代数精度

3.1 数值积分公式与代数精度，Newton-Cotes 求积公式习题

一、填空题

1、辛普生求积公式具有 次代数精度，其余项表达式为 。

(答案：3，4(4)()(),(,)1802b a b a f a b ζζ---∈) 2、设()(0,1,2)j l x j n = 是区间[a,b ]上的一组n 次插值基函数。则插值型求积公式的代数精度为 ；插值型求积公式中求积系数j A = ；且0

n

j j A ==∑ 。

(答案：至少是n ，()b

k a l x dx ⎰， b-a )

3.牛顿—柯特斯求积公式的系数和()

n

n k k C ==∑ 。

（答案： 1 ）

二、计算题

1．试确定下列求积公式中的待定系数，指出其所具有的代数精度。

① 2''

0()[(0)()][(0)()]2h h f x dx f f h h f f h ≈++-⎰α；

② 101()()(0)();h

h f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰

解：①分别将()1,f x x =代入求积公式，易知求积公式精确成立，

代入2()f x x =，令求积公式精确成立，于是有3

33232h h h α===-左右，可得1

12α=，

代入3()f x x =，于是4

4h =左，4

4

4

,244h h h =-==右左右，求积公式成立，

代入4()f x x =，55h =左，544

,236h h h =-=≠右左右，求积公式不精确成立，

综合以上可知，该求积公式具有三次代数精度。

②将21(),,f x x x =分别代入求积公式，令求积公式成立，则有

0120222

02202

3()()A A A h

h A A h A A h ⎧++=⎪⎪⎪--=⎨⎪⎪⎪+=⎩ 从而解得02114

,A A h A h ===，所求公式至少具有两次代数精度，且进一步有

333()33

h h h h x dx h h -=-+⎰ ， 444()33h h h h x dx h h -≠-+⎰ 从而原积分公式4()()(0)()333

h

h h h h f x dx f h f f h -≈-++⎰具有三次代数精确度。 2．利用梯形公式和Simpson 公式求积分21ln xdx ⎰的近似值，并估计两种方法计算值的最大

误差限。 解：由梯形公式21ln2()(()())(ln1ln2)0.3466222

b a T f f a f b --=+=+=≈ 最大误差限为：3

''2()1111()()10.0833((1,2))12121212

T b a R f f ξξξ-=-=≤∙=≈∈ 由Simpson 公式13()()4()ln14ln ln 20.38586262b a a b S f f a f f b ⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫=++=++≈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

最大误差限为：5

(4)4()161()()60.0021((1,2))288028802880

S b a R f f ηηη-=-=≤∙≈∈。 3．求系数123,,A A A 使求积公式

1

123111()(1)()()233f x dx A f A f A f -≈-+-+≤⎰对于次数的一切多项式都精确成立

答案： 123123123123111122

0339931/203/2A A A A A A A A A A A A ++=--+=++====

4．试求使求积公式的代数精度尽量高，并求其代数精度。

Answer 由

精确成立得等式对32,,,1)(x x x x f = ⎩⎨⎧=+=+132132222121x x x x 解此方程组得

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=1562356121x x 又当3)(x x f =时 左边≠右边

∴ 此公式的代数精度为2

5．确定求积公式 )5.0()()5.0()(11

1Cf x Bf Af dx x f ++-≈⎰- 的待定参数，使其

代数精度尽量高，并确定其代数精度.

Answer 假设公式对

精确成立则有32,,,1)(x x x x f = ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=++=++-=++0125.0125.03225.025.005.005231211C Bx A C Bx A C Bx A C B A

解此方程组得

32,34-===B C A 求积

[]时当411)(,)5.0(4)0(2)5.0(431)(x x f f f f dx x f =+--≈⎰-，

左边=52 右边=61

左边≠右边

3代数精度为

∴ 6． 确定求积公式

012()()(0)()h

h f x dx A f h A f A f h -≈-++⎰。

中待定参数i A 的值(0,1,2)i =，使求积公式的代数精度尽量高；并指出此时求积公式的代数精度。

解：分别将2()1,,f x x x =，代入求积公式，可得

02114,33A A h A h ===。

令3()f x x =时求积公式成立，而4()f x x =时公式不成立，从而精度为3。