利用观测器构成的状态反馈系统

xˆ& GC
A
GC
BK
xˆ
B
v
y C
0
x xˆ
(5-50)
2. 组合系统的可控性
将(5-50) 式的动态方程进行如下的坐标变换
x x%
I I
0 x
I
xˆ
I 0
P I
I
P1
I I
0
I
变换后，所得到的动态方程为
x& x%&
A
BK 0
y C
0
x x%
其中，x% x xˆ。
因此，若系统是可控、可观的，则可按闭环极点 配置的需要选择反馈增益阵K，然后按观测器的动态 要求选择G，G的选择并不影响已配置好的闭环传递函 数的极点。
同样，可以证明，用降维观测器来实现状态反馈 时分离特性仍成立。
通常把反馈增益阵和观测器一起称为控制器，这一 控制器的输入是对象(A, B, C )的输入信号和输出信号， 控制器的输出是状态估计值的线性函数，它作为反馈 信号构成闭环控制，如图所示。
观测器的引入不改变原系统的转递函数阵。
3.分离性原理
从(5-51)式可知，这时闭环系统矩阵的特征式可 计算如下
det
sI2n
A
BK 0
BK A GC
det[sIn (A BK)]det[sIn (A GC)]
上式表明：状态反馈系统的动态特性和观测器的动态 特性是相互独立的。这一特性的意义在于：
Rel i (A GC) (2 3) Rel i (A BK)
事实上，若观测器的极点的实部与系统所要配置的
实部相差不大，则观测器状态 xˆ 接近于对象状态x 的速度就慢，用 xˆ 代替x的效果自然就不好。
5.设计举例
1 0 0
1 0
A
0
0
1 1 , B 0 1 ,
0 1
0 1
1 0 0 C 0 1 1
14
利用(5-46) 可得
xˆ
w
C11C2 In q
z
C11(Iq
C2G2
)
y
G2
0 1 0
1z g1
1
g2
y
1 g1 g2
1 0 0 C 0 1 1
观测器的引入不影响由状态反馈阵K所配置的极点
{l i (A BK),i 1, 2,L ,n}
也不影响设计好的观测器的特征值
{l i (A GC),i 1, 2,L ,n}
分离性原理：若系统(A, B, C)可控、可观，对于 包含观测器的状态反馈系统，状态反馈律的设 计和观测器的设计可独立地分开进行——分离 性原理。
G2 [g1 g2 ],y : [y1 y2 ]T , u [u1 u2 ]T
利用(5-45) 可得一阶状态观测器为：
z& (A22 G2A12 )z (B2 G2B1)u [(A21 G2A11) (A22 G2A12 )G2 ]y (1 g2 )z g1u1 (1 2g2u2 ) (2g1 g1g2 )y1 g22y2
二、包括观测器的状态反馈系统的特性
1.组合系统的维数 组合系统：
x& Ax BKxˆ Bv , y Cx xˆ& (A GC BK)xˆ Gy Bv
(S-1) (S-2)
图5-5所示的闭环系统是一个 2n 维的系统。根据(S-1) 式和(S-2)式可得到闭环的动态方程式为
x& A
BK x B
因此，bK1
BLK1
K
LK1
0 0
12 12
5 5
即若状态可测量（但实际上不可测量），经状态反馈后的 系统为：
x&（A BK)x Bv （A BLK1 )x Bv
注：以上设计步骤事实上是按照第五章静态输出反 馈中所介绍的算法进行的。但由于A阵已是循环阵， 故设计中的第一步被省略了。
2). 根据分离性原理，再单独设计降维观测器。
要用状态反馈将系统的特征值配置到{ 1, 2, 3}， 并且用降维观测器来实现所需要的反馈。
根据分离性原理，设计可分两部分进行。
1).设计状态反馈阵K，使极点配置在{ 1, 2, 3}
显然， A是循环阵，故由推论5-2，取
1
b 1 BL Im B, 1
L
1 1
则可验证(A, b)可控。考虑单输入系统：
由对象、观测器和状态反馈组合而成的闭环系 统的方块图,如下图所示。
v
u x Ax Bu
y
y Cx
观测器 xˆ
K
此时，u=Kxˆ v，闭环系统为组合系统：
x& Ax Bu Ax BKxˆ Bv xˆ& (A GC)xˆ Gy Bu (A GC BK)xˆ Gy Bv y Cx
x& Ax bv, y Cx
利用状态变换 x Px，将上述方程化为可控标准 形：
0 1 0 0
1 2 3
x&
0
1
0 1
1 x 0v, 1 1
P
1 4
1 1
2 2
1 1
由{ 1, 2, 3}可得期望的闭环极点多项式为
s3 6s2 11s 6
解得K1 [5 12 7] K1 K1P=[0 12 5]
v
u x Ax Bu
y
y Cx
观测器 xˆ
k xˆ
K
控制器
由对象的输入经过观测器形成一个反馈信号，
另一反馈信号由对象的输出经过观测器所形成, 这种结构称为输入、输出反馈结构，是动态补偿 器的一种形式。
4.含观测器的状态反馈系统的缺点
一般说来，包含观测器的状态反馈系统在鲁 棒性上较直接状态反馈系统来得差（可参见 J.C. Doyle and G. Stein, Robustness with observers, IEEE AC, 1979, No.4)。通常，应使观测器的特征值的负 实部是A+BK的2到3倍，即
BK A GC
x x%
B
0
v
可控性分解
(5-51)
注意到上式是可控性分解的形式，不可控部分 A GC （这说明观测器的所有模态均是不可控的模态） 在传递函数的计算过程中将被消去，闭环系统的传递 函数由可控部分决定，所以可得
G f (s) C[sI (A BK)]1B
这说明用 xˆ代替 x 作反馈未影响系统的输入输出关系， 也即：
由例5-10，
1 0 0
1 0 0
T 0 1 1 , T1 0 1 1
0 0 1
0 0 1
1 0 0
1 0
A
0
0
1 0
1 , 1
B 0 0
2 , 1
C
1 0
0 1
0 0
13
1
A11
0
0 1
0 A12 1
A21 0
0
A22 1
1 B1 0
0 2
B2 0
1
令
1Hale Waihona Puke Baidu0
0
C1 0 1 C2 0