信息光学第一章习题课
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第一章 习题课
一、二维傅里叶变换
1、定义
函数f(x,y)在整个x-y平面上绝对可积且满足狄氏条件(有 有限个间断点和极值点,没有无穷大间断点), 定义函数
F ( fx , f y ) f (x, y) exp[ j2 ( fx x f y y)dxdy
为函数f(x,y)的傅里叶变换, 记作:
二、特殊函数的性质极其傅里叶变换
• 矩形函数的傅里叶变换
rect
x a
1，
0 ,
xa 2 傅里叶变换
其它
F
rect
x a
a
sinc af x
a
sin a fx
a fx
• 高斯函数的傅里叶变换
exp x2
傅里叶变换
F
exp x2
exp
f
2 x
Gaussian
傅里叶变换
则有 Fgx a G f x exp j2f xa
，函数在空域中的平移，带来频域中的相移
同时 Fgxexp j2fa x G fx fa ，函数在空域中的相移，带来频域中的平移
（4）帕色伐（Parseval）定理：
如果
Fgx G f x
则有：
gx 2dx
G
fx
2dx
该定理表明信号在空域和频域的能量守恒。
包含脉冲函数的卷积:
f(x)*d(x - x0) = f (x - x0)
任意函数与d-函数的卷积,是将该函数位移到d-函数所
在的位置
切勿混淆！
梳状函数
x
comb( ) x0
d( x
n
x0
n)
x0 d (x nx0 )
n
comb x d x n n
一维梳状函数
comb(x)
1
…
…
e x2
1
O
x
(a)
Gaussian
• 三角函数的傅里叶变换
tri
x a
1 0 ,
x a
，
x a 傅里叶变换 其它
F
tri
x a
a2
sinc2
a
a2
sin2 a a 2
fx = µ
脉冲函数的运算
乘积性质：
设f (x)在x0点连续, 则: f x)d (x-x0) = f x0)d (x-x0) 任意函数与d-函数的乘积,是幅度变化了的d-函数
F.T.
-3Bx -Bx
-1/X
fx
0
×
பைடு நூலகம்
Bx 3Bx
1/X
rect(fx/2Bx)
fx -Bx 0 Bx
G(fx)
fx -Bx 0 Bx
gs(x)
=
0
F.T.
G(fx)
=
fx
-Bx 0 Bx
像 函 数
x
任何函数与d 函数相乘的结果仍然是
d 函数，只是 d 函数的“大小”要被该 函数在 d 函数位置上的函数值所调
制。换句话说，每个d 函数下的体积
正比于该点函数的数值
原 函 数
空域
g(x)
x 0 gs(x)
* x
0
傅里叶变换
2Bxsinc(2Bx)
fx 0 11 2Bx 2Bx
频域
F.T.
Gs(fx)
F(fx,fy)= {f(x,y)}=F.T.[f(x,y)],
或
f(x,y) F.T. F(fx,fy)
f(x,y): 原函数, F(fx,fy)是f(x,y)的频谱函数
F(fx,fy)一般是复函数, F(fx,fy) =A(fx,fy)e jf (fx,fy)
振幅谱
位相谱
2、傅里叶变换的性质（重点）
（5）卷积定理：如果 Fgx G fx , Fhx H fx
则有 Fgx* hx G fx H fx
F-1{G( fx )H( fx )} g(x)* h(x)
即，空间域两函数的卷积的傅里叶变换对应着两者变换式的乘积
Fgxhx G fx * H fx
而且，空间域两函数的乘积的傅里叶变换对应着两者变换式的卷积
（1）线性定理：如果 Fgx G fx , Fhx H fx （波的叠加原理）
则有 Fgx hx G f x H f x
（2）相似性定理：如果 Fgx G f x （缩放和反演定理）
则有
Fgax 1 G f x
a a
（单缝衍射，缝窄衍射变宽）
（3）位移定理：如果 Fgx G f x
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
•一个连续的限带函数可以由其离散 的抽样序列代替，而不丢失任何信息
•因此抽样定理是数字化社会的基础， 其重要意义怎么讲也不过分
原 函 数
g(x)comb(x) g(m)d (x m) gs (x) m
抽 样 函 数
梳状函数的性质：
筛选性质： 缩放性质： 平移性质： 乘法性质：
卷积定理为傅里叶变换的计算提供了另一个方便的途径。
（6）傅里叶积分定理：在函数 gx,y 的各个连续
点上有
F-1Fgx,yFF-1 gx,ygx,y
FFgx,yF-1F-1 gx,ygx, y
对函数相继进行正变换和逆变换，重新得到原函 数；而对函数相继进行两次正变换或逆变换，得 到原函数的“倒立像”。
1
comb( x
)
comb(f
)
• 二维梳状函数
comb( x X
,
y Y
)
comb
x X
comb
y Y
如果被抽样的函数为 gx, y ，抽样
函数可表示为 gs x, y
gs
x,
y
comb
x X
comb y
Y
g x,
y
梳状函数是 d 函数的集合，它与任何 函数的乘积就是无数分布在平面 （x,y）上在x和y两方向上间距为 X 和 Y 的 d 函数与该函数的乘积
comb(x) f (x)dx f (n)
n
comb(ax) 1 d (x n)
a n
a
comb(ax x0 )
1 a
d (x n x0 )
n
aa
f (x)comb(x) f (m)d (x m) fs (x) m
2.
