐标是() A．(0，2) B．(0，3) C．(0，4) D．(0，7)
3．已知函数y＝1
2x
2－x－4，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是()
A．x＜1 B．x＞1 C．x＞－2 D．－2＜x＜4
(第4题)
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，点C在y轴的正半轴上，且OA＝OC，则()
A．ac＋1＝b B．ab＋1＝c
C．bc＋1＝a D．以上都不是
5．若抛物线y＝ax2－6x经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为()
A.13
B.10
C.15
D.14
6.二次函数y＝x2＋x＋c的图象与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，且x1<x2，点P(m，n)是图象上一点，那么下列判断正确的是()
A．当n<0时，m<0 B．当n>0时，m>x2
C．当n<0时，x1<m<x2D．当n>0时，m<x1
7．抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点为(－1，0)，(3，0)，其形状与抛物线y＝－2x2相同，则抛物线y＝ax2＋bx＋c对应的函数表达式为()
A．y＝－2x2－x＋3 B．y＝－2x2＋4x＋5
C．y＝－2x2＋4x＋8 D．y＝－2x2＋4x＋6
8．函数y＝ax＋b和y＝ax2＋bx＋c在同一直角坐标系内的图象大致是()
(第9题)
9．如图，从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式为h＝30t－5t2，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是() A．6 s B．4 s C．3 s D．2 s
10．抛物线y＝ax2＋bx＋c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示.
x …－3 －2 －1 0 1 …
y …－12 －2 4 6 4 …
给出下列说法：①抛物线与y轴的交点为(0，6)；②抛物线的对称轴是在y轴的右侧；
③抛物线一定经过点(3，0)；④当x<0时，函数值y随x的增大而减小．
从表中可知，上述说法正确的有()
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题(每题3分，共30分)
11．二次函数y＝2x2－x－3的图象的开口向________，对称轴是直线______________，顶点坐标是______________．
12.如果将抛物线y＝x2＋2x－1向上平移，使它经过点A(0，3)，那么所得新抛物线对应的函数表达式是________________．
13．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝3时，函数取得最大值，为4，当x＝0时，y ＝－14，则此函数关系式是________________．
14．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的两个交点的坐标是(5，0)，(－2，0)，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是______________．
15．已知二次函数y＝x2＋2mx＋2，当x＞2时，y的值随x的增大而增大，则实数m 的取值范围是____________．
16．开口向下的抛物线y＝a(x＋1)(x－9)与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若∠ACB＝90°，则a的值为________．
17．如图，某涵洞的截面边缘是抛物线，在图中建立适当的直角坐标系，抛物线对应的
函数表达式为y＝－1
4x
2，当涵洞水面宽AB为12 m时，水面到涵洞顶点O的距离为________．
(第17题) (第18题)
(第19题)(第20题)
18.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示．下列结论：①2a＋b＝0；②a＋c＞b；
③抛物线与x轴的另一个交点为(3，0)；④abc＞0，其中正确的结论是________(填写序号)．
19．如图，把抛物线y＝1
2x
2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A(－6，0)和原点O(0，
0)，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y＝1
2x
2交于点Q，则图中阴影部分的面积为________．
20．已知二次函数y＝(x－2a)2＋(a－1)，(a为常数)，当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图分别是当a＝－1，a＝0，a＝1，a＝2时二次函数的图象．它们的顶点在一条直线上，这条直线对应的函数表达式是y＝________.
三、解答题(21～22题每题8分，23～24题每题10分，其余每题12分，共60分)
21.已知二次函数y＝x2－2mx＋m2＋3(m是常数)．
(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；
(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？
22．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象经过一次函数y ＝－3
2x ＋3的图象与x 轴、
y 轴的交点，并且也经过(1，1)点，求这个二次函数的关系式，并求x 为何值时，函数有最大(最小)值？这个值是多少？
23．如图，已知抛物线y ＝1
2x 2＋bx 与直线y ＝2x 交于点O(0，0)，A(a ，12)．点B 是抛
物线上O 、A 之间的一个动点，过点B 分别作x 轴、y 轴的平行线与直线OA 交于点C 、E.
