排列组合应用题的解题技巧

排列组合应用题的解题技巧
排列组合应用题是高考常见题型，内容独特，解题方法灵活多变，学生普遍感到难以把握，不知怎样解，下面介绍几种常见的解题方法与技巧。

一、优先法
解排列组合的应用问题应遵循先特殊后一般，先选元素再排列的原则。

即对于特殊元素应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；对于特殊位置应先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；这样就会保证分类时既不重复也不遗漏。

例1、某校从8名老师中选派4名老师同时去4个边远地区支教（每地1人）,其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有多少种？
解：按特殊元素甲、乙实行分类。

甲和乙不同去分为三种情况：（1）甲去乙不去，（2）甲不去乙去，（3）甲、乙都不去。

当甲去乙不去时，丙去，此时不同的选派方案有2404425=⋅A C （种）
当甲不去乙去时，丙不去，此时不同的选派方案有2404435=⋅A C （种）
当甲、乙都不去时，丙不去，此时不同的选派方案有1204445=⋅A C （种）
所以不同的选派方案共有240+240+120=600（种）
例2、三个女生和五个男生排成一排，如果两端都不排女生，有多少种不同的排法? 解：方法一、特殊元素优先考虑：先排女生，从中间6个位置选3个女生去排即：3
6A ,
剩余5个全排列即：55A 。

所以共有：144005536=⋅A A 方法二、特殊位置优先考虑：先排两端，从5个男生中选2个排两端有：2
5A ,其余6个全
排列即：55A .所以共有：144006625=⋅A A 二、对等法
有些限制条件的肯定和否定是对等的，各占全体的二分之一，还有“顺序一定”与“平均分组”问题要用除法，即：判断限制条件中的各种可能出现的情形是否对等的，也就是各种情形出现的概率是否相等。

例3、（1）：期中考试安排科目8门，语文要排在数学之前考，共有多少种安排顺序？
（2）：四名男生和三名女生按要求站成一排，三名女生顺序一定，则有几种排法?
(3)：将6本不同的书平均分成3堆，每堆2本，有几种分法?
解：（1）不加任何限制，整个排法有8
8A 种，“语文安排在数学之前考”与“数学安排在语文之前考”的排法是相等的，所以语文要排在数学之前考共有88228821A A A =种安排顺序. (2)7名学生的全排列有77A 种，3名女生有3
3A 种排序。

其中3名女生的每一种排序对应
这7名学生的排法是相等的，所以若三名女生顺序一定有84045673377=⨯⨯⨯=A A 种
(3)这是“无序均匀分组”问题，不妨记6本书为A 、B 、C 、D 、E 、F,因为平均分成3
堆，3堆书之间无序，所以由分步计数原理得到222426C C C ⋅⋅种分法中的(AB 、CD 、EF)，（AB 、
EF 、CD ），（CD 、EF 、AB ），（CD 、AB 、EF ），(EF 、AB 、CD)，(EF 、CD 、AB)共3
3A 种本质上只算一种，所以共有1533222426=⋅⋅A C C C 种。

三、插空法
对于某两个元素或几个元素要求不相邻的问题，可采用插空法，即先排好没有限制条件的元素，然后将有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间。

例4、同一排电影票12张，现有8个学生，4个老师，要求老师坐在学生中间且老师互不相邻，有多少种坐法？
解：先排学生共有8
8A 种排法，然后把老师插入学生之间的空档，共有7个空档可插，
选其中4个空档，共有47A 种选法，所以共有坐法4788A A ⋅种。

四、捆绑法
要求某几个元素必须排在一起的问题能够用捆绑法，即视这几个元素合并为一个元素，再与其余元素一起作排列，同时注意合并元素内部也可用排列。

例5、5个男生3个女生排成一排，3个女生要排在一起，有多少种排法？
解：把3个女生视作一人与5个男生作全排列有66A 种，其中女生内部也有3
3A 种排列，
所以共有3366A A ⋅种排法。

五、挡板法
对于某些比较复杂的、或比较抽象的排列组合问题，能够利用转化思想，将其化归为简单的、具体的问题来求解，最常用的有挡板法。

例6、高二年级8个班，组织一个12人的年级学生分会，每班至少1人，名额分配有多少种分法？
解：此问题可转化为：将12个相同的白球分成8份，有多少种分法的问题。

所以需把这12个白球排成一排，在其11个间隔中放上7个相同的挡板，每一间隔最多放一个，即可将白球分成8份，显然有711C 种不同的放法，所以名额分配方案有711C 种。

