条件概率与独立事件

条件概率与独立事件【要点梳理】要点一：条件概率1.概念设A 、B 为两个事件，求已知B 发生的条件下，A 发生的概率，称为B 发生时A 发生的条件概率，记为()|P A B ，读作：事件B 发生的条件下A 发生的概率。

要点诠释：我们用韦恩图能更好的理解条件概率，如图，我们将封闭图形的面积理解为相应事件的概率，那么由条件概率的概率，我们仅局限于B 事件这个范围来考察A 事件发生的概率，几何直观上，()|P A B 相当于B 在A 内的那部分（即事件AB ）在A中所占的比例。

2.公式.要点诠释：（1）对于古典（几何）概型的题目，可采用缩减样本空间的办法计算条件概率： 古典概型：(|)AB P A B B =包含的基本事件数包含的基本事件数，即()()card (|)card AB P AB B =； 几何概型：(|)AB P A B B =的测度的测度. （2）公式()(|)()P AB P A B P B =揭示了()P B 、()|P AB 、()P AB 的关系，常常用于知二求一，即要熟练应用它的变形公式如，若()P B ＞0，则()()()=|P AB P A P B A ，该式称为概率的乘法公式．（3）类似地，当()0P A >时，A 发生时B 发生的条件概率为：()()()|=P AB P B A P A .3. 性质（1）非负性：()|0P A B ≥；（2）规范性：()|=1P B Ω（其中Ω为样本空间）；（3）可列可加性：若两个事件A 、B 互斥，则()()()+||+|P A B C P A C P B C =.4.概率()P A |B 与()P AB 的联系与区别： 当()0P B >时，()()()|=P A B P A B P B .联系：事件A ，B 都发生了。

区别：①在()|P A B 中，事件A ，B 发生有时间上的差异，事件B 先发生，事件A 后发生；在()P AB 中，事件A ，B 同时发生；②基本事件空间不同在()|P A B 中，事件B 成为基本事件空间，即()()card (|)card AB P ABB =；在()P AB 中，基本事件空间保持不变，仍为原基本事件空间，即()()card ()card AB P AB =Ω。

要点二：独立事件1.定义：事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，即(|)()P B A P B =，这样的两个事件叫做相互独立事件。

若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立。

2．相互独立事件同时发生的概率公式：对于事件A 和事件B ，用A B ⋅表示事件A 、B 同时发生。

（1）若A 与B 是相互独立事件，则()()()P A B P A P B ⋅=⋅；（2）若事件12,,,n A A A 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积， 即：1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅。

要点诠释（1）P （A B ）=P （A ）P （B ）使用的前提是A 、B 为相互独立事件，也就是说，只有相互独立的两个事件同时发生的概率，才等于每个事件发生的概率的积．（2）两个事件A 、B 相互独立事件的充要条件是()()()P A B P A P B ⋅=⋅。

3．相互独立事件与互斥事件的比较互斥事件与相互独立事件是两个不同的概念，它们之间没有直接关系。

互斥事件是指两个事件不可能同时发生，而相互独立事件是指一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响。

一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件是不可能同时发生的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的。

相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,这一点与互斥事件的概率和也是不同的。

4. 几种事件的概率公式的比较已知两个事件A ，B ，它们发生的概率为P （A ），P （B ），则： A ，B 中至少有一个发生记为事件A +B （或A B ）； A ，B 都发生记为事件AB （或A B ）；都不发生记为事件AB （或A B ）； 恰有一个发生记为事件+AB AB ； 至多有一个发生记为事件A B A B A B ⋅+⋅+⋅.则它们的概率间的关系如下表所示：典型例题】类型一：条件概率 例1． 一种耐高温材料，能承受200℃高温不熔化的概率为0.9，能承受300℃高温不熔化的概率为0.5，现有一种这样的材料，在能承受200℃高温不熔化的情况下，还能承受300℃高温不熔化的概率是多少？【思路点拨】用集合来表示事件，将所求事件的概率表示成条件概率的形式，根据定义计算．【解析】 用A 表示事件“该材料承受200℃高温不熔化”，用B 表示事件“该材料承受300℃高温不熔化”，则“能承受200℃高温不熔化的情况下，还能承受300℃高温不熔化的概率”可表示为()|P B A .依题意得，()()0.90.5，P A P B ==.因为B ⊆A ，所以A ∩B=B ，故有()()==0.5P AB P B ，由条件概率的定义可得()0.55(|)()0.99P B P B A P A ===． 所以，在能承受200℃高温不熔化的情况下，还能承受300℃高温不熔化的概率是59. 【总结升华】计算条件概率最常用的方法是定义法，其具体步骤如下：（1）将文字语言翻译成集合语言：设出事件A ，B ，将所求概率表示成()|P A B 的形式；（2）计算概率()P A 和()P AB ，特别是；（3）根据条件概率公式()()()|=P A B P A B P B 计算结果；举一反三：【变式1】一个盒子中装有6只好晶体管和4只坏晶体管，任取两次，每次取1只，第一次取后不放回，若第一次取到的是好的，则第二次也取到好的概率为（）A ．35B．13C．59D．49【答案】C设iA=“第i次取到好的晶体管”（i=1，2）。

