反比例函数与面积

解：（1）将A（﹣2，1）代入反比例解析式得： m=﹣2， 则反比例解析式为y=﹣ ； 将B（1，n）代入反比例解析式得：n=﹣2，即B （1，﹣2）， 将A与B坐标代入y=kx+b中，得：， 解得：， 则一次函数解析式为y=﹣x﹣1；
（2）连接OA，OB，设一次函数与x轴交于点C， 对于一次函数y=﹣x﹣1，令y=0，得到x=﹣1，即 OC=1， 则S△AOB=S△AOC+S△BOC =×1×1+×1×2=1.5．
1 2
24
4,
SONA
1 2
ON
AC
1 2
22
2.
SAOB SONB SONA 4 2 6.
探究1：反比例函数 y m 与一次函数y=kx+b交于点 A(1，8 ) 和B (4，n)， x
求：⑴这两个函数的解析式；⑵三角形⊿AOB的面积。
解：⑴ 将A(1，8 )代入 y m
中得：m=1×8=8， 故所求函数解析式为
y
8
x
∴B(4,n)
x
将A(1，8 ) 和B (4，2)代入
y
A
B
o
x
y=kx+b
k b 8 中得：4k b 2
解得：bk
2 10
先设出函数解析式，再根据 条件确定解析式中未知的系
故所求的一次函数的解析式为：数，从而具体写出这个式子
y=－2x+10
的方法，叫做待定系数法。
探究1：反比例函数 y m 与一次函数y=kx+b交于点 A(1，8 ) 和B (4，n)， x
|
1 2
|
k
|
(2)过P分别作x轴, y轴的垂线,垂足分别为A, B, 则S矩形OAPB OA AP | m | • | n || k | (如图所示).
面积性质（二）
y
y
B
P(m,n)
oA
x
B
P(m,n)
oA
x
(3)设P(m, n)关于原点的对称点是P(m,n),过P作x轴的垂线
与 过P作y轴 的 垂 线 交 于A点, 则
回顾与思考1
挑战“记忆”
你还记得一次函数的图象与性质吗?
• 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线,
称直线y=kx+b. 当k>0时,
当k<0时,
y
y
b>0
b=0
o
x
b<0
b<0
b=0
o
x
b<0
• y随x的增大而增大;
y随x的增大而减小.
反比例函数的图象和性质：
1.反比例函数的图象是双曲线;
y
C AE B
oD x
交点问题：
• 1、与坐标轴的交点问题： 无限趋近于x、y轴， 与x、y轴无交点。 • 2、与正比例函数的交点问题： 可以利用反比例函数的中心对称性。 • 3、与一次函数的交点问题： 列方程组，求公共解，即交点坐标。
2.已知如图,反比例函数 y 8 与一次函数 y x 2的图像 x
⑵解法3： 如图，过A作AC⊥x轴于点C， 过B点作BD⊥x轴于点D, CA与 DB相交于E点， 由A(1，8 ) 和 B (4，2)的坐标可知点E的坐标 为(4，8)，由性质（1）知， S⊿OAC=S⊿OBD=4， ∴S⊿OAB=S矩形ODEC －S⊿OAC－ S⊿OBD－S⊿ABE =32－4－4－9=15
一点,PD⊥x轴于D.则△POD的面积为 .
1
y
P (m,n)
oD
x
9.如图, P是反比例函数y k 图像上的一点,由P分别 x
向x轴, y轴引垂线,阴影部分面积为3,则这个反比例
函数的解析式是____ .
解:由性质(2)可得
S矩形APCO | k |,| k | 3.
y
又 图像在二 ,四象限,
解
:
(1)
y
8 x
,
y x 2.
y A
N
解得xy
4,2;或xy
2, 4.
M
O
x
B
A(2,4), B(4,2).
(2)解法一:
y x 2,当y 0时, x 2, M (2,0).
y
OM 2.
A
作AC x轴于C, BD x轴于D.
