线性代数课件1.1二阶与三阶行列式
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线性代数ppt课件
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
x2
a11b2 a11a22
b1a21 a12a21
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
x2
a11b2 a11a22
b1a21 a12a21
5
第一章 行列式
我们用符号
aa1211表aa示1222代数和a11a22a12a21
解： 1 3 … （2n-1） 2 4 … 2k… （2n)
D3x24x189x2x212x25x6
即x25x60
x2或x3
值得注意的是：四阶及四阶以上行列式没有像二、三阶 行列式那样的对角线法则
13
第一章 行列式 §1-2 全排列及其逆序数
[引例]用1、2、3三个数字 可以组成多少个没有重复数字的 三位数？
[解依] 次选定百位数、十位数、个位数。 百位数有3种选法 十位数有2种选法 个位数有1种选法 所以可以组成6个没有重复数字的三位数 这6个三位数是 123 132 213 231 312 321
十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。 十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。
3
第一章 行列式
莱布尼茨：历史上少见的通才，被誉为 十七世纪的亚里士多德。在数学上，他 和牛顿先后独立发明了微积分。在哲学 上，莱布尼茨的“乐观主义”最为著名 。 他对物理学的发展也做出了重大贡献 。
并称它为三阶行列式。
10
第一章 行列式
2、行列式中的相关术语
行列式的元素、行、列、主对角线、副对角线 3、三阶行列式的计算 （对角线法则或沙路法则 ）
一二阶与三阶行列式-PPT精品文档
引进记号
三阶行列式
a11 D a 21 a 31
a12 a 22 a 32
a13
a a a a a a a a a a 23 11 22 33 12 23 31 13 21 32
a 33
a a a a a a a a a 13 22 31 12 21 33 11 23 32
a 11 A a 21 a 31
a 12 a 22 a 32
a 13 a 23 a11a22a33 a12a23a31a13a21a32 a 33 a13a22a31a12a21a33a11a23a32
例：
2 1 1
0 4 8
1 1 3
118 0(1 ) (1 ) 4 )3 2(
a b b a 1 a 11 11 2 1 21 x 2 a a a a A a 21 11 22 12 21
a 12 a 22
b1 b2
2.
a11x1 a12x2 a13x3 b 1 类似地，为讨论三元线性方程组 a21x a22x2 a23x3 b 1 2 a x a x a x b 31 1 32 2 33 3 3
a 13 a 23 a 33
a 14 a 24 a 34
a21 a23 a24 M12 a31 a33 a34 a41 a43 a44
1 2 M A 1 M 12 12 12
a 43 aa444 4
a11 a12 a13 M44 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a 12 a 22
算出来是一个数。
(2) 记忆方法：对角线法则 主对角线上两元素之积 － 副对角线上两元素之积
A
三阶行列式
a11 D a 21 a 31
a12 a 22 a 32
a13
a a a a a a a a a a 23 11 22 33 12 23 31 13 21 32
a 33
a a a a a a a a a 13 22 31 12 21 33 11 23 32
a 11 A a 21 a 31
a 12 a 22 a 32
a 13 a 23 a11a22a33 a12a23a31a13a21a32 a 33 a13a22a31a12a21a33a11a23a32
例：
2 1 1
0 4 8
1 1 3
118 0(1 ) (1 ) 4 )3 2(
a b b a 1 a 11 11 2 1 21 x 2 a a a a A a 21 11 22 12 21
a 12 a 22
b1 b2
2.
