高三数学选择填空难题突破 立体几何中最值问题

高三数学选择填空难题突破立体几何中最值问题
一．方法综述
高考试题将趋于关注那些考查学生运用运动变化观点处理问题的题目，而几何问题中的最值与范围类问题，既可以考查学生的空间想象能力，又考查运用运动变化观点处理问题的能力，因此，将是有中等难度的考题．此类问题，可以充分考查图形推理与代数推理，同时往往也需要将问题进行等价转化，比如求一些最值时，向平面几何问题转化，这些常规的降维操作需要备考时加强关注与训练．立体几何中的最值问题一般涉及到距离、面积、体积、角度等四个方面,此类问题多以规则几何体为载体,涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等,题目较为综合,解决此类问题一般可从三个方面思考：一是函数法,即利用传统方法或空间向量的坐标运算,建立所求的目标函数,转化为函数的最值问题求解；二是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；三是将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解。

二．解题策略
类型一距离最值问题
AB=，若线段DE上存在点P 【例1】如图，矩形ADFE，矩形CDFG，正方形ABCD两两垂直，且2
⊥，则边CG长度的最小值为（）
使得GP BP
A. 4
B. D.
【答案】D
又22002B G a （，，），（，，），所以2,2,,,2,.22ax ax BP x GP x a ⎛⎫⎛⎫
=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
() 24022ax ax PB PG x x a ⎛⎫
=-++-= ⎪⎝⎭
.显然0x ≠且2x ≠.所以22
1642a x x =--. 因为()0,2x ∈，所以(]
2
20,1x x -∈.所以当221x x -=， 2a 取得最小值12.所以a
的最小值为故选D.
【指点迷津】利用图形的特点，建立空间直角坐标系，设CG 长度为a 及点P 的坐标，求BP GP
与的坐标，
根据两向量垂直，数量积为0，得到函数关系式
2216
42a x x =--，利用函数求其最值。

举一反三
1、如图，在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别是棱BC ，CC 1的中点，P 是侧面BCC 1B 1内一点，若A 1P ∥平面AEF ，则线段A 1P 长度的取值范围是_____。

【答案】
⎣⎦
∵P 是侧面BCC 1B 1内一点，且A 1P ∥平面AEF ，∴点P 必在线段MN 上。

在Rt △A 1B 1M 中， 1A M =
==，
同理在Rt △A 1B 1N 中，可求得1A N =
A 1MN 为等腰三角形， 当P 在MN 中点O 时A 1P ⊥MN ，此时A 1P 最短，P 位于M 或N 处时A 1P 最长，
又14AO ===
所以线段A 1P 长度的取值范围是42⎡⎢⎣⎦
．
2、【2017甘肃省天水市第一中学上学期期末】如图所示,在空间直角坐标系中,D 是坐标原点,有一棱长为a 的正方体
,E 和F 分别是体对角线
和棱
上的动点,则
的最小值为（ ）
A. B. C. a D.
【答案】B
3、如右图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，
E 为棱1CC 的中点，点,P Q 分别为面1111A B C D 和线段1BC 上的动点，则PEQ ∆周长的最小值为_______．
10【解析】将面1111A B C D 与面11BB C C 折成一个平面，设E 关于11B C 的对称点为M ，E 关于1BC 对称点为N,则PEQ ∆周长的最小值为23110MN =+=类型二 面积的最值问题
【例2】已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A BCD -的外接球，
3BC =， 23AB =E 在线段BD 上，且3BD BE =，过点E 作圆O 的截面，则所得截面圆面积的
取值范围是（ ） A.
[],4ππ B. []2,4ππ C. []3,4ππ D. (]0,4π
【答案】B
关注. 举一反三
1、在三棱锥P-ABC 中，PA ⊥面ABC ，AB ⊥AC 且AC=1，AB=2，PA=3，过AB 作截面交PC 于D ，则截面ABD 的最小面积为（ ）
【答案】C
【解析】
如图所示，当PC ABD ⊥面时 ，截面ABD 的面积最小，此时应有
min min 11V 3310P ABC ABC S PA S PC S -=⨯⨯=⨯⨯⇒==。

