高考理科数学第一轮专题计数原理概率与统计测试题参考答案

高考理科数学第一轮专题《计数原理、概率与统计》测试题
&参考答案
测试时间：120分钟满分：150分
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意)
1．[2016·济南教学调研]某校高一、高二、高三年级学生人数分别是400,320,280.采用分层抽样的方法抽取50人，参加学校举行的社会主义核心价值观知识竞赛，则样本中高三年级的人数是()
A．20 B．16 C．15 D．14
答案D
解析高三年级的人数是
280
400＋320＋280×50＝14(人)．故答案为D.
2．[2016·河北重点中学联考]以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)
已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为()
A．2,5 B．5,5 C．5,8 D．8,8
答案C
解析 ∵甲组数据的中位数为15， ∴x ＝5，乙组数据的平均数为16.8， ∴
9＋15＋10＋y ＋18＋24
5
＝16.8，
∴y ＝8，选C.
3．[2016·山东中学模拟]下列叙述错误的是( ) A ．若事件A 发生的概率为P (A )，则0≤P (A )≤1
B ．系统抽样是不放回抽样，每个个体被抽到的可能性相等
C ．线性回归直线y ^＝b ^x ＋a ^必过点(x －，y －
)
D ．对于任意两个事件A 和B ，都有P (A ∪B )＝P (A )＋P (B ) 答案 D
解析 对于A ，根据概率的定义可得，若事件A 发生的概率为P (A )，则0≤P (A )≤1，故A 正确；对于B ，根据系统抽样的定义得，系统抽样是不放回抽样，每个个体被抽到的可能性相等，故B 正确；对于C ，线性回归直线y ^＝b ^x ＋a ^
必过点(x －，y －
)，故C 正确；对于D ，对于任意两个事件A 和B ，P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )，只有当事件A 和B 是互斥事件时，才有P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )，故D 不正确．故选D.
4．[2016·全国卷Ⅰ]某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )
A.13
B.12
C.23
D.3
4 答案 B
解析 由题意得图：
由图得等车时间不超过10分钟的概率为1
2.
5．[2016·吉大附中一模]两枚均匀的骰子一起投掷，记事件A ＝{至少有一枚骰子6点向上}，B ＝{两枚骰子都是6点向上}，则P (B |A )＝( )
A.16
B.136
C.112
D.111 答案 D
解析 至少有一枚骰子6点向上的概率为1－56×56＝11
36，两枚骰子都是6点向上的概率为16×16＝1
36，故至少有一枚骰子6点向上的条件下，另一枚骰子也是6点向上的概率是1
361136
＝1
11.故选D.
6．[2016·全国卷Ⅱ]如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A ．24
B ．18
C ．12
D ．9 答案 B
解析 由题意可知E →F 共有6种走法，F →G 共有3种走法，由乘法计数原理知，共有6×3＝18种走法，故选B.
7．[2016·河北名校联考]菜市中心购物商场在“双11
”开展的“买三免一”
促销活动异常火爆，对当日8时至22时的销售额进行统计，以组距为2小时的频率分布直方图如图所示．已知12时至16时的销售额为90万元，则10时至12时的销售额为()
A．120万元B．100万元C．80万元D．60万元
答案D
解析该商场11月11日8时至22时的总销售额为
90
(0.100＋0.125)×2
＝200
万元，所以10时至12时的销售额为200×(0.150×2)＝60万元，故选D.
8．[2017·四川巴中质检]正月十六登高是“中国石刻艺术之乡”“中国民间文化艺术之乡”四川省巴中市沿袭千年的独特民俗．登高节前夕，李大伯在家门前的树上挂了两串喜庆彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是()
A.1
4 B.
1
3 C.
1
2 D.
3
4
答案D
解析 设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x ，y ，∴全部基本事件构成的区域为⎩⎨
⎧
0≤x ≤4，0≤y ≤4，
符合题意的区域为⎩⎨⎧
0≤x ≤4，
0≤y ≤4，
－2≤y －x ≤2，
如右图所示，由几何概型可知，所求概率为P ＝1－2×1
2×2×2
16
＝3
4，故答案
为D.