comb(x) comb(f )
梳状函数的F.T.仍为梳状函数
一、二维傅里叶变换
1、定义
函数f(x,y)在整个x-y平面上绝对可积且满足狄氏条件(有 有限个间断点和极值点,没有无穷大间断点), 定义函数
F ( fx , f y ) f (x, y) exp[ j2 ( fx x f y y)dxdy
为函数f(x,y)的傅里叶变换, 记作:
二、特殊函数的性质极其傅里叶变换
• 矩形函数的傅里叶变换
rect
x a
1，
0 ,
xa 2 傅里叶变换
其它
F
rect
x a
a
sinc af x
a
sin a fx
a fx
• 高斯函数的傅里叶变换
exp x2
傅里叶变换
F
exp x2
exp
f
2 x
Gaussian
傅里叶变换
则有 Fgx a G f x exp j2f xa
，函数在空域中的平移，带来频域中的相移
同时 Fgxexp j2fa x G fx fa ，函数在空域中的相移，带来频域中的平移
（4）帕色伐（Parseval）定理：
如果
Fgx G f x
则有：
gx 2dx
G
fx
2dx
该定理表明信号在空域和频域的能量守恒。
包含脉冲函数的卷积:
f(x)*d(x - x0) = f (x - x0)
任意函数与d-函数的卷积,是将该函数位移到d-函数所
在的位置
切勿混淆！
梳状函数
x
comb( ) x0
d( x
n
x0
n)
x0 d (x nx0 )
n
comb x d x n n
一维梳状函数
comb(x)
1
…
…
e x2
1
O
x
(a)
Gaussian
• 三角函数的傅里叶变换
tri
x a
1 0 ,
x a
，
x a 傅里叶变换 其它
F
tri
x a
a2
sinc2
a
a2
sin2 a a 2
fx = µ
脉冲函数的运算
乘积性质：
设f (x)在x0点连续, 则: f x)d (x-x0) = f x0)d (x-x0) 任意函数与d-函数的乘积,是幅度变化了的d-函数
F.T.
-3Bx -Bx
-1/X
fx
0
×
பைடு நூலகம்
Bx 3Bx
1/X
rect(fx/2Bx)
fx -Bx 0 Bx
G(fx)
fx -Bx 0 Bx
gs(x)
=
0
F.T.
G(fx)
=
fx
-Bx 0 Bx
像 函 数
x
任何函数与d 函数相乘的结果仍然是
d 函数，只是 d 函数的“大小”要被该 函数在 d 函数位置上的函数值所调
制。换句话说，每个d 函数下的体积
正比于该点函数的数值
原 函 数
空域
g(x)
x 0 gs(x)
* x
0
傅里叶变换
2Bxsinc(2Bx)
fx 0 11 2Bx 2Bx
频域
F.T.
Gs(fx)
F(fx,fy)= {f(x,y)}=F.T.[f(x,y)],
或
f(x,y) F.T. F(fx,fy)
f(x,y): 原函数, F(fx,fy)是f(x,y)的频谱函数
F(fx,fy)一般是复函数, F(fx,fy) =A(fx,fy)e jf (fx,fy)
振幅谱
位相谱
2、傅里叶变换的性质（重点）
（5）卷积定理：如果 Fgx G fx , Fhx H fx
则有 Fgx* hx G fx H fx
F-1{G( fx )H( fx )} g(x)* h(x)
即，空间域两函数的卷积的傅里叶变换对应着两者变换式的乘积
Fgxhx G fx * H fx
而且，空间域两函数的乘积的傅里叶变换对应着两者变换式的卷积
（1）线性定理：如果 Fgx G fx , Fhx H fx （波的叠加原理）
则有 Fgx hx G f x H f x
（2）相似性定理：如果 Fgx G f x （缩放和反演定理）
则有
Fgax 1 G f x
a a
（单缝衍射，缝窄衍射变宽）
（3）位移定理：如果 Fgx G f x
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
•一个连续的限带函数可以由其离散 的抽样序列代替，而不丢失任何信息
•因此抽样定理是数字化社会的基础， 其重要意义怎么讲也不过分
原 函 数
g(x)comb(x) g(m)d (x m) gs (x) m
抽 样 函 数
梳状函数的性质：
筛选性质： 缩放性质： 平移性质： 乘法性质：
卷积定理为傅里叶变换的计算提供了另一个方便的途径。
（6）傅里叶积分定理：在函数 gx,y 的各个连续
点上有
F-1Fgx,yFF-1 gx,ygx,y
FFgx,yF-1F-1 gx,ygx, y
对函数相继进行正变换和逆变换，重新得到原函 数；而对函数相继进行两次正变换或逆变换，得 到原函数的“倒立像”。
1
comb( x
)
comb(f
)
• 二维梳状函数
comb( x X
,
y Y
)
comb
x X
comb
y Y
如果被抽样的函数为 gx, y ，抽样
函数可表示为 gs x, y
gs
x,
y
comb
x X
comb y
Y
g x,
y
梳状函数是 d 函数的集合，它与任何 函数的乘积就是无数分布在平面 （x,y）上在x和y两方向上间距为 X 和 Y 的 d 函数与该函数的乘积
comb(x) f (x)dx f (n)
n
comb(ax) 1 d (x n)
a n
a
comb(ax x0 )
1 a
d (x n x0 )
n
aa
f (x)comb(x) f (m)d (x m) fs (x) m
2.
comb(x) comb(f )
梳状函数的F.T.仍为梳状函数