《定积分的概念》教学设计

1.5.3 定积分的概念 （名师：朱俊）

一、教学目标 1．核心素养

通过定积分的概念的学习，提升分析问题、解决问题的能力、抽象概括能力和逻辑思维能力. 2．学习目标

（1）借助几何直观体会定积分的基本思想； （2）初步了解定积分的概念. 3．学习重点

定积分的概念与定积分的几何意义 4．学习难点 定积分的概念 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务

任务:预习教材P 45—P 48,完成相应练习题 2．预习自测 1.设

f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

x 2(x ≥0)，

2x

(x <0)，

则⎠⎛－1

1f (x )dx 等于（ ）

A ．⎠⎛－11x 2dx

B ．⎠⎛－1

12x d

C ．⎠⎛－10x 2dx ＋⎠⎛012x dx

D ．⎠⎛－102x dx ＋⎠⎛01x 2dx 答案：D

2.定积分⎰1

3

(－3)dx 等（ ）

A ．－6

B ．6

C ．－3

D ．3 答案：A

3.已知t >0，若⎠⎛0t (2x －2)dx ＝8，则t ＝（ ）

A ．1

B ．－2

C ．－2或4

D ．4 答案：D （二）课堂设计 1．知识回顾

求曲边梯形面积的步骤

①分割：把区间[a ，b ]等分成n 个小区间；

②近似代替：对每个小曲边梯形“以直代曲”，用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值；

③求和：计算出n 个小矩形的面积之和n S ，n S 即为曲边梯形面积的近似值； ④取极限：求lim n n S S →+∞

=（S 即为曲边梯形的面积）

2．问题探究

问题探究一 什么是定积分？

学生活动：阅读课本相应内容，找到定积分的定义，并概括出求定积分的基本步骤：

如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b

-=<<<

<<<

<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点()12i i ,,...,n ξ=，作和式1

1

()()n

n

i i i i b a

f x f n

ξξ==-∆=∑∑

，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记做()b

a

f x dx ⎰.

即1

()lim ()n

b

i a

n i b a

f x dx f n

ξ→∞

=-=∑⎰. 这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[,]a b 叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，()f x dx 叫做被积式. 问题探究二 定积分的几何意义． 重点、难点知识★

学生活动：定积分的定义和我们上节课所讲的曲边梯形的面积的求法有没有相同之处？你能说明定积分的几何意义吗？

定积分的定义与曲边梯形面积的求法本质是相同的.

如果在区间[,]a b 上()f x 连续且恒有()0f x ≥，则定积分()b

a

f x dx ⎰的几何意义是由

,,0x a x b y ===与()y f x =所围成的曲边梯形的面积.

问题探究三 定积分的性质重点、难点知识★▲ 学生活动：根据定积分的几何意义，论证定积分的性质 定积分的性质：

（1）()()b b

a a

kf x dx k f x dx =⎰⎰(k 为常数)

（2）1212[()()]()()b b b

a a a

f x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰； （3）()()()b

c

b

a a c

f x dx f x dx f x dx =±⎰⎰⎰（其中a c b <<）. 性质（1）（2）称为定积分的线性性质，性质（3）称为定积分对积分区间的可加性.

例1．计算定积分2

1(1)x dx

+⎰

详解：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为

52.即：215

(1)2

x dx +=⎰

点拨：从定积分的几何意义出发解题 3．课堂总结 【知识梳理】

1.定积分的定义：如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点

0121i i n a x x x x x x b -=<<<

<<<

<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，

在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点i ξ(1,2,

,)i n =，作和式1

1

()()n

n

i i i i b a

f x f n

ξξ==-∆=∑∑

，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记做()b

a

f x dx ⎰.即1

()lim ()n

b

i a n i b a

f x dx f n

ξ→∞

=-=∑⎰. 这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[,]a b 叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，()f x dx 叫做被积式

2.定积分的几何意义：如果在区间[,]a b 上()f x 连续且恒有()0f x ≥，则定积分

()b

a

f x dx ⎰

的几何意义是由,,0x a x b y ===与()y f x =所围成的曲边梯形的面积

3.定积分的性质：

（1）()()b b

a a kf x dx k f x dx =⎰⎰ (k 为 常 数 )

（2）1212[()()]()()b

b

b

a a a

f x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰； （3）()()()b

c

b

a a c

f x dx f x dx f x dx =±⎰⎰⎰（其中a c b <<）. 性质（1）（2）称为定积分的线性性质，性质（3）称为定积分对积分区间的可加性.

【重难点突破】

（1）计算定积分过程中的两个常用结论 ①211(1)(21)6

n

i i n n n ==++∑；

②2

3

1

(1)2n

i n n i =+⎡⎤

=⎢⎥⎣⎦∑； ③11101110lim k k k k k

k k n k

k k a n a n a n a a b b n b n b n b ---→∞-⋅++++=⋅++++（其中i a ，i b 为常数，0,1,,i k =）.