故选C 。

2、如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，2,11==AA AB ，点P 是平面1111D C B A 内的一个动点，则三
棱锥ABC
P -的正视图与俯视图的面积之比的最大值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．21
D ．4
1 【答案】B
ABC P -的正视图与俯视图的面积之比的最大值为2；故选B ．
3、正三棱锥V-ABC 的底面边长为a 2，E,F,G,H 分别是VA,VB,BC,AC 的中点，则四边形EFGH 的面积的取值范围是（ ）
A ．()+∞,0
B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,332a
C ．⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞,632a D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,212a 【答案】B
【解析】不妨设侧棱长尾2b ,则322322⋅⋅
>a b 即a b 3
3>．由已知条件得，四边形EFGH 的面积2
3
333a a a ab s =⋅
>=,故选B 。

类型三 体积的最值问题 【例3】如图，已知平面
平面
，
，、是直线上的两点，、是平面内的两点，且
，
，，
，
，是平面上的一动点，且有，则四棱锥
体积的最大
值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【指点迷津】本题主要考查面面垂直的性质，棱锥的体积公式以及求最值问题. 求最值的常见方法有①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法；③不等式法；④单调性法；⑤图像法，本题首先根据线面关系将体积最值转化为函数求最值问题，然后应用方法①解答的. 举一反三
1、已知AD 与BC 是四面体ABCD 中相互垂直的棱，若6AD BC ==，且60ABD ACD ∠=∠= ，则四面体ABCD 的体积的最大值是
A. B. 18 D. 36 【答案】A
2、如图，已知平面l αβ= ，A 、B 是l 上的两个点，C 、D 在平面β内，且,,DA CB αα⊥⊥4AD =，6,8AB BC ==，
在平面α上有一个动点P ，使得APD BPC ∠=∠，则P ABCD -体积的最大值是（ ）
A.16 C.48 D.144 【答案】C
【解析】,,DA DA βααβ⊂⊥∴⊥ 面. ,,DA CB αα⊥⊥PAD ∴∆和PBC ∆均为直角三角形．,APD BPC PAD ∠=∠∴∆ ∽PBC ∆.4,8,2AD BC PB PA ==∴= . 过P 作PM AB ⊥,垂足为M .则PM β⊥.令AM t =,()t R ∈.
则2222PA AM PB BM -=-,即()2
222
46PA t PA t -=--,2124,PA t PM ∴=-∴=底面四边形ABCD 为直角梯形面积为()1
486362
S =
+⨯=.
136483
P ABCD V -∴=⨯.故C 正确.
3、(2016·全国Ⅲ卷)在封闭的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球.若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( ) A.4π
B.9π
2
C.6π
D.32π3
【答案】
B
类型四 角的最值问题
【例4】如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，E 、F 分别为AB 、BC 的中点。

设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则θcos 的最大值为
.
【答案】
2
5
【解析】建立坐标系如图所示.设1AB =，则11
(1,,0),(,0,0)22
AF E = .设(0,,1)(01)M y y ≤≤，则
1(,,1)2EM y =- ，由于异面直线所成角的范围为(0,]2
π
，所以
cos θ==
.2281145y y +=-+，令81,19y t t +=≤≤，则281161
81455
2y y t t
+=≥++-，当1t =时取等号.
所以
2cos 5θ==≤=，当0y =时，取得最大值.
C
【指点迷津】空间的角的问题，只要便于建立坐标系均可建立坐标系，然后利用公式求解。

解本题要注意，空间两直线所成的角是不超过90度的。

几何问题还可结合图形分析何时取得最大值。

当点M 在点P 处时，EM 与AF 所成角为直角，此时余弦值为0（最小），当点M 向左移动时，.EM 与AF 所成角逐渐变小，点M 到达点Q 时，角最小，余弦值最大。

