高等数学基本公式概念和方法

高等数学基本公式、概念和方法

一．函数

1．函数定义域由以下几点确定

（１）0)(;)

(1

≠=

x f x f y （２）0)(;)(2≥=x f x f y n （其中n 为正整数） （３）0)(:)(log >=x f x f y a 。

（４）1

)(1);(arccos 1)(1);(arcsin ≤≤-=≤≤-=x f x f y x f x f y

（５）函数代数和的定义域，取其定义域的交集．

（６）对具有实际意义的函数，定义域由问题特点而定．

2．判断函数的奇偶性，依据以下两点确定，否则函数为非奇非偶的．

（１） 若)(),()(x f x f x f =-是偶函数，若)(),()(x f x f x f -=-是奇函数． （２） 若)(x f y =的图象关于y 轴对称，则函数是偶函数．如x y x y cos ..2

==等。

若)(x f y =的图象关于坐标原点对称，则函数是奇函数．如x y x y x y sin (3)

===

３． 将函数分解成几个简单函数的合成．

由六类基本初等函数的形式，对要分解的函数，由外层到内层，分别设出关系．函数与常数的四则运算，不必另设一层关系．

二．极限与连续

1．主要概念和计算方法：

（１）．A x f x f A x f x

x x

x x x ==⇔=+-→→→)(lim )(lim )(lim 0

（２）．若0)(lim 0

=→x f x x （极限过程不限），则当0x x →时)(x f 为无穷小量。

（3）．若)()(lim 00

x f x f x x =→，则函数在0x 处是连续的。

即（１）函数值存在、（２）极限存在、（３）极限值和函数值相等。 若上述三条至少一条不满足，则0x 是函数的间段点。 （4）．间断点的分类：设0x 是函数的间断点

若左、右极限均存在，则0x 称为第一类间断点。

若左、右极限至少有一个是无穷大，则0x 称为第二类间断点。 （5）．重要公式：条件0)(lim =x ϕ（极限过程不限）

结论《１》1)

()

(sin lim =x x ϕϕ；《２》e x x =+)(1

)](1lim[ϕϕ

2．求极限的方法：先判断极限类型（依据基本初等函数图象和函数值）

（１） 定式：直接得结论（即常数Ｃ、不存在：无穷大、震荡、左极限不等于右极限）。

（２）

不定式：（Ａ）

00

型：消去零因子或用公式《１》。 （Ｂ）∞

∞

型：约去∞因子，使之变成定式。

（Ｃ）∞1型：用公式《２》。

（Ｄ）∞⋅0型：取简单的翻到分母上，转化成《Ａ》或《Ｂ》。 （Ｅ）∞-∞型：通分或有理化，使之转化成其它类型。

注：《Ａ》和《Ｂ》型也可以用第四章中“罗必达”法则求。但要满足条件。

三．导数

（一）基本概念

1．导数值：000)()(lim

)(0

x x x f x f x f x x --='→，也可以记作0

);

(0x x dx

dy

x y ='。

2．导数的几何意义：)(0x f '就是曲线)(x f y =在点),(00y x 处切线的斜率k ，其切线的方程是：

))((000x x x f y y -'=-，法线方程：)()

(1

000x x x f y y -'-=

-。 ３． 函数在一点处可导、连续、有极限、有定义的关系（见关系图）。

（二）．导数基本公式： 1．0)(='c 2。1

)(-='αα

αx

x 3。a a a x

x

ln )(=' 4。x

x e e =')( 5。x

x 1)(ln =

' 6．x x cos )(sin =' 7。x x sin )(cos -=' 8。x x 2

sec )(tan =' 9。x x 2

csc )(cot -='

10．2

11)(arcsin x x -=

' 11。2

11)(arccos x x --=

' 12。2

11

)(arctan x x +=

' 13．2

11

)cot (x

x arc +-=

' （三）微分法（设u 和v 都是x 的函数）

1．用定义求导数或导函数。

2．v u v u '±'='±)(

3．v u v u uv '+'=')(；u c cu '=')( 4．2

)(v

v u v u v u '

-'=

' 5．设复合函数)(),(x u u f y ϕ==，则x u u f y '=' 6．设)(x f y =由隐函数0).(=y x F 确定，则y X

F F y '

'-

='，也可以直接对方程求导数。 7．对于单项式可以用取对数法求导数。对于幂指函数必须用取对数法求导数。

8．设参数方程⎩⎨

⎧==)

()

(t y y t x x ，则)()(t x t y y t t ''='

9．微分：dx y dy '= 10．反函数的导数：y

x x y '=

'1 附：函数在一点处几个概念之间的关系图

四．中值定理与导数应用 1．拉格朗日中值定理：

条件：函数)(x f 在[a,b]上连续，在（a,b ）内可导 结论：至少存在一点a

b a f b f f b a --=

'∈)

()()(),(ξξ使。

４． 洛必塔法则

适用于

∞

∞

和00型极限，注意四种失效题型： 3．单调性：若)(x f y =在（a,b ）内)(0)(x f x f ⇒>'在（a,b ）内单调递增。

若)(x f y =在（a,b ）内0)(<'x f )(x f ⇒在（a,b ）内单调递减。

a) 极值存在的必要条件：若0)()(00='⇒=x f x x f y 处可导且取极值在（0x 为驻点） b) 极值存在的充分条件：设函数在a 点连续，则： 在a 点左右函数的导数由正变负⇒a 点为函数的极大值点。 在a 点左右函数的导数由负变正⇒a 点为函数的极小值点。

c) 判断曲线凹凸的方法：

若在(a,b)内)(x f ''>0，则曲线)(x f y =在（a,b ）内上凹。如x

e y x y == (2)

等。 若在(a,b)内)(x f ''<0，则曲线)(x f y =在（a,b ）内下凹。如x y x

y ln (1)

==

等。