《正切函数的性质与图象》教案及说明

1.4.3正切函数的性质与图象

教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A 版）》必修4 课题：1.4.3正切函数的性质与图象 一、教学目标

1.利用正切函数已有的知识（如定义、诱导公式、正切线等）研究性质，根据性质探究正切函数的图象。

2.借助单位圆中的三角函数线能画出tan y x =的图象，借助图象理解正切函数在

(,)22

ππ

-

上的性质（如单调性、周期性、最大值和最小值、图象与x 轴的交点等），并能解决一些简单问题。

3. 让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。 二、教学重点、难点 1. 教学重点：

（1）利用正切函数已有的知识（如定义、诱导公式、正切线等）研究性质， （2）根据性质探究正切函数的图象。

2.教学难点：画正切函数的简图，体会与x 轴的交点以及渐近线,2

x k k Z π

π=+∈在确定

图象形状时所起的关键作用。

三、课前准备

教师准备：教学课件 四、教学过程

一、提出学习课题，明确学习目标 提问：

1.正弦函数R x x y ∈=,sin 都有那些性质？

2.正弦函数的两个代数性质：sin(2)sin ,sin()sin x x x x π+=-=-反映了正弦函数图象的什么几何特征？

明晰：

1、定义域：R x ∈ 周期性：π2=T 奇偶性：奇函数

单调性：在⎥⎦

⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 22,22是单调递增的；

在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 223,22是单调递减的 值域：[]1,1-∈y

2、x x sin )2sin(=+π反映了函数的周期性，x x sin )sin(-=-反映了函数的奇偶性

3、函数图象的每一个几何特征也都是函数性质的直观反映，函数的每一个代数性质反映在图象上都有其相应的几何特征；所以可借助于函数的图象来研究函数的性质；也可借助于函数的性质研究函数的图象，本节课就是从一个全新的角度来研究正切函数的性质与图象。

二、探索正切函数的性质（进入新课）

提问：类比研究正弦和余弦函数的方法，从前面的学过的有关正切函数的知识中你认为有那些性质？

明晰：

1.正切函数的定义域：定义域为⎭⎬⎫⎩

⎨⎧+≠2ππk x x

2.正切函数的周期性：

由x x tan )tan(=+π，可知正切函数是周期函数，最小正周期：π=T 3.正切函数的奇偶性：

由x x tan )tan(-=-，可知正切函数是奇函数 4.正切函数的单调性

（1）给出在)2

,2(ππ-内的一些特殊角，进行计算、观察、归纳，猜想。

（2）借助多媒体，动态演示单位圆中的正切线的变化规律可以得出：正切函数在)

2

,2(π

π-内是增函数，又由正切函数的周期性可知：正切函数在开区间Z k k k ∈++-),2

,

2

(ππ

ππ

内都

是增函数。

教师要重点强调正切函数只有增区间没有减区间。 5.正切函数的值域

用多媒体展示单位圆中的正切线的变化规律，得到：正切函数的值域是实数集R 三、自主探究正切函数图象（应用新知）

提问：你能根据我们得出的正切函数的性质，画出它的图象吗？试一试。

展示：教师借助实物投影展示学生的成果并讲评。 明晰：

1、教师针对正弦函数的性质明晰其相应的几何特征。

2、同学之间相互合作，自主探究正切函数图象特征。

3、多媒体演示演示正切函数y=tanx ,)

,(π

π-∈x 图象几何作法。

4、，

且()z k k x ∈+≠

ππ

的图象，称“正切曲线”

例1 求函数tan()23y x ππ=+的定义域、周期和单调区间。

（分别请三位同学板演，其余同学在练习本上完成） 评析：1.明确解题步骤。

2.采用类比方法得到正切函数周期的简便运算方法ϖ

π=T

例2 比较⎪⎭⎫ ⎝⎛-

413tan π与⎪⎭

⎫ ⎝

⎛-

517tan π

的大小。 （学生练习本上完成）

评析：1.解决这类问题的关键是利用诱导公式将它们转化到同一单调区间上研究。 五、练习巩固，加深理解 1：比较大小：

)8

23tan(_____)719tan()3(305tan _____281tan )2(143tan _____138tan )1(ππ--

︒︒︒︒

2：指出满足条件的x 的范围： 3tan )3(;0tan 1)2(;0tan )1(≥<+>x x 六、小结与布置作业 （一）小结： 1、正切函数的性质

2、函数的每一个代数性质反映在图象上都有其相应的几何特征；函数图象的每一个几何特征都是函数性质的直观反映。所以可借助于函数的图象来研究函数的性质；也可借助于函数的性质研究函数的图象。

3、本课蕴含着数形结合、类比、归纳、猜想等数学思想方法。 （二）布置作业：

教材P 53 习题1.4 第 6、7、8、9题。

关于“正切函数的性质与图象”的教案说明

一、关于教学内容

我们生活在一个不断变化的世界中，大到地球、月亮，小到原子、电子都在不停的做着周期变化运动，因此研究周期变化规律是我们必须直面的问题。而三角函数本身就是最基本的周期函数，是描述周期现象的一个重要工具，很多周期现象的规律都可以由它们直接描述。

本章内容是继函数学习后学生所接触到的第二个基本初等函数，三角函数的学习即是对函数概念的深化，也是对函数学习的一个延续。本小节内容是三角函数的图象与性质，是本章知识的重点，有着承前启后的作用。

本节课是一节概念教学课，主要学习任务是根据正切函数已有的知识（如定义、诱导公式、正切线等）研究性质，然后根据性质研究正切函数的图象。对函数的学习一般按照定义域，值域，图象，性质等这样的顺序进行。对函数性质的研究总是先作图象，通过观察图象获得对函数性质的直观认识，然后再从数的角度对性质作出严格表述。但本节课，教科书却采取了与以往不同的学习方式，即先探究性质，然后再根据性质研究图象。这样处理，不仅给学生提供研究数学问题更多的视角，而且在性质的指导下可以更加有效地作图，研究图象。既加强了理性思考的成分，又使数形结合的思想体现得更加全面。

另外，由于三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，而对于周期函数，我们只要认清楚它在一个周期区间上的性质，通过其周期性，函数在整个定义域上的性质也就完全清楚了。

鉴于以上认识，确定本节课的教学目标为：

1.利用正切函数已有的知识（如定义、诱导公式、正切线等）研究性质，根据性质探究正切函数的图象.

2.借助单位圆中的三角函数线能画出tan y x =的图象，借助图象理解正切函数在

(,

)

2

2

π

π

-

上的性质（如单调性、周期性、最大值和最小值、图象与x 轴的

交点等），并能解决一些简单问题。

3. 让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。

二、学习本内容的基础

在学习本章知识前学生已经具备了学习函数的一些基本知识和基本技能，能通过观察函数图象，描述其图象特征，并能用数学符号的语言定义函数性质。更