拉普拉斯变换求解微分方程典型范例
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Laplace 变换在微分方程(组)求解例
引言
Laplace 变换是由复变函数积分导出的一个非常重要的积分变换,它在应用数学中占有很重要的地位,特别是在科学和工程中,有关温度、电流、热度、放射现象等方面都有广泛的应用.为了研究本文提出的各种问题,我们给出了Laplace 变换的概念以及一些性质.
Laplace 变换的定义 设函数f(x)在区间[)0+∞,上有定义,如果含参变量s 的无穷积分()+0st e f t dt ∞
-⎰对s 的某一取值围是收敛的.则称
()F s =()+0st e f t dt ∞-⎰
为函数的Laplace 变换,()f t 称为原函数,()F s 称为象函数,并记为()()L f t F s =⎡⎤⎣⎦.
性质1 (Laplace 变换存在定理)如果函数()f t 在区间[)0,+∞上逐段连续,且存在数0M >,00s ≥,使得对于一切0t ≥有0()s t f t Me <,则当0s s >时,()F s 存在.
性质2 (线性性质)设函数和满足Laplace 变换存在定理的条件,则在它们象函数定义域的共同部分上有
()()()()L f t g t L f t L g t αβαβ+=+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦
其中α和β是常数.
性质3 (原函数的微分性质)如果()f t ',()f t '',,()()n f t 均满足Laplace 变换存在定理的条件,则
()()()0L f t sL f t f '=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
或更一般地,有
()()()()()()()112000n n n n n L f t s L f t s f s f f ---⎡⎤'=----⎡⎤⎣⎦⎣⎦.
性质4 (象函数的微分性质)如果()()L f t F s =⎡⎤⎣⎦,则
()()()+0st F s te f t dt L tf t ∞
-'=-=-⎡⎤⎣⎦⎰
或一般地有
()()()()()()011n n
n n st n F s t e f t dt L t f t +∞
-⎡⎤=-=-⎣⎦⎰. 主要结论及推导
对于Laplace 变换式,在积分号下对s 求导,得到
()()()0st F s t f t e dt +∞
-'=-⎰ (*)
即
()()()L t f t F s '-=⎡⎤⎣⎦
再对(*)式求导,可得
()()2L t f t F s ''⎡⎤=⎣⎦
在一般情况下,对于任一正整数n ,有
()()()1n n n
n d L f t F s ds ⎡⎤-=⎣⎦ 即
()()()1n
n
n n d L t f t L f t ds ⎡⎤=-⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 从而
()()()1n
n
n m m n d L t f t L f t ds ⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦ (1) 对性质3及(1)式,可得
()()L x t X s =⎡⎤⎣⎦
()()()0L x t sX s x '=-⎡⎤⎣⎦
()()()()200L x t s X s sx x '''=--⎡⎤⎣⎦
()()()dX s d L tx t L x t ds ds
=-=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()()()()0d d d L tx t L x t sX s x sX s ds ds ds ''=-=--=-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣
⎦ ()()X s sX s '=-+⎡⎤⎣⎦
()()()()()200d d L tx t L x t s X s sx x ds ds '''''⎡⎤=-=---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣
⎦ ()()20d s X s sx ds
⎡⎤=--⎣⎦()()()220sX s s X s x '⎡⎤=-+-⎣⎦ 1、 利用Laplace 变换求解常系数微分方程
例 1 求方程331x x x x ''''''+++=的满足初始条件()()()000x x x '''==的解.
解 对方程两端进行Laplace 变换得()()321331s s s X s s
+++= 由此得
()32331s s s X s s
+++= 把上式右端分解成分式
()()()23
11111+11X s s s s s =---++ 对上式两端各项分别求出其原函数,再求和.即得原微分方程的解为
()()2211112122
t t t t X t e te t e t t e ----=---=-++ 例 2 求微分方程322t y y y e -'''-+=满足初始条件()02y =,()01y '=-的特解.
解 设()()L y t Y s =⎡⎤⎣⎦,对微分方程两端取Laplace 变换得
()()()()()()22321
s Y s sy s y s sY s y s Y s s '⎡⎤----+=⎡⎤⎣⎦⎣⎦+ 考虑到初始条件得
()()2232271
s s Y s s s -+=
+-+ 于是 ()()()2
217
255433112132s s Y s s s s s s s --==+-+--+-+ 对上述方程两端取Laplace 逆变换,得
()()11112111711744311323
3t t t y t L Y s L L L e e e s s s -------⎡⎤⎡⎤⎡⎤==+-=+-⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥+--⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 于是得到方程的解为
()217433
t t t y t e e e ---=+- 2、 利用Laplace 变换求解常系数微分方程组
例3 求解初值问题()()2400,01dx x y
dt dy x y dt x y ⎧=+⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪==⎪⎩
的解. 解 设()()()0st X s L x t e x t dt +∞-==⎡⎤⎣⎦⎰,()()()0st Y s L y t e y t dt +∞
-==⎡⎤⎣⎦⎰ 对方程组取Laplace 变换,得到
()()()()()()()()
02+04sX s x X s Y s sY s y X s Y s -=⎧⎪⎨-=-+⎪⎩ 即
()()()()(
)()2041s X s Y s X s s Y s --=⎧⎪⎨+-=⎪⎩ 从而有