a11x1 a12x2 a13x3 b 1 类似地，为讨论三元线性方程组 a21x a22x2 a23x3 b 1 2 a x a x a x b 31 1 32 2 33 3 3
a 13 a 23 a 33
a 14 a 24 a 34
a21 a23 a24 M12 a31 a33 a34 a41 a43 a44
1 2 M A 1 M 12 12 12
a 43 aa444 4
a11 a12 a13 M44 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a 12 a 22
算出来是一个数。
(2) 记忆方法：对角线法则 主对角线上两元素之积 － 副对角线上两元素之积
A
线性代数§1.1二阶、三阶行列式
线性代数§1.1⼆阶、三阶⾏列式本章说明与要求⾏列式的理论是⼈们从解线性⽅程组的需要中建⽴和发展起来的，它在线性代数以及其他数学分⽀上都有着⼴泛的应⽤。
在本章⾥我们主要讨论下⾯⼏个问题：(1) ⾏列式的定义；(2) ⾏列式的基本性质及计算⽅法；(3) 利⽤⾏列式求解线性⽅程组(克莱姆法则)。
本章的重点：是⾏列式的计算，要求在理解n阶⾏列式的概念，掌握⾏列式性质的基础上，熟练正确地计算三阶、四阶及简单的n阶⾏列式。
计算⾏列式的基本思路是：按⾏(列)展开公式，通过降阶来计算．但在展开之前往往先利⽤⾏列式性质通过对⾏列式的恒等变形，使⾏列式中出现较多的零和公因式，从⽽简化计算。
常⽤的⾏列式计算⽅法和技巧：直接利⽤定义法，化三⾓形法，降阶法，递推法，数学归纳法，利⽤已知⾏列式法。
⾏列式在本章的应⽤：求解线性⽅程组(克莱姆法则)．要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应⽤的条件。
本章的重点：⾏列式性质；⾏列式的计算。
本章的难点：⾏列式性质；⾼阶⾏列式的计算；克莱姆法则。
==============================================§1.1 ⼆阶、三阶⾏列式⾏列式的概念起源于解线性⽅程组，它是从⼆元与三元线性⽅程组的解的公式引出来的。
因此我们⾸先讨论解⽅程组的问题。
设有⼆元线性⽅程组()()------1 ------2ax by c dx ey f +=+=?? ⽤消元法求解：()()12:e b - ()ae bd x ce bf -=-?，ce bf x ae bd-=-， ()()21:a d - ()ae bd y af dc -=-?，af dc y ae bd-=-。
即得⽅程组的解：ce bf x ae bd af dc y ae bd -?=??-?-?=?-?。
这就是⼀般⼆元线性⽅程组的解公式。
但这个公式很不好记忆，应⽤时⼗分不⽅便。
由此可想⽽知，多元线性⽅程组的解公式肯定更为复杂。
线性代数-行列式-PPT文档资料
即
a 11 a 12 D a a a a . 11 22 12 21 a 21 a 22
1.二阶行列式的计算
主对角线 副对角线
对角线法则
a a . a a 12 21 11 22
a 11
a 21
a 12
a 22
a x a x b , 11 1 12 2 1 对于二元线性方程组 a x a x b . 21 1 22 2 2
若记 系数行列式
a 11 a 12 D , a 21 a 22
当D 时，则二元线性方程组的解为 0
b a a b 1 22 12 2 x ， 1 a a a a 11 22 12 21
a x a x b , 11 1 12 2 1 a x a x b . 21 1 22 2 2
说明1
对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
说明2 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于 不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为 正,三项为负.
1 2 3
例2
计算三阶行列式 D 4 0 5 0 -1 2
按对角线法则，有
解
D 1 0 2 2 5 0 3 4 ( 1 )
1 2
类似地，消去 x ，得 1
（ a a a a ） x a b b a , 11 22 12 21 2 11 2 1 21
当 a a a a 0 时， 方程组的解为 11 22 12 21
b a a b 1 22 12 2 x ， 1 a a a a 11 22 12 21
3 0 0 2 4 2 1 5 ( 1 )
0 0 12 0 16 5
a 11 a 12 D a a a a . 11 22 12 21 a 21 a 22
1.二阶行列式的计算
主对角线 副对角线
对角线法则
a a . a a 12 21 11 22
a 11
a 21
a 12
a 22
a x a x b , 11 1 12 2 1 对于二元线性方程组 a x a x b . 21 1 22 2 2
若记 系数行列式
a 11 a 12 D , a 21 a 22
当D 时，则二元线性方程组的解为 0
b a a b 1 22 12 2 x ， 1 a a a a 11 22 12 21
a x a x b , 11 1 12 2 1 a x a x b . 21 1 22 2 2
说明1
对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
说明2 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于 不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为 正,三项为负.
1 2 3
例2
计算三阶行列式 D 4 0 5 0 -1 2
按对角线法则，有
解
D 1 0 2 2 5 0 3 4 ( 1 )
1 2
类似地，消去 x ，得 1
（ a a a a ） x a b b a , 11 22 12 21 2 11 2 1 21
当 a a a a 0 时， 方程组的解为 11 22 12 21
b a a b 1 22 12 2 x ， 1 a a a a 11 22 12 21
3 0 0 2 4 2 1 5 ( 1 )
0 0 12 0 16 5
同济大学《线性代数》 PPT课件
称为三阶行列式.