例7、将n+1个不同的小球放入n 个不同的盒子中，要使每个盒子都不空，共有多少种放法?
解：先将n+1个球排成一排，共有（n+1）！种排法，再在它们之间插入挡板，以表示将它们放入不同的盒子中，因为不能出现空盒，所以必须用n-1块挡板分别插在它们两两之间的n 个间隔中的n-1个之上，故有n C n n
=-1种不同的插法，又因放入同一个盒子的两个球无顺序之分，所以一共有()()!12
!21!1+⋅=⋅⋅+n n n n 种不同的放法。

例8、（1）5个相同的小球放入3个不同的房间中，每个房间放球的个数不限，共有多少种不同的放法?
（2）n 个相同的小球放入m 个不同的房间中，每个房间放球的个数不限，共有多少种不同的放法?
解：（1）如右图，表示第1房有1球，第2房有2球，
第3房有2球。

把5个球和2个挡板先看成7个相同的位置元素，从中任取2个位置看成挡板，剩余5个位置看成小球，挡板能够相邻，若相邻，表示对应房间放球个数为0个，故所求不同的放
法总数为：2127=C (种)
（2）同（1）解法知：所求不同的放法总数为：=--+11m m n C (种)
六、一一对应法
在组合问题中，有多少种取法，就有多少种剩法，它们是一一对应的，所以，当取法困难时，可转化为与其一一对应的另种取法。

例9、100个人实行淘汰赛（指每场比赛淘汰一个人），问实行多少场比赛能产生一名冠军？
解法一、（按常规思路）第一轮要实行50场比赛，留下50名选手；第二轮要实行25场比赛，留下25名选手；第三轮要实行12场比赛，1名选手轮空，留下13名选手；第四轮要实行6场比赛，1名选手轮空，留下7名选手；第五轮要实行3场比赛，1名选手轮空，留下4名选手；第六轮要实行2场比赛，留下2名选手；最后一场决赛，产生一名冠军。

所以共举行的比赛场数为：50+25+12+6+3+2+1=99.
解法二、（一一对应法）因为每一场比赛对应一个被淘汰的人；反之，每一个被淘汰的人对应着一场比赛，所以所比赛的场数应该与要淘汰的人数相等，即99场。

七、间接法
有些问题，如果直接去理解情形复杂运算麻烦并且很容易出错，而它的反面往往比较简捷，此时能够先求出它的反面，再从整体中排除，即经常说的：“正难则反用间接法”
例10、现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、20元、50元人民币各一张，100元人民币2张，从中至少取一张，共可组成多少种不同的币值？
解：“至少取一张”的反面为“全不取”仅有一种情形，所以用间接法比较简单。

除100元人民币以外每张均有“取”和“不取”2种情形，100元人民币的取法有3种情形，再减去全不取的1种情形，所以共有15351329
=-⨯种。

八、圆排列问题
圆排列有三个特点：（1）有头无尾；（2）按照一定方向转换后任是同一个圆排列；（3）两个圆排列只有在元素不同或者元素虽相同，但排列顺序不同才是不同的圆排列。

从n 个不同的元素中任取m （n m ≤）个排成一圈，其排列数为m
A m n ，若改为从n 粒不同的珍珠中任取m （n m ≤）粒用线串成一根项链（首尾相接，环状的），得到不同的项链条数为m
A m n 2。

例11、5块颜色不同的积木。

（1）把这5块积木放在桌面上围成一圈，有多少种围法？
(2)用线把它们串成积木圈，有多少种串法？
解：这是一个“圆排列”问题，由上易知（1）有24555=A 种围法。

（2）把一种用线串好的积木摆在桌面上，如
图虚线上面的图形，这时，从a 开始，按逆时针
方向数各个元素，依次是b 、c 、d 、e ；如果串法
不改变，仅仅把积木翻过来，如图虚线下面的图
形，这时从a 开始，按逆时针方向数各个元素，
依次是e 、d 、c 、b ，即同一种串法对应于两种不同的围法，所以用线串积木圈有125255=⨯A 种串法。

巩固练习：1、某班分成8个小组，每小组5人，现要从中选出4人实行4个不同的化学实验，且每组至多选一人，则不同的安排方法种数是
2、有甲、乙、丙3项任务，甲需要2人承担，乙、丙各需要1人承担，从10人中选派4人承担这3项任务，不同的选法有 种。

3、袋中有5分硬币23个，一角硬币10个，如果从袋中取出2元钱，有多少种取法？
4、某校高二年级共有6个班，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为：（ ）
2426:C A A 24262
1:C A B 2426:A A C 262:A D
参考答案与提示：1、用分步计数原理先选人，后排人。

不同的安排方法种数是
1050000544484=⋅⋅A C
2、2520种
3、袋中所有硬币共计2.15（元）取出2元，还剩下0.15元，即剩下3个5分或1个5
分与1个1角。

所以共有110123323C C C ⋅+种取法。

4、先分组再分配且是“无序均匀分组”问题，答案选：B。