N
AC 4, BD 2,
1
1
SOMB 2 OM BD 2 2 2 2,
(1)过P作x轴的垂线,垂足为A,则 面积性质
SOAP
1 2
OA
AP
1 2
|
m
|
•
|
n
|
1 2
|
k
|
（一）
y
P(m,n)
y
oA
x
P(m,n)
oA
x
想一想
若将此题改为过P点 作y轴的垂线段,其结
论成立吗?
y
P(m,n) oA x
y A P(m,n)
o
x
SOAP
1 2
OA
AP
1 2
|
m
|
•
|
n
AB
x轴于点B, 且S ABO
3 2
,
(1)求这两个函数的解析式;
(2)求直线与双曲线的两个交点A、、 的坐标和AOC的面积.
y A
D
BO
x
C
4.(2003年海南)
如图,已知反比例函数y 12的图象与一次函数 x
y kx 4的图象相交于P,Q两点,并且P点的 纵坐标是6.
(1)求这个一次函数的解析式; y
S1
B C
S2 S3
o A1 B1 C1
x
S AOA1
1 2
|
k
|
Байду номын сангаас
1 2 , SBOB1
1 2
|k
|
1, 2
S OOC1
1 2
|
k
|
1 2
,即S1
S2
S3 , 故选A.
8.已知如图,反比例函数 y 8 与一次函数 y x 2的图像 x
交于A, B两点.求(1) A, B两点的坐标 ;(2)AOB的面积.
PC
k 3 解析式为y 3 .
x
A ox
7.如图, A,B 是函数y 1 的图像上关于原点O对称 x
的任意两点AC平行于y轴, BC平行于x轴,ΔABC的
面积为 S ,则_C__ .
y
=1
B.1<S<2
= 2解:由上述D性.S质>2(3)可知,
S△ABC = 2|k| = 2
A
o
x
B
C
6. ( 武汉市 2000年 ) 如图:A、C是函数 y
SΔPAP
1 2
|
AP
AP
|
1 2
|
2
m
|
|
2
n
|
2
|
k
|
(如
图
所
示).
面积性质（三）
y
o
P/
P(m,n)
x
A
y
o
P/
P(m,n)
x
y
o
P/
P(m,n)
x
以上几点揭示了双曲线上的点构成的几 何图形的一类性质.掌握好这些性质,对 解题十分有益.(上面图仅以P点在第一象 限为例).
y2 x
4 k y S矩形APCE=
MD
CO
x
B
SOMA
1 2
OM
AC
1 2
2
4
4.
SAOB SOMB SOAM 2 4 6.
(2)解法二:
y
A
y x 2,当x 0时, y 2, N(0,2).
C
N
ON 2.
作AC y轴于C, BD y轴于D.
OM
D
x
AC 2, BD 4,
B
SONB
1 2
ON
BD
1 x
的图象上任意两点，
过A 作x轴的垂 线, 垂足为B.过C作y轴的垂线,
垂足为D .记RtΔAOB的面积为S1, y
RtΔOC D的面积为 S2 ,则__C_.
A.S1>S2 B.S1<S2
o S1 A
C.S1 = S2
S2
B
x
D.S1和S2的大小关系不能确定. C D
由上述性质1可知选C
8.如图,在y 1 (x 0)的图像上有三点A, B,C, x
(2)求POQ的面积.
P
o Q
x
3.(2003年成都) 如图,已知一次函数y kx b的图象与反比例函数
y 8 的图象交于A, B两点,且点A的横坐标和点B x
的纵坐标都是 2.
y
求 : (1)一次函数的解析式;
A
(2)AOB的面积.