二阶行列式的对角线法则 并不适用！
三阶行列式的计算 ——对角线法则
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
实线上的三个元素的乘积冠正号， 虚线上的三个元素的乘积冠负号.
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31a12a21a33 a11a23a32
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a22 a32
结论 三阶行列式可以用二阶行列式表示.
思考题 任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？
在n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第j 列划后，
留下来的n－1阶行列式叫做元素 aij 的余子式，记作 M ij .
验证 1 7 5 6 6 2 196
175 3 5 8 196
358
662
175 175 于是 6 6 2 3 5 8
358 662
推论1 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.
证明 互换相同的两行，有 D D，所以
. D0
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个
结论 因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以行列 式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式.
二、行列式按行（列）展开法则
定理1 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应 的代数余子式乘积之和，即
D
ai1
Ai1
ai 2
Ai
2
L
线性代数1-1 二、三阶行列式
a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号．
注 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
2. 三阶行列式的计算
a 11 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33
(1)沙路法 D a 21
a 31
D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31 .
(2)对角线法则
x 2 3,
有否统一的公式？
用消元法解二元线性方程组
a 11 x 1 a 12 x 2 b1 , a 21 x 1 a 22 x 2 b 2 .
1
2
1 a 22 : 2 a 12 :
a 11 a 22 x 1 a 12 a 22 x 2 b1 a 22 , a 12 a 21 x 1 a 12 a 22 x 2 b 2 a 12 ,
(6)
a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32
（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.
a 11 D a 21 a 31
a 12 a 22 a 32
a 13 a 23 a 33
.列标 行标
a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32
1.定义 设有 9 个数排成 3 行 3 列的数表
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号．
注 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
2. 三阶行列式的计算
a 11 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33
(1)沙路法 D a 21
a 31
D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31 .
(2)对角线法则
x 2 3,
有否统一的公式？
用消元法解二元线性方程组
a 11 x 1 a 12 x 2 b1 , a 21 x 1 a 22 x 2 b 2 .
1
2
1 a 22 : 2 a 12 :
a 11 a 22 x 1 a 12 a 22 x 2 b1 a 22 , a 12 a 21 x 1 a 12 a 22 x 2 b 2 a 12 ,
(6)
a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32
（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.
a 11 D a 21 a 31
a 12 a 22 a 32
a 13 a 23 a 33
.列标 行标
a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32
1.定义 设有 9 个数排成 3 行 3 列的数表
线性代数课件1(华中科技大学)
行列式，并记作 a11 a12
(5)
a21 a22
即
D a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21.
二阶行列式的计算 对角线法则
主对角线 a11
副对角线 a21
a12 a11a22 a12a21.
a22
对于二元线性方程组
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
5 0,
同理可得
2 2 1
1 2 1
D1 1 1 3 5, D2 2 1 3 10,
0 1 1
1 0 1
1 2 2
D3 2 1 1 5, 1 1 0
故方程组的解为:
x1
D1 D
1,
x2
D2 D
2,
x3
D3 D
1.
1.1.2 n元排列的逆序与对换
一、全排列及其逆序数
问题 把 n 个不同的元素排成一列，共有几种不 同的排法？
n 个不同的元素的所有排列的种数，通常
用 Pn表示. Pn n (n 1) (n 2) 3 2 1 n!.
定义 自然数1，2，3…n按一定次序排成一 排，称为n元排列,记为 i1i2 in
排列的逆序数
我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个 不同的自然数，规定由小到大为标准次序(或称 自然排列1234….n).
例如：4231为奇排列，则经过1次（奇次）对换变 成为标准排列（自然排列）1234
1.1.3 n阶行列式的定义
一、概念的引入
三阶行列式
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
线性代数第一章课件
（五）性质5：把行列式的某一列（行） 的各元素乘以同一数，然后加到另一列 （行）对应的元素上去，行列式不变.
