重积分练习题答案

重积分部分练习题

1．计算()

⎰⎰⎰Ω+=dxdydz y x I 22，其中Ω是由曲线⎩⎨⎧==022x z y 绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面2=z ，8=z 所围的立体。

2.一均匀物体(密度ρ为常量)占有的闭区域Ω是由曲面22y x z +=和平面0=z ，a x =||，a y =||所围成的。

(1) 求其体积；(2) 求物体的重心；(3) 求物体关于z 轴的转动质量。

3．设()y x f ,连续，且()()⎰⎰+=D dudv v u yf x y x f ,,，其中D 是由x

y 1=

，1=x ，2=y 所围区域，求()y x f ,。

4．设()()⎰⎰⎰≤++++=

2222222t z y x dxdydz z y x f t F ，其中()u f 为连续函数，()0f '存在，

且()00=f ，()10='f ，求()50

lim t t F t →。 5.求锥面22y x z +=被柱面x z 22=所割下部分的曲面面积。

6.设半径为R 的球面∑的球心在定球面)0(2222>=++a a z y x 上,问当R 取何值时,球面∑在定球面内部的那部分面积最大?

7.设有一半径为R 的球体，0P 是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到0P 的距离的平方成正比（比例常数k>0），求球体的重心。

8.计算下列二重积分:

(1)

24212sin

sin 22x

x x I dx dy dx dy y y ππ=+⎰⎰;

(2) ⎰⎰--=D

d y x I σ221, 其中:1,1D x y ≤≤.

（3）计算2||,:11,01D

y x dxdy D x y --≤≤≤≤⎰⎰.

（4）⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+=D

d y f x x f y y x I σ221,其中 (){}

222,D x y x y R =

+≤。

9. 求极限4/2

/)(2/00221lim x x t du u t x x e e dt ---→-⎰⎰+ .

10. 设Ω是曲面与 所围成的立体，求Ω的体积V 与表面积S 。

11.求圆柱面22x y ay +=界于平面0z =

及锥面az =0,0a h >>之间的曲面的面积。

参考答案：

1、336π；

2、（1）48

3a ρ；（2）270,0,15a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）611245a ρ；3、1(,)2

f x y x y =+； 4、45

π；5

；6、43R a =；7、提示将球心定为原点，而令),0,0(0R p -=，则球面方程为2222R z y x =++，重心为)4,0,0(R 。；8、（1）242(1)ππ+；（2）24(1ln 2)33

π+-；（3）1115；（4）0；提示：利用极坐标且f f f y x x y θ∂∂∂-=∂∂∂。9、12

；提示利用变量替换。10

、()

5,166V S ππ=

=+；11、2ah ；

曲线、曲面积分练习题

（一）直接计算对弧长的曲线积分

1填空题

(1)设L 为椭圆22

143

x y +=，其周长记为a ，则22(234)___L xy x y ds ++=⎰； (2)设平面曲线L

为下半圆周y =则曲线积分22()___L

x y ds +=⎰. (3)设L 为右半单位圆周221,0x y x +=≥，则___L

y ds =⎰. 2

计算曲线积分C ⎰

，其中C 是圆周222x y R +=与直线0,0x y ==，在第一象限部分所围区域的边界. 3

计算曲线积分⎰

,其中L 为摆线(sin ),(1cos )x a t t y a t =-=-的第一拱. 4计算222(),L x y z ds ++⎰其中L 是点(1,1,2)-到点(2,1,3)的直线段

.

z =222z x y =--

5计算222L y ds x y z ++⎰，其中L 为曲线22222242,

x y z a x y ax ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩ 0,0.z a ≥> 6计算2

,L z ds ⎰其中2222

:0,x y z R L x y z ⎧++=⎨++=⎩ 0.R > （二）直接计算对坐标的曲线积分

7填空题:

(1)设L 为椭圆22

221x y a b

+=的上半部分，沿逆时针方向，则()()___.L

x y dx x y dy +--=⎰ (2)设L 为由(0,1)A -到(1,0)B ，再到(0,1)C 的折线段，则||||L dx dy x y +=+⎰ . 8计算()(1sin )L

x y dx x dy π+++⎰，其中L 是从(0,1)A 沿折线21y x =-到B(2,3). 9 计算xyzdz Γ

⎰,其中Γ是用平面y z =截球面2221x y z ++=所得的截痕，从z 轴的正向看去，沿逆时针方向.

参考答案:

1、（1）12a ；（2）π；（3）2；

2、222R R e π⎛⎫+- ⎪⎝

⎭；3、32a ；4、5、

()

2

13；6、323R π；7、（1）ab π-；（2）2；8、1342π-；9；