拉普拉斯变换求解微分方程典型范例

Laplace 变换在微分方程(组)求解例
引言
Laplace 变换是由复变函数积分导出的一个非常重要的积分变换，它在应用数学中占有很重要的地位，特别是在科学和工程中，有关温度、电流、热度、放射现象等方面都有广泛的应用.为了研究本文提出的各种问题，我们给出了Laplace 变换的概念以及一些性质.
Laplace 变换的定义 设函数f(x)在区间[)0+∞，上有定义，如果含参变量s 的无穷积分()+0st e f t dt ∞
-⎰对s 的某一取值围是收敛的.则称
()F s =()+0st e f t dt ∞-⎰
为函数的Laplace 变换，()f t 称为原函数，()F s 称为象函数，并记为()()L f t F s =⎡⎤⎣⎦.
性质1 (Laplace 变换存在定理)如果函数()f t 在区间[)0,+∞上逐段连续，且存在数0M >，00s ≥，使得对于一切0t ≥有0()s t f t Me <,则当0s s >时，()F s 存在.
性质2 (线性性质)设函数和满足Laplace 变换存在定理的条件，则在它们象函数定义域的共同部分上有
()()()()L f t g t L f t L g t αβαβ+=+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦
其中α和β是常数.
性质3 （原函数的微分性质）如果()f t '，()f t ''，，()()n f t 均满足Laplace 变换存在定理的条件，则
()()()0L f t sL f t f '=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
或更一般地，有
()()()()()()()112000n n n n n L f t s L f t s f s f f ---⎡⎤'=----⎡⎤⎣⎦⎣⎦.
性质4 （象函数的微分性质）如果()()L f t F s =⎡⎤⎣⎦,则
()()()+0st F s te f t dt L tf t ∞
-'=-=-⎡⎤⎣⎦⎰
或一般地有
()()()()()()011n n
n n st n F s t e f t dt L t f t +∞
-⎡⎤=-=-⎣⎦⎰. 主要结论及推导
对于Laplace 变换式，在积分号下对s 求导，得到
()()()0st F s t f t e dt +∞
-'=-⎰ （*）
即
()()()L t f t F s '-=⎡⎤⎣⎦
再对（*）式求导，可得
()()2L t f t F s ''⎡⎤=⎣⎦
在一般情况下，对于任一正整数n ，有
()()()1n n n
n d L f t F s ds ⎡⎤-=⎣⎦ 即
()()()1n
n
n n d L t f t L f t ds ⎡⎤=-⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 从而
()()()1n
n
n m m n d L t f t L f t ds ⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦ （1） 对性质3及（1）式，可得
()()L x t X s =⎡⎤⎣⎦
()()()0L x t sX s x '=-⎡⎤⎣⎦
()()()()200L x t s X s sx x '''=--⎡⎤⎣⎦
()()()dX s d L tx t L x t ds ds
=-=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()()()()0d d d L tx t L x t sX s x sX s ds ds ds ''=-=--=-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣
⎦ ()()X s sX s '=-+⎡⎤⎣⎦
()()()()()200d d L tx t L x t s X s sx x ds ds '''''⎡⎤=-=---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣
⎦ ()()20d s X s sx ds
⎡⎤=--⎣⎦()()()220sX s s X s x '⎡⎤=-+-⎣⎦ 1、 利用Laplace 变换求解常系数微分方程
例 1 求方程331x x x x ''''''+++=的满足初始条件()()()000x x x '''==的解.
解 对方程两端进行Laplace 变换得()()321331s s s X s s
+++= 由此得
()32331s s s X s s
+++= 把上式右端分解成分式
()()()23
11111+11X s s s s s =---++ 对上式两端各项分别求出其原函数，再求和.即得原微分方程的解为
()()2211112122
t t t t X t e te t e t t e ----=---=-++ 例 2 求微分方程322t y y y e -'''-+=满足初始条件()02y =,()01y '=-的特解.
解 设()()L y t Y s =⎡⎤⎣⎦，对微分方程两端取Laplace 变换得
()()()()()()22321
s Y s sy s y s sY s y s Y s s '⎡⎤----+=⎡⎤⎣⎦⎣⎦+ 考虑到初始条件得
()()2232271
s s Y s s s -+=
+-+ 于是 ()()()2
217
255433112132s s Y s s s s s s s --==+-+--+-+ 对上述方程两端取Laplace 逆变换,得
()()11112111711744311323
3t t t y t L Y s L L L e e e s s s -------⎡⎤⎡⎤⎡⎤==+-=+-⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥+--⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 于是得到方程的解为
()217433
t t t y t e e e ---=+- 2、 利用Laplace 变换求解常系数微分方程组
例3 求解初值问题()()2400,01dx x y
dt dy x y dt x y ⎧=+⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪==⎪⎩
的解. 解 设()()()0st X s L x t e x t dt +∞-==⎡⎤⎣⎦⎰，()()()0st Y s L y t e y t dt +∞
-==⎡⎤⎣⎦⎰ 对方程组取Laplace 变换，得到
()()()()()()()()
02+04sX s x X s Y s sY s y X s Y s -=⎧⎪⎨-=-+⎪⎩ 即
()()()()(
)()2041s X s Y s X s s Y s --=⎧⎪⎨+-=⎪⎩ 从而有
()()()()()22213211
333X s s s Y s s s s ⎧=⎪-⎪⎨-⎪==+⎪---⎩
对上面方程组取Laplace 逆变换，得原方程组的解为
()()333t t t x t te y t e te
⎧=⎪⎨=+⎪⎩ 例 4 求微分方程组200x y x x y '''--=⎧⎨'-=⎩
满足初始条件()()()00,01,01x x y '===的解.
