常用统计分布

记为

2 n
~
2 (n).
随机变量
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2 n
也称为 2 变量.
自由度:独立变量的个数 n
(2) 2 的概率密度
p( x)

n 22
1 (
n)
n 1 x
x2 e 2
2
0
x0 其它
2 (n)分布的概率密度曲线如图.
(3) 2 分布的性质
性质1 ( 2 分布的可加性) 设 Y1 ~ 2(n1), Y2 ~ 2(n2 ), 并且 Y1, Y2 独
若

2 n
~
2(n),
则 E(n2 )
n,
D(n2 ) 2n.
性质3
设
2 n
~
2(n),则对任意x,有
lim
P{

2 n

n

x}

x
n
2n

1
e

t2 2
dt
2
即 2分布的极限分布是正态分布,也即,当n很大时

2 n

n
2n
近
似
服
从N
(0,1).进
而
2 n
近似
y
1
特例： 1) N (0,1)：u1 u



x
O

x
x
2) t(n) : t1 (n) t (n)
1) 正态分布的上侧分位数u：
设 X 服从标准正态分布 N (0,1),
分位数 u 满足 P{ X u }
1


e

x2 2
dx
2π u
则其上侧
第五章
第二节 常用统计分布
一、常见分布 二、概率分布的分位数 三、内容小结
一.常见分布
• (1) 2 分布
定义5.6 :设随机变量 X1, X2 , X n 独立同分布,且每个
Xi ~ N (0,1), 则称随机变量
n

2 n

X
2 1

X
2 2

X
2 n

X
2 i
i 1
所服从的分布为自由度为 n 的 2 分布.
若存在x ,使
P{ X x } 则称x为X的分布的上侧分位数.
2. 常用分布的上侧分位数记号
分布 N(0,1) 记号 u
2(n) t(n) F(n1,n2) 2 (n) t (n) F (n1, n2 )
3. 查表法
(1) 若X的分布密度关于y轴对称，则
x1 x
根据正态分布的对称性知
u1 u .
2) t 分布的上侧分位数 t (n)
对于给定的 , 0 1, 称满足条件

P{t t (n)}
h(t)dt
t (n)
的点 t (n) 为 t(n) 分布的上 分位点.
可以通过查表求
得上分位点的值.
由分布的对称性知
其中 n1 称为第一自由度, n2 称为第二自由度.
(2) F(n1, n2)分布的概率密度为

( y)






n1

n2

n1
n1
2
n1 1
y2
2 n2
n1 n2

n1 2



n2 2

1


n1 y n2
t1 (n) t (n). 当n 45时, t (n) u .
t0.05(10) 1.8125, 附表3-1 t0.025(15) 2.1315. 附表3-2
在Matlab中求解
(2) 若X的分布密度无对称性，
1) 2 (n) : 对于给定的正数 , 0 1, 称满足
立, 则 Y1 Y2 ~ 2(n1 n2 ).
(此性质可以推广到多个随机变量的情形)
设 Yi ~ 2(ni ), 并且 Yi (i 1, 2,, m) 相互
m
独立, 则 Yi ~ 2(n1 n2 nm ).
i 1
性质2 ( 2分布的数学期望和方差)


n
2
1
πn n
1

t2 n
n1
2
,
2
t分布的概率密度曲线如图
显然图形是关于
t 0对称的.
当n充分大时, 其图 形类似于标准正态 变量概率密度的图 形.
t
因为lim h(t)
1
t2
e 2,
n
2π
所以当n足够大时t分布近似于N (0,1)分布,
但对于较小的n, t分布与N (0,1)分布相差很大.
(3) T的数字特征 E(T ) 0, D(T ) n n2
(n 2)
3. F分布
(1)定义5.8 设 X ~ 2(n1), Y ~ 2(n2 ), 且X , Y 独立,
则称随机变量 F X / n1 Y / n2
服从自由度为 (n1, n2 ) 的 F 分布，记为 F ~ F (n1, n2 ).
1 P{ X u } 1 (u )
即 (u ) 1 给定 ,由附表2可查得u的值.
u0.05 1.645,
(u ) 1
附表2-1 0.95
( 0.05)
u0.025 1.96,
附表2-2 0.975 ( 0.025)

2
,
y0
0,
其它
F分布的概率密度 曲线如图
(3) F分布有以下性质
1) 若F ~ F (n1, n2 ),
则1 F
~
F (n2,
n1 ).
2)
E(F ) n2 , n2 2
(n2 2),
D(F ) 2n22 (n1 n2 2) , n1(n2 2)2 (n2 4)
(n2 4)
3) 设F ~ F (n1, n2 ),则当n2 4时,对任意x有
lim P{F E(F ) x} x
1
e

t2 2
dt
n1
D(F )
2
这说明F分布极限分布也是正态分布.
二、概率分布的分位数
1. 定义
定义5.9 对于总体X和给定的 (0 1),
~
N
(n,2n).
2. t 分布
(1)定义5.7 设 X ~ N (0, 1), Y ~ 2(n), 且 X , Y
独立,则称随机变量 T X Y /n
服从自由度为n的 t 分布, 记为T ~ t(n).
t 分布又称学生氏(Student)分布.
(2) t(n) 分布的概率密度函数为
h(t)
P{ 2 2 (n)}

2 (n) p( y)dy
的点 2 (n) 为 2(n) 分布的上侧分位数.
当n 60时，可查表4 (表4只详列到 n=60 为止).