(1)求抛物线对应的函数表达式； (2)若点C 为OA 的中点，求BC 的长；
(3)以BC 、BE 为边构造矩形BCDE ，设点D 的坐标为(m ，n)，求出m 、n 之间的关系式．
(第23题)
24．如图，抛物线y＝－x2＋2x＋c与x轴交于A、B两点，它的对称轴与x轴交于点N，过顶点M作ME⊥y轴于点E，连结BE交MN于点F.已知点A的坐标为(－1，0)．
(1)求该抛物线对应的函数表达式及顶点M的坐标；
(2)求△EMF与△BNF的面积之比．
(第24题)
25．某公司为指导某种应季商品的生产和销售，对三月份至七月份该商品的售价和成本进行了调研，结果如下：一件商品的售价M(元)与时间t(月)的关系可用一条线段上的点来表
示(如图甲)，一件商品的成本Q(元)与时间t(月)的关系可用一段抛物线上的点来表示，其中6月份成本最高(如图乙)．根据图象提供的信息解答下面的问题：
(1)一件商品在3月份出售时的利润是多少元？(利润＝售价－成本)
(2)求出一件商品的成本Q(元)与时间t(月)之间的函数关系式；
(3)你能求出3月份至7月份一件商品的利润W(元)与时间t(月)之间的函数关系式吗？若该公司能在一个月内售出此种商品30 000件，请你计算该公司在一个月内最少获利多少元？
(第25题)
26．已知：抛物线y＝x2＋(2m－1)x＋m2－1经过坐标原点，且当x＜0时，y随x的增大而减小．
(1)求抛物线对应的函数表达式，并写出y＜0时，对应x的取值范围；
(2)设点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于点B，DC⊥x轴于点C.
①当BC＝1时，直接写出矩形ABCD的周长；
②设动点A的坐标为(a，b)，将矩形ABCD的周长L表示为a的函数并写出自变量的取值范围，判断周长是否存在最大值，如果存在，求出这个最大值，并求出此时点A的坐标；如果不存在，请说明理由．
答案
一、1.B 2.B
3．A 点拨：将函数关系式化为 y ＝12(x －1)2－41
2，当x ＜1时，函数值y 随x 的增大
而减小．
4．A
5．B 点拨：将点(2，0)的坐标代入y ＝ax 2－6x 得0＝a ×22－6×2，解得a ＝3，则y ＝3x 2－6x ＝3(x －1)2－3，∴抛物线顶点坐标为(1，－3)，由勾股定理得所求距离为12＋32＝10. 6．C
7．D 点拨：根据题意得a ＝－2，所以抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 对应的函数表达式为y ＝－2(x ＋1)(x －3)，即y ＝－2x 2＋4x ＋6.
8．C 9.A 10.A
二、11.上；x ＝14；⎝⎛⎭⎫1
4
，－318 12．y ＝x 2＋2x ＋3 点拨：由题可得：y ＝(x ＋1)2－2，向上平移，得：y ＝(x ＋1)2＋c ，经过点A(0，3)，则：3＝1＋c ，c ＝2，所以新抛物线对应的函数表达式是：y ＝(x ＋1)2＋2＝x 2＋2x ＋3.
13．y ＝－2x 2＋12x －14 点拨：本题运用方程思想，根据题意得y ＝a(x －3)2＋4，将x ＝0，y ＝－14代入得－14＝a ×9＋4，解得a ＝－2. ∴y ＝－2(x －3)2＋4，即y ＝－2x 2＋12x －14.
14．x 1＝5，x 2＝－2 点拨：抛物线与x 轴交点的横坐标即是对应方程的两根． 15．m ≥－2 点拨：由y ＝x 2＋2mx ＋2＝(x ＋m)2＋2－m 2，得抛物线的对称轴为直线x ＝－m ，∵x ＞2时，y 随x 的增大而增大，∴m ≥－2.
16．－1
3 点拨：本题运用数形结合思想和方程思想，由题易知，△AOC ∽△COB ，∴
OC 2＝OA·OB ＝1×9，OC 2＝9，∴OC ＝3，∴抛物线与y 轴的交点坐标为(0，3)或(0，－3)，将其分别代入y ＝a(x ＋1)(x －9)＝ax 2－8ax －9a ，得－9a ＝3或－9a ＝－3，解得a ＝－13或a
＝13.又∵抛物线开口向下，∴a ＝－13
. 17．9 m 18.①④ 19.272
20.1
2x －1 点拨：可以取a ＝－1，a ＝0时，分别求出抛物线的两个顶点，然后将两个顶点的坐标分别代入y ＝kx ＋b ，即可求出表达式．
三、21.(1)证法一：因为(－2m)2－4(m 2＋3)＝－12＜0，所以关于x 的方程x 2－2mx ＋
m 2＋3＝0没有实数根．
所以不论m 为何值，函数y ＝x 2－2mx ＋m 2＋3的图象与x 轴没有公共点． 证法二：因为a ＝1＞0，所以该函数的图象开口向上． 又因为y ＝x 2－2mx ＋m 2＋3＝(x －m)2＋3≥3， 所以该函数的图象在x 轴的上方．
所以不论m 为何值，该函数的图象与x 轴没有公共点． (2)解：y ＝x 2－2mx ＋m 2＋3＝(x －m)2＋3.
把函数y ＝(x －m)2＋3的图象沿y 轴向下平移3个单位后，得到函数y ＝(x －m)2的图象，它的顶点坐标是(m ，0)，此时这个函数的图象与x 轴只有一个公共点．
所以把函数y ＝x 2－2mx ＋m 2＋3的图象沿y 轴向下平移3个单位后，得到的函数的图象与x 轴只有一个公共点．
22．解：对于y ＝－3
2x ＋3，当x ＝0时，y ＝3；当y ＝0时，x ＝2，把(0，3)，(2，0)，
(1，1)分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪
⎧c ＝3，4a ＋2b ＋c ＝0，a ＋b ＋c ＝1.