解 设()()L x t X s =⎡⎤⎣⎦，()()L y t Y s =⎡
⎤⎣⎦ 对微分方程组取Laplace 变换得
()()()()()()()()()20020000
s X s sx x sY s y X s sX s x Y s ⎧'-----=⎡⎤⎪⎣⎦⎨--=⎪⎩ 考虑到初始条件得
()()()()()212100
s X s sY s sX s Y s ⎧--+=⎪⎨-=⎪⎩ 由上面方程组解得
()()22111X s s s Y s s ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
对上方程组取Laplace 逆变换得原方程组的解为
()()sin cos x t t y t t
=⎧⎪⎨=⎪⎩ 3、 利用Laplace 变换求解偏微分方程
例5 求22200||3y x u x y x y u x u y
==⎧∂=⎪∂∂⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩
()0,x y <<+∞的定解.
解 首先将定解问题取Laplace 变换，并记()(),,L u x y u s y =⎡⎤⎣⎦ 则有
0|3x u L su u su y x =∂⎡⎤=-=-⎢⎥∂⎣⎦，23u du L s x y dy ⎡⎤∂=-⎢⎥∂∂⎣⎦ 232!L x y y s ⎡⎤=⎣⎦，003
2!||y y L u u s ==⎡⎤==⎣⎦ 这样，就将原来的问题转化为含有参数的常微分方程的边值问题
303232
|y du s y dy s u s =⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
以求得其解为
()243
12,3+u s y y y s s =+ 对上式取Laplace 逆变换，得到原偏微分方程的解为
()32
2,36
x y u x y y x =++ 例6 求方程()()0,0,00
x x u xu x u t u x ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩()0,0x t >>的解.
解 对方程两端关于t 施行Laplace 变换(取s 为实数),有
()(),1,du x s s u x s dx x s +=
求解得
()()()
1,1s x u x s c s x s s =++ 由条件()0,0u t =得()0,0u s =，从而()0c s =，代入上式并应用Laplace 逆变换，有
()()()()111111111,,1111t x u x t L u x s L L x xL xL x e s s s s s s ------⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎡⎤===-=-=-⎡⎤⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥+++⎝⎭⎣⎦⎣⎦
⎣⎦⎣⎦ 4、 利用Laplace 变换求解变系数的微分方程
例7 求变系数微分方程()()2120ty t y t y '''+-+-=满足初始条件()00y =的解.
解 对方程两端同时施行Laplace 变换，利用Laplace 变换的微分性质有
()()()()()()()()20020220s Y s sy y sY s y sY s Y s Y s ''''⎡⎤--------=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 结合初始条件()00y =，化简有
()()()()221410s s Y s s Y s '++++=
解得()()41c
Y s s =+，c 为任意常数.取Laplace 逆变换，则有
()()13t y t L Y s ct e --==⎡⎤⎣⎦
例8 求解二阶变系数微分方程()()()20tx t x t tx t '''++=满足初始条件()()001,0x x c '==(0c 为常数）的解.
解 设()()L x t X s =⎡⎤⎣⎦，对方程两端取Laplace 变换，得
()()()20L tx s x t tx t '''++=⎡⎤⎣⎦
即
()()()20L tx t L x t L tx t '''++=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦
亦即
()()()()()()200200d d s X s sx x sX s x X s ds ds '⎡⎤---+--=⎡⎤⎣⎦⎣
⎦ 整理后化简可得
()()211
d X s X s ds s =-+ 而由()()0st F s f t
e dt +∞
-=⎰在积分号下对s 求导得()()()0st F s t f t e dt +∞-'=-⎰，
可知()()()dX s L t x t ds
-=
⎡⎤⎣⎦ 所以有 ()()211
L t x t s -=
⎡⎤⎣⎦+ 对上式取Laplace 逆变换得 ()()1211t x t L s -⎡⎤-=⎢
⎥+⎣⎦
即得原变系数方程的解为 ()sin t x t t
=。