举一反三 1、矩形ABCD 中，
，
，将△ABC 与△ADC 沿AC 所在的直线进行随意翻折，在翻折过程中直线
AD 与直线BC 成的角范围（包含初始状态）为（ ）
A. B. C. D.
【答案】
C
2、在正方体1111D C B A ABCD -中，O 是BD 中点，点P 在线段11D B 上，直线OP 与平面BD A 1所成的角为α，则αsin 的取值范围是（ ） A ．]33,32[
B ．]21,31[
C ．]3
3
,43[ D ．]31,41[
【答案】A
3、在正四面体P ABC -中，点M 是棱PC 的中点，点N 是线段AB 上一动点，且AN AB λ=
，设异面
直线NM 与AC 所成角为α，当
12
33
λ≤≤时，则cos α的取值范围是__________．
【答案】,3838⎡⎢⎣⎦
【解析】
设P 到平面ABC 的射影为点O ,取BC 中点D ,
以O 为原点，在平面ABC 中，以过O 作DB 的平行线为x 轴，以OD 为y 轴，以OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图，
设正四面体P −ABC
的棱长为
则(
)(
)(
(
(0,4,0,,,,A B C P M --，
由AN AB λ= ,
得(),64,0N λ-，
∴(
()
,56,NM AC λ=--→-=- ，
∵异面直线NM 与AC 所成角为α, 1233λ≤≤
，∴NM AC cos NM AC α⋅==
⋅
，设32t λ-=，则57
33t 剟∴222111124626()41
t cos t t t t
α==-+-⋅+，
∵
1313375t <剟
cos α.∴cos α
的取值范围是⎣⎦
. 三．强化训练
1、正方体1111ABCD A BC D -中，点P 在1AC 上运动
（包括端点），则BP 与1AD 所成角的取值范围是（ ）
A. ,43ππ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦ B. ,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. ,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. ,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【答案】D
2．如图，在矩形ABCD 中， 2,1AB AD ==,点E 为CD 的中点， F 为线段CE （端点除外）上一动点现将DAF ∆沿AF 折起，使得平面ABD ⊥平面ABC 设直线FD 与平面ABCF 所成角为θ，则sin θ的最大值为（ ）
A.
13
C. 12
D. 23 【答案】C
【解析】 如图：在矩形中，过点
作的垂线交
于点
，
交
于点
设
，
3、如下图，正方体1111ABCD A BC D -中， E 是1DD 的中点， F 是侧面11CDDC 上的动 点，且1B F //
平面1A BE ，则1B F 与平面11CDDC 所成角的正切值的最小值是_________
【答案】2
【解析】
设G,H,I 分别为CD 、CC 1、C 1D 1的中点，则1A B EG ，故1A BGE 四点共面，且平面1A BGE ∥平面B 1HI ， 又B 1F ∥面A 1BE ，∴F 在线段HI 上，
又1B B ⊥平面11CDDC ，∴11B FC ∠即为直线1B F 与平面11CDDC 所成的角，从而11
111
=
B C B FC FC ∠， 故当1C F 最大时， 11B FC ∠的正切值最小。