(以数 k 乘第 j 列加到第 i 列上,记作：ci kc j 以数 k 乘第
j 行加到第 i 行上,记作： ri krj )
a11 a21 an1
a1i a2i ani
a11
aij
的第一个下标ｉ称为行标，表明该元
素位于第ｉ行，第二个下标ｊ称为列标,表明 该元素位于第ｊ列,位于第i行第j列的元素称
为行列式的 i, j 元
。
把
a11 到 a22 的实联线称为主对角
到
线， a12
a21
的虚联线称为副对
角线 。
3、二元线性方程组的解
a11 x1 a12 x2 b1 的解为 a21 x1 a22 x2 b2
第一章 行列式 § 1-1 n阶行列式的定义
一、二阶与三阶行列式 ㈠ 二阶行列式与二元线性方程组 1、二阶行列式计算式：
D
a11
a12
a21 a22
a11a22 a12 a21
2、相关名称 a11 a12 在二阶行列式 中，把数 a21 a22
aij i 1.2; j 1.2 称为行列式的元素,元素
注意不要与绝对值记号相混淆。
a a
2、n阶行列式展开式的特点 （1）行列式由n!项求和而成 （2）每项是取自不同行、不同列的n个 元素乘积，每项各元素行标按自然顺序 排列后就是行列式的一般形式，
1
j1 j2
jn
a1 j1 a2 j2
anjn
（3）若行列式每项各元素的行标按自然 数的顺序排列,列标构成n级排列 j1 j2 jn j1 j2 jn 则该项的符号为 1
线性代数_第一章
i = 1时, a1 j x j = b1 , 即 : a11x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1
n
将（2）代入（3）中得：
a x = a
j =1 ij j j =1 n n
Dj D
ij
1 n n 1 n = aij D j = aij bk Akj D j =1 k =1 D j =1
0
cj j
D
j =1,2,, n
=
n!
1 1 1
1 2 1 0 0
1 1 3 n 0 0 1 0 0 1
c1 - c j j =1,2,, n
=
n!
1 1 1 - - - 2 3 n 0 0 0
1 2 1 0 0
1 1 3 n 0 0 1 0 0 1
再设
a11 a21
a12 a22
=a11a22 -a12a21
D2 = a12 b1
D1 =
b1 b2
a12 a22
a21 b2
则上述方程组的解可写为：
b1 a12 a11 b1 b2 a22 a21 b2 x1= ———— x2= ———— a11 a12 a11 a12 a21 a22 a21 a22
1 1 1 = - + + + n! n 2 3
对一般爪型行列式：
例3：计算n+1阶行列式
爪型行列式
例4 计算n阶行列式
例5 计算n阶行列式
例6 证明范得蒙得(Vander-monde)行列 式
例7 证明n阶行列式乘法规则
§1.4 克拉默（Cramer）法则
§1.1 二阶和三阶行列式
b1
a12
a11
b1
D1 b2 a22 x1 = , = D a11 a12 a21 a22
D2 a21 b2 x2 = . = D a11 a12 a21 a22
例1 求解二元线性方程组
3 x 1 − 2 x 2 = 12 , 2 x1 + x 2 = 1 .
解
3 −2 = 3 − ( − 4 ) = 7 ≠ 0, D= 2 1
代入方程验算
D3 x3 = = 1. D
例5
求一个二次多项式 f ( x ), 使
f (1) = 0, f (2 ) = 3, f (− 3 ) = 28.
解
设所求的二次多项式为
f ( x ) = ax 2 + bx + c ,
由题意得
f (1) = a + b + c = 0,
f (2 ) = 4a + 2b + c = 3, f (− 3 ) = 9a − 3b + c = 28,
12 − 2 3 12 = −21, D1 = = 14, D2 = 1 1 2 1
D1 14 D2 − 21 ∴ x1 = = = 2, x 2 = = = − 3. D 7 D 7
用行列式小软件验算 D1 , D2
1.1.2、三阶行列式
定义1.1.2 定义1.1.2 设有9个数排成 3行 3列的数表 a11 a12 a13
− 1 × 1 × 4 − 2 × ( −2 ) × ( −2 ) − ( −4 ) × 2 × ( −3 )
= −4 − 6 + 32 − 4 − 8 − 24
= −14.
