广义积分教案
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第三章 一元函数积分学
三、广义积分
无限区间上的积分：
设)(x f 在],[+∞a 上连续，取a b >，则称dx x f b
a
b )(lim
⎰
+∞
→为)(x f 在],[+∞a 上的广义
积分，记为：dx x f a
)(⎰
+∞
dx x f b
a b )(lim
⎰
+∞
→=
若上述极限存在，则称广义积分dx x f a
)(⎰+∞
存在或收敛。否则称广义积分不存在或称发散。
同理可定义广义积分：
dx x f b
)(⎰
∞
-dx x f b
a
a )(lim
⎰
-∞
→=和dx x f )(⎰
+∞∞
-dx x f c )(⎰
∞
-=
dx x f c
)(⎰
+∞
+
若)(x F 是)(x f 的一个原函数
记：⎪⎩
⎪⎨⎧=-∞=+∞-∞→+∞
→)(lim )()
(lim )(x F F x F F x x
则广义积分可表示为：
dx x f a )(⎰+∞
|
)(+∞=a x F )()(a F F -+∞= dx x f b )(⎰∞-|)(b x F ∞-=)()(-∞-=F b F dx x f )(⎰
+∞∞
-|
)(+∞∞
-=x F )()(-∞-+∞=F F
例33－1、计算无穷积分：
解：dx e
x
-+∞
⎰
dx e
x
b
b -+∞
→⎰
=0lim
|
lim b x
b e
-+∞
→-=1)10()(lim 0
=--=-=-+∞
→e e
b
b
或直接利用公式：dx e
x
-+∞
⎰
1)1(0|
=--=-+∞
-x
e
例33－2、计算广义积分： ⑴、dx xe
x
2
-+∞
⎰
dx xe
x
b
b 2
lim
-+∞
→⎰
=)](2
1[lim 2
2
x d xe
x
b
b -+∞
→⎰
-
=
|
2
lim 2
1b x
b e
-+∞
→-
=2
1)(lim 2
10
2
=
--
=-+∞
→e e
b
b
⑵、dx x
x 2
1+⎰
+∞
dx x
x b
b 2
1lim
+=⎰
+∞
→2
2
1)1(lim
2
1x
x d b
b ++=
⎰
+∞
→
|0
2
)1ln(lim 2
1b
b x +=+∞
→+∞=-+=
+∞
→]1ln )1[ln(lim 2
12
b b
⑶、dx x x e
3
)
(ln 1⎰
+∞
dx x x b
e
b 3
)
(ln 1lim
⎰
+∞
→=)(ln )
(ln 1lim
3
x d x b
e
b ⎰
+∞
→=
|
2
)
(ln lim 2
1b e
b x -+∞
→-
=])
(ln )
[(ln lim 2
12
2
--+∞
→--
=e b b 2
1]10[2
1=
--
=
⑷、dx x x 2
21
2
++⎰
+∞
∞
-)1()
1(112
x d x +++=
⎰
+∞
∞
-|
)1arctan(+∞∞
-+=x
ππ
π
=-
-=
)2
(2
⑸、dx x 1
1
2
2
-⎰
+∞
|
2|11
|
ln 21+∞
+-=
x x 3ln 2
13
1ln
21
0=
-
=
例33－3、判断无穷积分dx x
1
1⎰+∞
的收敛性
解：dx x
11
⎰
+∞
dx x
b
b 1lim
1
⎰
+∞
→=|1
ln lim b
b x +∞
→=+∞==+∞
→b b ln lim 发散
例33－4、判断无穷积分xdx sin 0
⎰
+∞
的收敛性
解：xdx sin 0
⎰
+∞
+∞
→=b lim
xdx sin 0
⎰
+∞
|0
cos lim b
b x +∞
→-=)0cos (cos lim --=+∞
→b b
)cos 1(lim b b -=+∞
→
因为)cos 1(lim b b -+∞
→不存在
所以无穷积分xdx sin 0
⎰
+∞
发散
例33－5、讨论无穷积分dx x
p
a
1⎰
+∞
的收敛性（其中0>a ，0>p ）
解：当1≠p 时，dx x
p
a
1⎰
+∞
+∞
→=b lim
dx x
p
a
1⎰
+∞
|
111lim
b a
p
b x
p
-+∞
→-=
)11(
lim 11p
a
p
b
p
p
b --
-=--+∞
→
若1>p ，则01<-p 此积分收敛于p
a
p
--
-11
当1=p ，由上例（例3）可知此积分发散 当1
-P 此积分发散)(+∞
所以dx x
p
a
1⎰
+∞
⎩⎨⎧≤>>时发散
当时收敛
当11)0(p p a
特别要注意与dx x
p
11
⎰
区别：