大学物理 第一章 质点运动学

参考书目
1. 陈国庆、陈健等． 大学物理学习指导. 苏州: 苏州大学出版社，2001
2. 张三惠.大学物理学. 北京: 清华大学出版社，1991
3. 张礼.近代物理学进展. 北京: 清华大学出版社，1997
第一章 质点运动学
§1.1 质点运动的描述 §1.2 圆周运动 §1.3 相对运动
作业
1-6; 1-9; 1-11 1-13；1-18; 1-25
vx

dx dt
vy

dy dt
vz

dz dt
ax

dv x dt
ay

dv y dt
az

dv z dt
r x2 y2 z2


2 x


2 y


2 z
a
a
2 x

a
2 y

a
2 z

di dt

dj dt

dk dt
0
三个直线运动的合成
分量可正可负
讨论 一运动质点在某瞬
2) av 平均速率
A s
r(t) r B O O r(t+t)
3) 瞬时速度：大小 = 瞬时速率 方向：切线向前
v
ds dt
et ,
v
ds dt
d s d r
三. 加速度
速度增量 (t t) (t)

平均加速度
aav

v t
(t )
时位于位矢 r(x, y) 的
y
y
端点处，其速率为
（A）
dr dt
（B）dr o dt
r(t)
x
x
（C）d r dt
（D）
( dx ) 2 dt

(dy )2 dt
注意
dr dr dt dt
例1
质点运动方程
r(t
)

(t

2)
i
(0.25
t
2

2)
j
(SI)
(1) 求 t=3s 时的速度；(2) 作轨迹图．
en ,
a2

at2

a
2 n
R
➢ 切向加速度
d a at dt
可正可负，表征速度大小的变化
➢ 法向加速度
2
an R
a2 at2
en
et
a
an
at
指向曲率圆圆心，表征速度方向的变化
a与的夹角 [0, ],
tan an
at
➢ 应用于圆周运动


2
R
er
横向 向心 加速度 加速度
e er

x
二.自然坐标系
速度方向对路程 s 的微分

et

dr ds

速度方向

微分几何 d et en
ds R
R : 轨道曲率半径
P点曲率圆
R
A
P
en
et
en
:
单位法向量；指向曲率圆的圆心

自然坐标系
et (s), en (s)
速度：(t
)


(t
)
et
[
s(t
)],
加速度：a
d
dt
et

(t)

d et
dt
ds dt
at et

an
en


det d et ds en
dt ds dt R
法向加速度 an 2 / R

R en
et
a at
et
an
t/s
v0 /10 000 9.2
9.999 0
例4：忽略空气阻力的斜抛运动
以抛出点为原点，建坐标系
a
g
j 为常矢量
y0
(t ) 0
t adt
0
矢量
α
O
x
r (t )

0t(t )dt
积分
(t )

0

a
t
r(t )

0t

1 2
a
d e er d
几何推导
d
e

er
d ,
d er e d ,
r Rer
y

速度

dr dt

R
e
R
o
速度沿圆周切向， R | |

加速度
d

a dt R ( e
d


de
)
dt dt
a

R

e
t2
a, 0 决定运动平面 a// 0 匀变速直线运动
分量 x 0 cos
形式 x (0 cos ) t
y 0 sin gt
y

(0
sin
)t

1 2
gt
2
轨迹方程
y

x tan α
g
2v02 cos2
x2
y
空气中路径
v0
真空中路径
射程 d0 (v02 / g)sin 2
(
yB

yA) j
(zB

zA)k
r r(t t) r(t)
x
2 B

y
2 B

z
2 B

x
2 A

y
2 A

z
2 A
位移的大小 | r| ( xB xA )2 ( yB yA )2 (zB zA )2
路程 (path) s AB
单位
(2) 运动方程 x t 2，y 0.25 t 2 2，
利用 t = x-2, 消去参数 t 得轨迹方程
y 0.25x2 x 3
轨迹图
y/m
t 4s 6
t 4s
t 2s 4 t 0
2
t 2s
x/m
-6 -4 -2 0 2 4 6
例2 长 l 的刚性杆 AB， A 以匀速率υ向左滑行, 当α=60°时, υB =？
a
dv dt
矢量积分关系

r (t ) r0
t(t )dt
0
a r
(t ) 0
t a(t )dt
0
运动学 基本 关系式
四. 质点运动的直角坐标描述
矢量方程的分量形式 v ddrt ,
a
dv dt
坐标系的选取：
简洁、方便、抓住实质
曲率半径 ≡ R
| | R
an

2
R
2R
et
en er
o
(t)
参考方向
R
at

d
dt


R
(正转取正号，反转取负号)
匀速率圆周运动
2
a R
en
匀变速率运动
at
Βιβλιοθήκη Baidu

d
dt
为常数


ds dt
速率 (t) 0 at t 0
路程
s(t )

vB
vA t
23. 3m/s 2
A
vB 2192km/h vA 1940km/h
an vB2 / R 106 m/s 2
可正可负
单位矢量的微分
e (t t)

e (t) er (t)