9．[2016·浙江重点高中模拟](1－x 2)4⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋1x 5
的展开式中1x 的系数为( ) A ．5 B ．11 C ．－21 D ．－29 答案 D
解析 (1－x 2)4⎝
⎛⎭
⎪⎫x ＋1x 5＝(1－x 2)4⎝ ⎛
⎭⎪⎫1＋1x 5， (1－x 2)4⎝ ⎛
⎭⎪⎫1＋1x 5的展开式中的x －1的系数是以下几部分的和；
(1－x 2)4的常数项与⎝ ⎛
⎭⎪⎫1＋1x 5的展开式中含x －1的系数的乘积；
(1－x 2)4含x 2项的系数与⎝ ⎛
⎭⎪⎫1＋1x 5的展开式中含x －3的系数的乘积；
(1－x 2)4
含x 4
项的系数与⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1＋1x 5的展开式中含x －5的系数的乘积．
∵(1－x 2)4、⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 5的展开式的通项分别为T r ＋1＝C r 4(－x 2)r ，T k ＋1＝C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎫1x k
， ∴(1－x 2)4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 5的展开式中x －1的系数为C 04C 15－C 14C 35＋C 24C 55＝－29. 10．[2016·全国卷Ⅱ]从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )
A.4n m
B.2n m
C.4m n
D.2m n 答案 C
解析 设由⎩⎨⎧
0≤x n ≤1，0≤y n ≤1构成的正方形的面积为S ，x 2
n ＋y 2n <1构成的图形的
面积为S ′，所以S ′S ＝1
4π
1＝m n ，所以π＝4m
n ，故选C.
11．[2016·河北模拟]袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为( )
A ．0.0324
B ．0.0434
C ．0.0528
D ．0.0562 答案 B
解析 第4次恰好取完所有红球有三种情形，红白白红，白红白红，白白红红，所以第4次恰好取完所有红球的概率为：210×
⎝ ⎛⎭⎪⎫9102×110＋810×210×910×1
10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫8102×2
10×110
＝0.0434，故选B. 12．[2016·武邑中学强化训练]已知⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋ax 5－⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋bx 5的展开式中含x 2与x 3的项的系数的绝对值之比为1∶6，则a 2＋b 2的最小值为( )
A ．6
B ．9
C ．12
D ．18 答案 C
解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋ax 5－⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋bx 5 的展开式中含x 2项的系数为C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3a 2－C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 3b 2
＝10(b －a )ab ，
含x 3的项的系数为C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2a 3－C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2b 3
＝10(a －b )，则由题意，得⎪⎪⎪⎪⎪
⎪10(b －a )ab |10(a －b )|＝1
6，即|ab |＝6，则a 2＋b 2＝|a |2＋|b |2≥2|ab |＝12，故选C.
第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．[2017·山西四校联考]已知随机变量ξ服从正态分布，且方程x 2＋2x ＋ξ＝0有实数解的概率为1
2，若P (ξ≤2)＝0.75，则P (0≤ξ≤2)________．
答案 0.5
解析 ∵方程x 2＋2x ＋ξ＝0有实数解的概率为1
2，
∴P (Δ≥0)＝12，即P (ξ≥1)＝1
2，故正态曲线的对称轴是x ＝1，如图，∵P (ξ≤2)＝0.75，∴P (ξ≤0)＝0.25.∴P (0≤ξ≤2)＝1－(0.25＋0.25)＝0.5.
14．[2017·河南郑州质检]在区间[0,1]内任取三个数，则这三个数的平方和小于1的概率是________．
答案 π6
解析 记这三个数分别为x ，y ，z ，则0≤x ≤1,0≤y ≤1，0≤z ≤1.在空间直角坐标系中点(x ，y ，z )构成在第一卦限的单位正方体，{(x ，y ，z )|x 2＋y 2＋z 2<1}
表示的单位球体在第一卦限的部分的体积是18×43π＝π6.故所求的概率是π
6.
15．[2016·安庆二模]将⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋4x －43展开后，常数项是________．
答案 －160
解析 展开后的通项是
C m 3C n 3－m x m ·⎝
⎛⎭
⎪⎫4x n
·(－4)3－m －n
，当m ＝n 时为常数． 于是C m 3C n 3－m x m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫4x n ·(－4)3－m －n ＝C m 3C m 3－m x m ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫4x m ·(－4)3－2m
. 若m ＝0，则(－4)3＝－64；若m ＝1，则C 13C 12·4·(－4)＝－96.
故常数项是－64－96＝－160.
或：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x －43＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫x －2x 6展开后的通项是
C k 6(x )6－k ·⎝
⎛⎭⎪⎫－2x k ＝(－2)k C k 6(x )6－2k
. 令6－2k ＝0，得k ＝3.所以常数项是C 3
6(－2)3＝－160.
