二阶及高阶常微分方程式
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Example1,2(p73)
12
(ii) a2 – 4b = 0
相同實數根
(CASE2) λ1 = λ2 = λ = -a/2 y1 = eλx 如何判斷另一個解？ 利用降階法求取 y2 = uy1 u''y1 + u'(2y'1+ay1) + u(y''1+ay'1+by1) = 0 ∵y1 = e(-a/2)x y'1 = -a/2 e(-a/2)x =-a/2y1 2y1 + ay1 = 0
如有特定之
特解
4
線性相依(Linearly dependent)： 兩函數f、g中，一函數是另一函數的常數倍數。 g(x) = kf(x) 線性獨立(Linearly independent)： f、g 彼此不為常數倍數因數。 k1y1 + k2y2 = 0 唯有 k1= 0 及 k2 = 0 方可達成
13
∴ u〞y1 = 0
但 y1≠0 ∴u〞= 0
u = c1 x + c2
故 x 為其基底之一，y2 = uy1 =xeλx 兩基底為 e(-a/2) X ，x e(-a/2) X
y = (c1 + c2x) e(-a/2) X
Example 3.4 (p.74)
14
複數根情況
(iii) a2-4b<0 複數(共軛虛根) λ1= -a/2 +1/2 √(a2-4b) λ2= -a/2 -1/2 √(a2-4b) Example 1 (p-77) y〃+y=0 y〃= -y 發現二次微分後會變號之特性有 sinx / cosx ∴y=Asinx + Bcosx 應為其解
更進一歩 y = c1ex + c2e-x 也可為解 y'‘ - y = 0
y' = c1ex - c2e-x
y'' = c1ex + c2e-x
2
‹‹定理››對於一個齊次線性 ODE，任何任何兩個解之線性合
併乃為其解。
y=c y +c y 1 1 2 2 代入
y‘’ + py‘+gy = 0
c1(y1'' + py1' + gy1) + c2(y2'' + py2' + gy2) = 0 ◎但非齊次式或非線性則未必如此！ Example2 and Example3
7
ln ∣U∣ = -2ln∣y1∣-∫pdx = -ln∣y21e∫pdx∣
U = 1 / y21e∫pdx = 1 / y21(e-∫pdx) = u‘
U = ∫Udx = ∫(1 / y21(e-∫pdx))dx
y2 = uy1 = y1∫(1 / y21(e-∫pdx))dx
8
◎ u =y2 = uy1
3
特解之初始值問題
齊次線性二階OED y = c1y1 + c2y2 需要兩個 initial condition 來求解 y(x0) = ko , y'(x0) = k1 Example 4 通解
y=c y +c y 1 1 2 2 c 1 and c 2
其中
y
y 為基底(Basis) 及 1 2
eλx = 0
∴(λ2 + aλ + b)eλx = 0
特微分方程式
λ2 + aλ + b = 0
∴λ1 = 1/2〔-a + √(a2-4b)〕 λ2 = 1/2〔-a - √(a2-4b)〕 求得兩基底(basis) eλ1x eλ2x
11
討論 (i) a2-4b > 0
實數根
(CASE1) eλ1x 與 eλ2x 線性獨立 (λ1 = λ2 eλ1x / eλ2x = const) 通解 y = c1eλ1x + c2eλ2x
Example 7
但不等於 cnost
方可形成basis
9
常係數知齊次線性二階ODE
y'‘ + ay‘ +by = 0 with a,b = const
對於前述常係數知齊次一階ODE
y‘ + k y = 0
Test y = e
λx
y =e
-kx
代入上式(二階ODE)
基底
10
y' = λeλx y'' = λ2eλx
∴成為 basis 於條件：y1 及 y2 須為線性獨立 Example5、6
5
降階法(method of reduction of order)： 由一個已知之基底來推求另一個線性基底 y1 已知 假設 y2 = uy1
∴y'2 = u'y1 + uy' y''2 = u''y1 + 2u'y'1 + uy''1 ∴y''2 + py'2 + gy2 = 0 (u''y1 + 2u'y'1 + uy''1) + p(u'y1 + uy'1) + guy1 = 0
15
如以前述方法λ2+1=0 λ= ± √1 = ± i
基底可解為 eix 及 e-ix
16
ຫໍສະໝຸດ Baidu
Euler formula 尤拉公式
eix = 1+(i / 1!)x－( 1/ 2!)x2 －( i / 3!)x3+( 1 / 4!)x4+…… = [1－( 1/ 2!)x2+( 1 / 4!)x4－( 1 / 6!)x6+……] +[(1/ 1!)x－( 1 / 3!)x3+( 1 / 5!)x5+……] = Σ[(-1)n / (2n)! ]x2n + iΣ[(-1)n / (2n+1)! ]x2n+1 =cosx + isinx
6
改以u為主之ODE u''y1 + u'(2y'1 + py1) + u(y''1 + py'1 + gy1) = 0 u''+ u'(2y'1 + py1 / y1) = 0
假設 u' = U u'' =U‘
U‘ + (2y’1/y1 + p) U = 0 ∴ dU / U = -(2y'1/y1 + p) dx
第二章 二階及高階常微分方程式
齊次二階線性ODE
線性 y‘’ + p(x)y‘+g(x)y = r(x)
◎對於未知變數 y，其於方程式中各項係數(含其導數之係 數)值為x之方程式。 齊次 r(x) = 0 y‘’ + p(x)y‘+g(x)y = 0
1
疊加()、線性原則(Linearity) 對 y ‘‘ – y = 0 y = ex and y = e-x 均為其解 甚至 y = c1ex or y = c2e-x 亦為其解
17
e-ix = ei(-x) = cos(-x) + isin(-x) = cosx － isinx