由题意知，当F 与H 或I 重合时， 1C F 最大， 11=2B FC ∠。

故B 1F 与平面CDD 1C 1所成角的正切值有最小值2。

4、【2014四川，理8】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点.设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是（） A
． B
． C
． D
．
【答案】B 【解析】
试题分析：设正方体的棱长为1
，则11111A C A C A O OC OC =
=====
，所以1111332122cos ,sin 3322A OC A OC +-∠==∠=⨯
，113122cos A OC A OC ∠==∠=. 又直线与平面所成的角小于等于90 ，而1A OC ∠为钝角，所以sin α
的范围为，选B. 5、已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在半径为1的球面上，且满足0PA PB ⋅= ，0PB PC ⋅=
，0PC PA ⋅=
，则三棱锥P ABC -的侧面积的最大值为（ ）
A ．
1
2
B ．1
C ．2
D ．4 【答案】
C
6、
体积为的正三棱锥A BCD -的每个顶点都在半径为R 的球O 的球面上，球心O 在此三棱锥内部，且:2:3R BC =，点E 为线段BD 的中点，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的最小值是_________． 【答案】9π
【解析】设3BC k =，则()20R k k =>， 体积为的正三棱锥A BCD -的每个顶点都在半径为R
的球O 的球面上， 2193k h ∴⨯=，得224h k =，由()
)2
2
2R h R =-+，
得2k =或k =（舍去），4R ∴=，由题意知点E 为线段BD 的中点，从而在ODB ∆中， 4,6OD OB DB ===，解得
OE == ∴当截面垂直于OE 时，3=，故截面圆面积最小值为9π，故答案为9π.
7、(数学文卷·2017届广东省揭阳市届高三上学期期末调研考试第15题) 鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、 前后完全对称．从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90 榫卯起来，如图3，若正四棱柱体的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为__________．（容器壁的厚度忽略不计）
【答案】41π
【解析】表面积最小的球形容器可以看成长、宽、高分别为1、2、6的长方体的外接球。

设其半径为R,
2
22
41
324R ⎛=+=
⎪⎝⎭
，所以该球形容器的表面积的最小值为2441R ππ= 。

8、【2016高考新课标3理数】在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，
6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是（）
（A ）4π （B ）92
π
（C ）6π （D ）
323
π
【答案】B
考点：1、三棱柱的内切球；2、球的体积．
9、【2017课标1，理16】如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为
O.D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥.当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______.
【答案】
【解析】
10、【2016高考浙江理数】如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是 .
【答案】
1
2
【解析】
过P作直线BD的垂线，垂足为O.设PO d
=，则
11
sin
22
PBD
S BD d PD PB BPD
=⨯=⋅∠
△
，2
11
2342sin30
22
x x d x
-+=⋅ ，解得
2234
d
x x
=
-+
.
而△BCD的面积
111
sin(23)2sin30(23)
222
S CD BC BCD x x
=⋅∠=⋅=
.
当平面PBD⊥平面BDC时：
四面体PBCD的体积
2
111
(23)
332234
BCD
V S d x
x x
=⨯=⨯-
-+
△
2
1(23)
6234
x x
x x
-
=
-+
.
观察上式，易得)
x x≤
x x
-
，即x时取等号，同时我们可以
发现当x
取得最小值，故当x时，四面体PBCD的体积最大，为
1
.
2
11、中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，古代用它作为长方体棱台（上、下底面均为矩形额棱台）的专用术语，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上表，下表从之，亦倍小表，上表从之，各以其广乘之，并，以高若深乘之，皆六面一.”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一，以此算法，现有上下底面为相似矩形的棱台，相似比为
1
2
，高为3，且上底面的周长为6，则该棱台的体积的最大值是（）
A. 14
B. 56
C.
63
4
D. 63
【答案】
C
12、（2013年高考北京卷（理））如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E
上,点P到直线CC1的距离的最小值为__________.
【答案】
13、如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABC ⊥平面BCD ， BAC 与BCD 均为等腰直角三角形，且
90BAC BCD ∠=∠=︒， 2BC =．点P 是线段AB 上的动点，若线段CD 上存在点Q ，使得异面直线PQ
与AC 成30︒的角，则线段PA 长的取值范围是（ ）
A. 0,
2⎛ ⎝⎭ B. ⎛ ⎝⎭ C. 2⎛ ⎝ D. ⎝ 【答案】B
14、如图所示，在直三棱柱中，,分别为的中点，为线段
①的周长是单调函数，当且仅当时，的周长最大；
②的面积满足等式，当且仅当时，的面积最小；
③三梭锥的体积为定值.
其中正确的命题个数是（）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3 【答案】C。