所以⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝12
，b ＝－52
，c ＝3.
所以二次函数的关系式为y ＝12x 2－5
2
x ＋3.
因为y ＝12x 2－52x ＋3＝12⎝⎛⎭⎫x －522－ 18，所以当x ＝52时，函数有最小值，最小值为－1
8.
点拨：本题用待定系数法求a ，b ，c ，再通过配方求函数的最值及对应的x 值． 23．解：(1)∵点A(a ，12)在直线y ＝2x 上， ∴12＝2a ， 解得：a ＝6，
又∵点A 是抛物线y ＝1
2x 2＋bx 上的一点，
将(6，12)代入y ＝1
2x 2＋bx ，可得b ＝－1，
∴抛物线对应的函数表达式为y ＝1
2x 2－x.
(2)∵点C 是OA 的中点， ∴点C 的坐标为(3，6)，
把y ＝6代入y ＝1
2
x 2－x ，
解得：x 1＝1＋13，x 2＝1－13(舍去)， ∴点B 的坐标为(1＋13，6)． 故BC ＝1＋13－3＝13－2.
(3)∵直线OA 对应的函数表达式为y ＝2x ， 点D 的坐标为(m ，n)，
∴点E 的坐标为⎝⎛⎭⎫12n ，n ，点C 的坐标为(m ，2m)， ∴点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫12n ，2m ，
把⎝⎛⎭⎫12n ，2m 代入y ＝12x 2－x ，可得m ＝116n 2－1
4n ， ∴m 、n 之间的关系式为m ＝
116n 2－1
4
n. 24．解：(1)由题意，得－(－1)2＋2×(－1)＋c ＝0，∴c ＝3.∴y ＝－x 2＋2x ＋3.∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴顶点M(1，4)．
(2)∵A(－1，0)，抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴点B(3，0)． ∴EM ＝1，BN ＝2.易知EM ∥BN ，∴△EMF ∽△BNF. ∴S △EMF S △BNF ＝⎝⎛⎭⎫EM BN 2＝⎝⎛⎭
⎫122＝1
4.
25．解：(1)一件商品在3月份出售时利润为：6－1＝5(元)． (2)由图象知，抛物线的顶点为(6，4)，
∴可设关系式为Q ＝a(t －6)2＋4.又∵图象过点(3，1)，
∴1＝a(3－6)2＋4，解得a ＝－13.∴Q ＝－13(t －6)2＋4，即Q ＝－1
3t 2＋4t －8(t ＝3，4，5，
6，7)．
(3)由图象可知，M(元)是关于t(月)的一次函数， ∴可设M ＝kt ＋b. ∵点(3，6)，(6，8)在其图象上，
∴⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝6，
6k ＋b ＝8.解得⎩⎪
⎨⎪⎧k ＝2
3，b ＝4.
∴M ＝23t ＋4.∴W ＝M －Q ＝23t ＋4－⎝⎛⎭⎫－13t 2＋4t －8＝13t 2－10
3t ＋12， 即W ＝13t 2－10
3t ＋12(t ＝3，4，5，6，7)．
∵W ＝13t 2－103t ＋12＝13(t －5)2＋11
3
.
∴当t ＝5时，W 最小值＝11
3
.
∴该公司在一个月内最少获利11
3×30 000＝110 000(元)．
26．解：(1)∵抛物线经过坐标原点(0，0)， ∴m 2－1＝0， ∴m ＝±1，
∴y ＝x 2＋x 或y ＝x 2－3x.
∵当x<0时，y 随x 的增大而减小， ∴y ＝x 2－3x. ∴y<0时，0<x<3.
(2)①当BC ＝1时，矩形ABCD 的周长为6. ②∵点A 的坐标为(a ，b)，
∴当点A 在对称轴左侧时，矩形ABCD 的一边BC ＝3－2a ，另一边AB ＝3a －a 2， ∴周长L ＝－2a 2＋2a ＋6，其中0<a<32
.
当点A 在对称轴的右侧时，矩形ABCD 的一边BC ＝2a －3，另一边AB ＝3a －a 2， ∴周长L ＝－2a 2＋10a －6，其中3
2<a<3.
周长存在最大值．
当0<a<32时，L ＝－2⎝⎛⎭⎫a －122＋132
，
∴当a ＝12时，L 最大值＝13
2，A 点坐标为⎝⎛⎭⎫12，－54. 当32<a<3时，L ＝－2⎝⎛⎭⎫a －522＋132
，
∴当a ＝52时，L 最大值＝13
2，A 点坐标为⎝⎛⎭⎫52，－54.。