16．[2017·安徽四校联考]甲与其四位朋友各有一辆私家车，车牌尾数分别是0,0,2,1,5，为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行)，五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案总数为________．
答案 64
解析 5日到9日，分别为5,6,7,8,9，有3天奇数日，2天偶数日．第一步安排奇数日出行，每天都有2种选择，共有23＝8种．第二步安排偶数日出行分两类，第一类，先选1天安排甲的车，另外一天安排其它车，有2×2＝4种．第二类不安排甲的车，每天都有2种选择，共有2×2＝4种，共计4＋4＝8种．根据分步计数原理，不同的用车方案种数共有8×8＝64种．故填64.
三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．[2016·湖北八校联考](本小题满分10分)某中学为研究学生的身体素质
与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查，如下表：(平均每天锻炼的时间单位：分钟)
将学生日均课外体育运动时间在[40,60)上的学生评价为“课外体育达标”．
(1)请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过
0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？
(2)将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该校高三学生中，抽取3名学生，记被抽取的3名学生中的“课外体育达标”学生人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的数学期望和方差．
参考公式：K2＝n(ad－bc)2
(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)
，其中n＝a＋b＋c＋d.
参考数据：
解 (1)
(3K 2
＝200×(60×20－30×90)2150×50×90×110
＝20033≈6.060<6.635，
所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关．(5分)
(2)由表中数据可得，抽到“课外体育达标”学生的频率为0.25，将频率视为概率，
∴X ～B ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫3，14，
∴E (X )＝3×14＝34，D (X )＝3×14×34＝9
16.(10分)
18．[2016·南开中学月考](本小题满分12分)某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间(单位：小时)，统计结果绘成频率分布直方图(如图)．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间[2,4]的有8人．
(1)图中a的值为________；
(2)用各组时间的组中值代替各组平均值，估算乙班学生每天学习的平均时间；
(3)从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
解(1)由频率分布直方图的性质得：(a＋0.0875＋0.1＋0.125＋0.15)×2＝1，计算得a＝0.0375.(2分)
(2)由频率分布直方图估算乙班学生每天学习的平均时长为：x＝3×0.05＋5×0.15＋7×0.35＋9×0.35＋11×0.1＝7.6(小时)．(6分)
(3)因为甲班学习时间在区间[2,4]的有8人，所以甲班的学生人数为
8 0.2＝
40(人)，故甲、乙两班人数均为40人．
所以甲班学习时间在区间(10,12]的人数为40×0.0375×2＝3(人)．
乙班学习时间在区间(10,12]的人数为40×0.05×2＝4(人)．(8分)
在两班中学习时间大于10小时的同学共7人，ξ的所有可能取值为0,1,2,3.
P(ξ＝0)＝C03C44
C47＝
1
35，P(ξ＝1)＝
C13C34
C47＝
12
35，
P(ξ＝2)＝C23C24
C47＝
18
35，P(ξ＝3)＝
C33C14
C47＝
4
35.
所以随机变量ξ的分布列为：
∴E(ξ)＝0×1
35＋1×
12
35＋2×
18
35＋3×
4
35＝
12
7.(12分)
19．[2016·云南师大附中月考](本小题满分12分)某校准备从报名的7位教师(其中男教师4人，女教师3人)中选3人去边区支教．
(1)设所选3人中女教师的人数为X，求X的分布列及数学期望；
(2)若选派的三人依次到甲、乙、丙三个地方支教，求甲地是男教师的情况下，乙地为女教师的概率．
解(1)X的所有可能取值为0,1,2,3，
且P(X＝0)＝C34
C37＝
4
35，P(X＝1)＝
C13C24
C37＝
18
35，
P(X＝2)＝C23C14
C37＝
12
35，P(X＝3)＝
C33
C37＝
1
35，
所以X的分布列为：
(6分)
故E(X)＝0×4
35＋1×
18
35＋2×
12
35＋3×
1
35＝
9
7.(8分)
(2)设事件A为“甲地是男教师”，事件B为“乙地是女教师”，
则P(A)＝C14A26
A37＝
4
7，P(AB)＝
C14C13C15
A37＝
2
7，
所以P(B|A)＝P(AB)
P(A)＝
1
2.(12分)
20．[2017·湖北黄冈期末](本小题满分12分)菜农定期使用低害杀虫农药对
蔬菜进行喷洒，以防止害虫的危害，但采集上市时蔬菜仍存有少量的残留农药，食用时需要用清水清洗干净，下表是用清水x (单位：千克)清洗该蔬菜1千克后，蔬菜上残留的农药y (单位：微克)的统计表：
(1)
(2)若用解析式y ^＝cx 2＋d 作为蔬菜农药残量y ^
与用水量x 的回归方程，令ω＝x 2
，计算平均值ω－和y －，完成以下表格，求出y ^
与x 的回归方程．(c ，d 精确到
0.1)
(3)对于某种残留在蔬菜上的农药，当它的残留量低于20微克时对人体无害，
为了放心食用该蔬菜，请估计需要用多少千克的清水清洗一千克蔬菜？(精确到0.1，参考数据5≈2.236)
(附：线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^
中系数计算公式分别为： b ^＝∑n
i ＝1 (x i －x －)(y i －y －
)(x i －x －)2，a ^＝y －－b ^x －.)