12
(ii) a2 – 4b = 0
相同實數根
(CASE2) λ1 = λ2 = λ = -a/2 y1 = eλx 如何判斷另一個解？ 利用降階法求取 y2 = uy1 u''y1 + u'(2y'1+ay1) + u(y''1+ay'1+by1) = 0 ∵y1 = e(-a/2)x y'1 = -a/2 e(-a/2)x =-a/2y1 2y1 + ay1 = 0
如有特定之
特解
4
線性相依(Linearly dependent)： 兩函數f、g中，一函數是另一函數的常數倍數。 g(x) = kf(x) 線性獨立(Linearly independent)： f、g 彼此不為常數倍數因數。 k1y1 + k2y2 = 0 唯有 k1= 0 及 k2 = 0 方可達成
13
∴ u〞y1 = 0
但 y1≠0 ∴u〞= 0
u = c1 x + c2
故 x 為其基底之一，y2 = uy1 =xeλx 兩基底為 e(-a/2) X ，x e(-a/2) X
y = (c1 + c2x) e(-a/2) X
Example 3.4 (p.74)
14
複數根情況
(iii) a2-4b<0 複數(共軛虛根) λ1= -a/2 +1/2 √(a2-4b) λ2= -a/2 -1/2 √(a2-4b) Example 1 (p-77) y〃+y=0 y〃= -y 發現二次微分後會變號之特性有 sinx / cosx ∴y=Asinx + Bcosx 應為其解
更進一歩 y = c1ex + c2e-x 也可為解 y'‘ - y = 0
y' = c1ex - c2e-x
y'' = c1ex + c2e-x
2
‹‹定理››對於一個齊次線性 ODE，任何任何兩個解之線性合
併乃為其解。
y=c y +c y 1 1 2 2 代入
y‘’ + py‘+gy = 0
c1(y1'' + py1' + gy1) + c2(y2'' + py2' + gy2) = 0 ◎但非齊次式或非線性則未必如此！ Example2 and Example3
7
ln ∣U∣ = -2ln∣y1∣-∫pdx = -ln∣y21e∫pdx∣
U = 1 / y21e∫pdx = 1 / y21(e-∫pdx) = u‘
U = ∫Udx = ∫(1 / y21(e-∫pdx))dx
y2 = uy1 = y1∫(1 / y21(e-∫pdx))dx
8
◎ u =y2 = uy1
3
特解之初始值問題
齊次線性二階OED y = c1y1 + c2y2 需要兩個 initial condition 來求解 y(x0) = ko , y'(x0) = k1 Example 4 通解
y=c y +c y 1 1 2 2 c 1 and c 2
其中
y
y 為基底(Basis) 及 1 2
eλx = 0
∴(λ2 + aλ + b)eλx = 0
特微分方程式
λ2 + aλ + b = 0
∴λ1 = 1/2〔-a + √(a2-4b)〕 λ2 = 1/2〔-a - √(a2-4b)〕 求得兩基底(basis) eλ1x eλ2x
11
討論 (i) a2-4b > 0
實數根
(CASE1) eλ1x 與 eλ2x 線性獨立 (λ1 = λ2 eλ1x / eλ2x = const) 通解 y = c1eλ1x + c2eλ2x
Example 7
但不等於 cnost
方可形成basis
9
常係數知齊次線性二階ODE
y'‘ + ay‘ +by = 0 with a,b = const
對於前述常係數知齊次一階ODE
y‘ + k y = 0
Test y = e
λx
y =e
-kx
代入上式(二階ODE)
基底
10
y' = λeλx y'' = λ2eλx
∴成為 basis 於條件：y1 及 y2 須為線性獨立 Example5、6
5
降階法(method of reduction of order)： 由一個已知之基底來推求另一個線性基底 y1 已知 假設 y2 = uy1
∴y'2 = u'y1 + uy' y''2 = u''y1 + 2u'y'1 + uy''1 ∴y''2 + py'2 + gy2 = 0 (u''y1 + 2u'y'1 + uy''1) + p(u'y1 + uy'1) + guy1 = 0
15
如以前述方法λ2+1=0 λ= ± √1 = ± i
基底可解為 eix 及 e-ix
16
ຫໍສະໝຸດ Baidu
Euler formula 尤拉公式
eix = 1+(i / 1!)x－( 1/ 2!)x2 －( i / 3!)x3+( 1 / 4!)x4+…… = [1－( 1/ 2!)x2+( 1 / 4!)x4－( 1 / 6!)x6+……] +[(1/ 1!)x－( 1 / 3!)x3+( 1 / 5!)x5+……] = Σ[(-1)n / (2n)! ]x2n + iΣ[(-1)n / (2n+1)! ]x2n+1 =cosx + isinx
6
改以u為主之ODE u''y1 + u'(2y'1 + py1) + u(y''1 + py'1 + gy1) = 0 u''+ u'(2y'1 + py1 / y1) = 0
假設 u' = U u'' =U‘
U‘ + (2y’1/y1 + p) U = 0 ∴ dU / U = -(2y'1/y1 + p) dx
第二章 二階及高階常微分方程式
齊次二階線性ODE
線性 y‘’ + p(x)y‘+g(x)y = r(x)
◎對於未知變數 y，其於方程式中各項係數(含其導數之係 數)值為x之方程式。 齊次 r(x) = 0 y‘’ + p(x)y‘+g(x)y = 0
1
疊加()、線性原則(Linearity) 對 y ‘‘ – y = 0 y = ex and y = e-x 均為其解 甚至 y = c1ex or y = c2e-x 亦為其解
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e-ix = ei(-x) = cos(-x) + isin(-x) = cosx － isinx