O
x
B
• 如图，在直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图象与反 比例函数y＝m/x图象交于A（-2，1）、B（1，n）两点． （1）求上述反比例函数一次函数的表达式； （2）连接AO、BO，求△AOB的面积．
6.(2004年凉山统考题)
如图,O是坐标原点,直线OA与双曲线y k 在第一象限内交于 x
点A,过A作AB x轴,垂足为B,如果OB 4(AB : OB) 1 . 2
(1)求双曲线的解析式;
(2)直线AC与y轴交于点C(0,1), 与x轴交于点D.求AOD的面积.
y
DC
o
A Bx
7．如图所示，已知直线y1=x+m与x轴、
经过三点分别向x轴引垂线,交x轴于A1, B1,C1三点,
边结OA,OB,OC,记OAA1, OBB1, OCC1的
面积分别为S1, S2, S3,则有 __A.
y
A.S1 = S2 = S3
B. S1 < S2 < S3
A
C. S3 < S1 < S2 D. S1 > S2 >S3
解:由性质(1)得
交于A, B两点.求(1) A, B两点的坐标 ;(2)AOB的面积.
解
:
(1)
y
8 x
,
y x 2.
解得xy
4,2;或xy
2, 4.
y A
N M
O
x
B
A(2,4), B(4,2).
5.(2002年成都)
如图: RtABO的顶点A是双曲线y k 与直线y －x m
x
在第二象限的交点,
2.图象性质见下表：
y= k
K>0
K<0
x
图 象
当k＞0时，函数图象 当k＜0时，函数图象
性 的两个分支分别在第 的两个分支分别在第
质
一、三象限，在每个 二、四象限，在每个 象限内，y随x的增大 象限内，y随x的增大
而减小.
而增大.
设P(m, n)是双曲线y k (k 0)上任意一点,有 : x
y•轴分别交于点A、B，与双曲线y2=
k x
（k<0）分别交于点C、D，且C点坐标
为（-1，2）．
（1）分别求直线AB与双曲线的解析式； （2）求出点D的坐标；
(3）利用图象直接写出当x在 什么范围内取何值时，y1>y2 ．
8、如图所示，正比例函数y=k1x的图象与
反比例函数y= k2的图象交于A、B两点，其
x
中点A的坐标为（ 3 ，2 3 ）。
（1）分别写出这两个函数的表达式。 （2）你能求出点B的坐标吗？
你是怎样求的？
（3）若点C坐标是（–4，0）.
请求△BOC的面积。
C
（4）试着在坐标轴上找
点D,使△AOD≌△BOC。
（4，D 0）
求：⑴这两个函数的解析式；⑵三角形⊿AOB的面积。
⑵解法1：设直线y=－2x+10 与x轴、y轴分别交于点C，D
y
(0，10 ) D A(1，8 )
则 C (5,0)，D(0,10)， 于是
S⊿OAB=25 － 5 －5 =15
B (4，2 )
o
C(5,0) x
探究1：反比例函数 y m 与一次函数y=kx+b交于点 A(1，8 ) 和B (4，2)， x 求：⑴这两个函数的解析式；⑵三角形⊿AOB的面积。
⑵解法2： 如图，过A作AC⊥x轴于C，过B点 作BD⊥x轴于D 由性质（1）知：S⊿OAC=S⊿OBD=4， ∴S⊿OAB=S⊿OAC+S梯形ACDB－S⊿OBD
=4+ 1 (2 8) 3－4=15 2
y
A(1，8 )
B (4，2 ) oC D x
探究1：反比例函数 y m 与一次函数y=kx+b交于点 A(1，8 ) 和B (4，2)， x 求：⑴这两个函数的解析式；⑵三角形⊿AOB的面积。
CB P
D
O
A
x
E
y=2x
y2 x
2 k y S平行四边形PD=
CB P
D
F
O
x
A E
y=2x
y2 x
2 k y
S四边形ACBD=
A
C
O
D x
B y=-2x
y2 x
k y
S△ABC=
A
C
O
D x
B y=-2x
y2 x
2 k y
S△ABE=
A
C
O
E
D x
B y=-2x
做一做
1.如图,点P是反比例函数 y 图2象上的 x