解 (1)作出散点图如下图：
由散点图可以知道变量x 与y 负相关；(3分)
(2)ω－＝1＋4＋9＋16＋255＝11，y －＝58＋54＋39＋29＋105＝38
c ＝
－10×20＋(－7)×16＋(－2)×1＋5×(－9)＋14×(－28)(－10)2＋(－7)2＋(－2)2＋52＋142
＝－
751
374＝－2.008≈－2.0，
d ＝y －－c ω－＝38＋2.0×11＝60.0，y ^
＝－2.0ω＋60.0＝－2.0x 2＋60.0.(8分) (3)当y ^
<20时，－2.0x 2＋60.0<20，x >25≈4.5
∴为了放心食用该蔬菜，估计需要用4.5千克的清水清洗一千克的蔬菜．(12分)
21．[2017·湖南长沙模拟](本小题满分12分)空气质量指数(Air Quality Index ，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染．一环保人士记录去年某地某月10天的AQI 的茎叶图(如图)．
(1)利用该样本估计该地本月空气质量优良(AQI ≤100)的天数(按这个月总共30天计算)；
(2)将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望．
解 (1)从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4，故该样本中空气质量优良的频率为610＝3
5，从而估计该月空气质量优良的天数为30×3
5＝18.(4分)
(2)由(1)估计某天空气质量优良的概率为3
5，ξ的所有可能取值为0,1,2,3.(5分) P (ξ＝0)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
253＝8125，P (ξ＝1)＝C 1335⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝36125， P (ξ＝2)＝C 23
⎝ ⎛⎭⎪⎫35225＝54
125
， P (ξ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
353＝27125，故ξ的分布列为：
(9分)
显然ξ～B ⎝ ⎛
⎭⎪⎫3，35，(11分)
E (ξ)＝3×3
5＝1.8.(12分)
22．[2017·河南质监](本小题满分12分)小李参加一种红包接龙游戏：他在红包里塞了12元，然后发给朋友A ，如果A 猜中，A 将获得红包里的所有金额；如果A 未猜中，A 将当前的红包转发给朋友B ，如果B 猜中，A 、B 平分红包里的金额；如果B 未猜中，B 将当前的红包转发给朋友C ，如果C 猜中，A 、B 和C 平分红包里的金额；如果C 未猜中，红包里的钱将退回小李的帐户，设A 、B 、C 猜中的概率分别为13，12，1
3，且A 、B 、C 是否猜中互不影响．
(1)求A 恰好获得4元的概率；
(2)设A 获得的金额为X 元，求X 的分布列；
(3)设B 获得的金额为Y 元，C 获得的金额为Z 元，判断A 所获得的金额的期望能否超过Y 的期望与Z 的期望之和．
解 (1)A 恰好获得4元的概率为23×12×13＝1
9.(2分) (2)X 的可能取值为0,4,6,12， P (X ＝4)＝19，P (X ＝0)＝23×12×23＝2
9， P (X ＝6)＝23×12＝13，P (X ＝12)＝1
3，(5分) 所以X 的分布列为：
(6分)
(3)Y 的可能取值为0,4,6；Z 的可能取值为0,4. 因为P (Y ＝0)＝13＋23×12×23＝5
9， P (Y ＝4)＝23×12×13＝1
9， P (Y ＝6)＝23×12＝1
3，(8分) P (Z ＝0)＝13＋23×12＋23×12×23＝8
9， P (Z ＝4)＝23×12×13＝1
9，(9分)
所以E (Y )＝0×59＋4×19＋6×13＝229，E (Z )＝0×89＋4×19＝4
9， 所以E (Y )＋E (Z )＝26
9，
又E(X)＝0×2
9＋4×
1
9＋6×
1
3＋12×
1
3＝
58
9，(11分)
由于E(X)>E(Y)＋E(Z)，所以A所获得的金额的期望能超过Y的期望与Z的期望之和．(12分)。