第十章 强度理论(习题解答)
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10-4 求图示应力状态的第三、四强度理论的相当应力。
解：（1）由单元体可知：z 面为主面60MPa z σ=。100MPa =15MPa =-20MPa x x y στσ=，， (3) 求梁的主应力及主平面方位角：
max min 1002022101.85
4061.85()
21.85
x y MPa σσσσ+⎫-=±=±⎬⎭⎧=±=⎨
-⎩故，123101.85MPa,
60MPa,21.85MPa σσσ===-
（2）第三强度理论相当应力
313101.85(21.85)123.7MPa r σσσ=-=--=
（3）第四强度理论相当应力
4108.98MPa r σ=
=
=
10-7图示简支梁为焊接工字钢，（1）试校核梁内的最大正应力和。（2）试校核最大剪应力强度。（3）试分别用第三、第四强度理论校核钢梁的强度。
M kN ·m)
64
+
V kN)
(c )
(b)
解：(1)外力分析，判变形：求支反力Y A =160kN （↑）， Y B =40 kN （↑）
梁发生平面弯曲，中性轴过形心沿水平方向。 (2)内力分析及应力分析，画内力图如图所示。 ①剪应力强度危险面于梁的左段各横截面，
V max =160kN ，危险面的中性轴上各点是剪应力强度的危险点。
②正应力强度危险面于集中力处截面max 64M =⋅kN m ,跨中截面的上下边缘点是正应力强度的危险点。
③按第三、四强度理论，集中力处C 的左截面也可能是危险面，C 的左截面腹板和翼板的交界处为强度理论的危险点。
（3）求截面的几何性质：
33
6512030055.5270287.9108.79101212
z I -⨯⨯=-⨯=⨯=⨯44
mm m
4,300
12015(7.5)256500 2.565102z a S *-=⨯⨯-==⨯33mm m 4,300135
12015(7.5)1359338512.5 3.3851022
z S *-=⨯⨯-+⨯⨯==⨯半
33
mm m m mm 135.0135==a y
(4)对梁进行正应力校核
[]3
max max 5
64100.150109.21608.7910b z
M y I σσ-⨯=
⋅=⨯==⨯Pa MPa 故，满足正应力强度。 （5）对梁进行剪应力强度校核 []34,max max 5 16010 3.38510()(8.7910)0.00968.46100z z V S I b ττ*--⋅⨯⨯⨯= =⨯⨯=<=Pa (MPa)(MPa) 故，剪应力强度足够。 （6）按第三、四强度理论对梁进行强度校核 3 5 34 53 64100.13598.298.791016010 2.56510 51.878.7910910c a a z za a z M y I V S I b στ-* ---⨯=⋅=⨯=⨯⋅⨯⨯⨯= ==⋅⨯⨯⨯Pa MPa Pa MPa []4133.16()160r MPa MPa σσ===<= 故，梁的强度满足强度理论。 10-10 有一受纯扭的圆杆，在30kN·m 扭转力偶矩作用下屈服。若同样的圆杆受到18kN·m 扭转力偶矩作用的同时受到弯曲力偶矩M 的作用，试按第三、四强度理论确定圆杆屈服时的M 值。 解：（1）两种情况具有相同的危险程度—屈服，则相当应力应该相同。 （2）圆杆纯扭时： ①横截面上距圆心最远的圆周边缘点扭转剪应力最大，最先屈服，是危险点： 1102x x t z T T W W στ== =， ②求第三、四强度理论的相当应力 3123220r z x z T W W στ=⨯ === 142r z z x T W W σ==== （3）弯扭组合变形时： ①设弯曲力偶矩在纵向对称面内，则横截面上距水平中性轴最远的上下边缘点扭转剪应力和弯曲正应力同时到达最大，最先屈服，是组合变形的危险点： 222x x t t z T T M W W W στ= ==， ②求第三、四强度理论的相当应力 '3r z z W σ==== ' 4r z z W σ==== （3）按第三、四强度理论确定圆杆屈服时的M 值 ①按第三强度理论确定圆杆屈服时的M 值。令 ' 33 =2304r z r z W M σσ=→=→⋅kN m ②按第四强度理论确定圆杆屈服时的M 值。令 ' 44 =20.78kN =m z r r z M W W σσ=→→⋅ 10-11 图示工字钢截面简支梁，许用应力为[σ]=170MPa ，[τ]=100MPa 。试校核梁的强度。 解：(1)求支反力R A =710KN=R B (2)画内力图如图所示。剪应力强度危险面于A 支座的右截面、B 支座的左截面，Q max =710kN,危险点于两危险面的中性轴上各点。 正应力强度危险面于跨中截面M max =870kN ·m,危险点于跨中截面的上下边缘点。按第四强度理论C 、D 两截面也可能是危险面Q C -= Q D +=670 KN ，M C -= M D +=690 KN ·m 。 M kN V 题10-11图 （3）求截面的几何性质