位矢
r

R er
径向：er
cos
i
sin
j
横向：e

sin
i
cos
j
R
(t)
o

e
e (t)
e (t t)

x
微分
der e d
研究运动与相互作用之间的关系
➢ 静力学(statics) 研究物体在相互作用下的平衡问题
基础：质点力学 普遍思路：质点 质点系 三种力学：经典、相对论、量子
一.运动方程
运动具有相对性
参考系 z
空间：直角坐标系 Oxyz z(t)
质点位置：P( x, y, z)
时间 t ：用同步钟指示
运动方程： x x(t)
(t t)
瞬时加速度

v
dv
a lim t0 t
dt
指向曲线的凹侧
z (t )
A
r(t
)
r(t

B
t )
(t

t
)
O
y
x
运动学基本关系
在 t 时刻，描述运动的物理量： r a
三者之间的关系：
矢量微分关系
r a
v

dr dt
时间后可认为小球已停止运动；
(2)在停止运动前经历的路程 =？
o
解：已知 a y (t) (t), y (t) (t) 0
ay

d y
dt
d
dt
vv0
y
v(t ) d t
dt
v0
0
v(t) v0 et
v(t ) v0 et ,
d
dt

d 2
dt 2
负
匀变速圆周运动
角加速度 为常数
d dt d dt
d d / dt d d / dt
(t) 0 t

(t
)

0

0
t

1 2

t
2

2


2 0

2
(

0
)
对比匀变速直线运动： , , x, x , ax
v ds dt
s(t) ds 0
t
0 v0 etdt
s(t) 10（1 et） t 9.2 s, v 0, y 10 m
v/m s-1 v0
y/m
10
O
v
t/s
y/m
t/s O
v0/10 v0/100 v0 /1 000
2.3
4.6
6.9
8.997 4 9.899 5 9.989 9
最大射程 d0m v02 g

o
d d0
x
实际射程小于最大射程
§1.2 圆周运动
y
一.极坐标描述

R
(t) x
O
x R cos
y R sin
路程 s R | | ?
角位移 (单位：rad)
(t t)(t)
角速度 d
dt
可 正
角加速度
可


解：已知 x(t ) t 2， y(t) 0.25 t 2 2，
vx

dx dt

1，v y

dy dt

0.5t
(1)
t=3s
时
v
i
1.5 j m/s
v
i
0.5
t
j
矢量写法
速率 v 1.8m s1
υ与 x 轴夹角 arctan y 56.3o x
常用：直角坐标、柱面坐标、自然坐标
矢量微分 链式法则



d( A) d A d A
d( A B) d A B A d B
直角坐标描述
r
x
i
y
j
z
k
x

i y

j z
k
a ax i ay j az k
一般情况下
r
AB s
A s
r(t) r B
O
r(t+t)
平均速度
av

r t
平均速率


s t

瞬时速度


lim
t0
r t

d r dt
(矢量微分)
瞬时速率


lim
t 0
s t

ds dt
(标量微分)
讨论
1) 位矢与参考点有关， 位移与参考点无关

O

y(t)
大小：r x2 y2 z2
x(t)
x
P0
y
方向：夹角αβγ
轨迹方程：消去 t 后坐标 x, y, z 满足的方程
二.位移、速度
A

位移

r
r(t


t)
r (t)
r(t) r B
Δ= 后值 − 前值
O
r(t+t)
r
( xB

xA)i
质点位置随 y y(t) 时间的变化 z z(t)
O
x(t)
x
P(t)
y(t) y
P0
矢量运算
B
D AB
➢ 加法： 法则； 法则

B

DAB
➢ 数乘：标量 * 矢量
B

单位矢量 ➢ 点积：
eA
A A

A
大小：|
A |
A
方向：eA
总目录 (上册)
第01章 质点运动学 第02章 牛顿定律 第03章 动量守恒定律和能量守恒定律 第05章 静电场 第06章 静电场中的导体 第07章 恒定磁场 第08章 电磁感应
总目录 (下册)
第09章 振动 第10章 波动 第11章 光学 第12章 气体动理论 第13章 热力学基础 第14章 相对论 第15章 量子物理
A B AB cos
A2 A A
B
eA

B
在
A
上的投影
A

(B

C)

A
B

A

C
(分配律)
位置矢量 r OP
三个单位矢量 i , j , k
z
z(t) P(t)


r(t) x(t)i y(t) j z(t)k
§1.1 质点运动的描述
理想模型
形变
一般物体有形状，各部分间相对位置可变
形状不能忽略，形变可以忽略 刚体
只有质量，大小和形状可以忽略 质点
Sun
rE ~107 m rSE~1011 m
一般物体 若干质点组成 的质点系
力学研究内容
➢ 运动学(kinematics)： 描述物体的运动 ➢ 动力学(dynamics)
0
t

at 2
t2
ds ds / dt


d d / dt at

2


2 0

2at
s
特例：匀变速率直线运动、圆周运动
对匀减速运动，要求 t 0 / | at |
例 飞机从 A 经过 3 s 的匀变速率圆周运动
俯冲到
B，求
(1) aB

?
(2) sAB ?
解 (1)
at
y
y(t) B

解 选如图的坐标轴
o
aB= l
A x(t)
v x
vAx

dx dt


vBy

dy dt


物理

y 数学
y
几何关系 x2 + y2 = l2 y x x tan
y
x x y y 0
vB vBy 3
例加速3 小度球为在a液 体v中j。竖(直1)下经落过, 多初长速度 v0 10 j ，