1 1
例3 解
线性代数_课件
2020/3/1
22
五、关于等价定义的说明
对于行列式中的任一项
(1) a1p1...aipi ...a jpj ...anpn
(1)
其中 1...i... j...n为自然排列， 为列下标排
列 p1...pi...p j... pn 的逆序数。对换 (1) 中元
素a
与
ip i
a jp
j
成：
(1) a1p1...a jpj ...aipi ...anpn
解：∵ 排列p1 p2 p3…pn与排列 pn…p3 p2 p1的逆序
数之和等于1～ n 这 n 个数中任取两个数的组合
数即 ：
(
p1 p2... pn )
(
pn
pn1... p1)
Cn2
n(n 1) 2
(
pn
pn1... p1)
n(n 1) 2
k
2020/3/1
9
例4 求排列(2k)1(2k 1)2(2k 2)...(k 1)k
a22 ...
... a2n ... ...
a11a22...ann
0 0 ... ann
2020/3/1
16
3) 次上三角行列式
a1,1 ... a1,n1 a1,n
a2,1 ... a2,n1 ... ... ...
0 ...
n ( n 1)
(1) 2 a1,na2,n1...an,n
例6 若 a13a2ia32a4k , a11a22a3ia4k , ai2a31a43ak 4 为四阶行列式的项，试确定i与k，使前两项带正号， 后一项带负号。
线性代数课件第一章
一个标准次序（例如 n 个不同的自然数，可规定由小到 大为标准次序），于是在这 n 个元素的任一排列中，当 某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有 1 个
逆序. 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆 序数.
在一个 n 阶排列中，任何一个数对不是构成逆序 就是构成顺序．如果我们把顺序的个数称为顺序数，则 一个 n 阶排列的顺序数与逆序数的和为 n(n –1)/2 .
a12a21) a12a21)
x1 x2
b1a22 a11b2
a12b2 b1a21
, .
当 a11a22 – a12a21 0 时，求得方程组（１）的解为
x1
x2
b1a22
a11a22 a11b2
a11a22
a12b2
a12a21 b1a21
a12a21
, .
（２）
为了记忆该公式，引入记号
(为偶排列)． 带负号的三项列标排列：132 , 213 , 321
(为奇排列)． 故三阶行列式可以写成
a11 a12 a13
a21 a22 a23 (1)t a1p1 a2 p2 a3 p3 ,
a31 a32 a33
其中 t 为排列 p1p2p3 的逆序数， 表示对1，2，3 三个 数的所有排列 p1p2p3 求和．
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21
并称之为二阶行列式．其中 aij 称为行列式的元素，
aij 的两个下标表示该元素在行列式中的位置，第一个下
标称为行标， 表示该元素所在的行，第二个下标称为列
标，表示该元素所在的列，常称 aij 为行列式的(i , j ) 元1由a11成a11baaa1a1111b122二12二aaa22122b222阶22阶22ba1abaa行行11112aa22baa22ba11a1列12列22a22122baaa112式12式1222,.1b12的，,. 定即bb12 义aa，12（22 ,（２２a）11b）2
逆序. 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆 序数.
在一个 n 阶排列中，任何一个数对不是构成逆序 就是构成顺序．如果我们把顺序的个数称为顺序数，则 一个 n 阶排列的顺序数与逆序数的和为 n(n –1)/2 .
a12a21) a12a21)
x1 x2
b1a22 a11b2
a12b2 b1a21
, .
当 a11a22 – a12a21 0 时，求得方程组（１）的解为
x1
x2
b1a22
a11a22 a11b2
a11a22
a12b2
a12a21 b1a21
a12a21
, .
（２）
为了记忆该公式，引入记号
(为偶排列)． 带负号的三项列标排列：132 , 213 , 321
(为奇排列)． 故三阶行列式可以写成
a11 a12 a13
a21 a22 a23 (1)t a1p1 a2 p2 a3 p3 ,
a31 a32 a33
其中 t 为排列 p1p2p3 的逆序数， 表示对1，2，3 三个 数的所有排列 p1p2p3 求和．
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21
并称之为二阶行列式．其中 aij 称为行列式的元素，
aij 的两个下标表示该元素在行列式中的位置，第一个下
标称为行标， 表示该元素所在的行，第二个下标称为列
标，表示该元素所在的列，常称 aij 为行列式的(i , j ) 元1由a11成a11baaa1a1111b122二12二aaa22122b222阶22阶22ba1abaa行行11112aa22baa22ba11a1列12列22a22122baaa112式12式1222,.1b12的，,. 定即bb12 义aa，12（22 ,（２２a）11b）2