因为163()105P A==，12651()1093P A A⨯==⨯，所以12211()5(|)()9P A AP A AP A==。

【变式2】在10000张有奖储蓄的奖券中，设有1个一等奖，5个二等奖，10个三等奖，从中依次买两张，求在第一张中一等奖的条件下，第二张中二等奖或三等奖的概率．【答案】设“第一张中一等奖”为事件A，“第二张中二等奖”为事件B，“第二张中三等奖”为事件C，则1()10000P A=，155()10000999999990000P AB⨯==⨯，11010()10000999999990000P AC⨯==⨯，∴()5(|)()9999P ABP B AP A==，()10(|)()9999P ACP C AP A==．∴5105(|)(|)(|)999999993333P B C A P B A P C A=+=+=．即在第一张中一等奖的条件下，第二张中二等奖或三等奖的概率为53333．例2. 假定生男孩或女孩是等可能的，在一个有3个孩子的家庭中，已知有一个女孩，求至少有一个男孩的概率．【思路点拨】这个古典概型，利用缩减样本空间的方法计算条件概率较简便。

【解析】用A表示为“至少有一个男孩”，用B表示事件“至少有一个是女孩”，则“有一个女孩，至少有一个男孩的概率”可用表示.()|P A B.将B作为样本空间，它可用树形图可以直观的表示出来，如下：所以()card=7B，()card=6AB，所以()()card 6(|)=card 7AB P AB B =. 所以在有一个女孩的情况下，至少有一个男孩的概率为67． 【总结升华】对于古典概率求条件概率型题目，可采用缩减基本事件总数的方法，具体方法如下：（1）将文字语言翻译成集合语言：设出事件A ，B ，将所求概率表示成()|P A B 的形式；（2）写出样本空间B ，并找出B 中A 发生（即事件AB ）的基本事件数；（3）计算()()card card B AB ，；（4）根据条件概率公式()()card 6(|)=card 7AB P AB B =计算结果. 举一反三：【变式1】在100件产品中有95件合格品，5件不合格品.现在从中不放回的取两次，每次任取一件，试求：在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率.【答案】在第一次取到不合格品后，产品总数为99件，其中：合格品：95件，不合格品：4件。

由条件概率的概率可知，所求条件概率为在第一次取到不合格品后，不合格品占产品总数的比例，即设事件“第二次取到不合格品”为A ，事件“第一次取到不合格品”为B ，则499. 【变式2】从一副不含大小王的扑克牌（共52张）中不放回地抽取2次，每次抽1张，若第一次抽到J ，则第二次也抽到J 的概率为________。

【答案】第1次抽到J 后，总扑克牌数为51张，其中：J 有3张。

由条件概率的定义可知，“第一次抽到J ，则第二次也抽到J ”表示在第1次抽到J 后，J 所占总扑克牌数的比例，即13=5117. 类型二：独立事件例3. 容器中盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球．（1）“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”这两个事件是否相互独立？为什么？（2）“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“把取出的1个白球放回容器，再从容器中任意取出1个，取出的是黄球”这两个事件是否相互独立？为什么？【思路点拨】 从相互独立事件的定义入手．【解析】 （1）“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为58，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为47；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为57．可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件． （2）由于把取出的白球放回容器，故对“从中任意取出1个，取出的是黄球”的概率没有影响，所以二者是相互独立事件．【总结升华】 判断两事件是否相互独立的方法有：（1）通过计算P （B|A ）=P （B ）可以判断两个事件相互独立：（2）通过验证P （AB ）=P （A ）P （B ）也可以判断两个事件相互独立．举一反三：【变式】判断下列各对事件是互斥事件还是相互独立事件．（1）运动员甲射击1次，“射中9环”与“射中8环”；（2）甲、乙两运动员各射击1次，“甲射中10环”与“乙射中9环”：（3）甲、乙两运动员各射击1次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”；（4）甲、乙两运动员各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标，但乙没有射中目标”．【答案】（1）甲射击1次，“射中9环”与“射中8环”这两个事件不可能同时发生，二者是互斥事件．（2）甲、乙各射击1次，“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的概率没有影响，二者为相互独立事件．（3）甲、乙各射击1次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”不可能同时发生，二者是互斥事件．（4）甲、乙各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标，但乙没有射中目标”可能同时发生，二者构不成互斥事件，但也不可能是相互独立事件．例5. 要制造一种机器零件，甲机床的废品率为0.04，乙机床的废品率是0.05，从它们制造的产品中，各任意抽取一件，求：（1）其中至少有一件废品的概率；（2）其中恰有一件废品的概率；（3）其中至多有一件废品的概率；（4）其中没有废品的概率；（5）其中全是废品的概率．【思路点拨】 依题意记事件A 为“从甲机床生产的产品中抽得的一件是废品”，事件B 为“从乙机床生产的产品中抽得的一件是废品”，两事件对应的概率为P （A ）=0.04，P （B ）=0.05，则此题可解．显然，这两台机床的生产应当看作是相互独立的．【解析】 记事件A 为“从甲机床生产的产品中抽得的一件是废品”，事件B 为“从乙机床生产的产品中抽得的一件是废品”．则P （A ）=0.04，P （A ）=0.96，P （B ）=0.05，P （B ）=0.95．由题意可知，A 与B ，A 与B ，A 与B ，A 与B 都是相互独立的．（1）“至少有一件废品”为事件A+B ，则()1()1()()10.960.950.088P A B P AB P A P B +=-=-=-⨯=．（2）“恰有一件废品”为事件AB AB +，则()()()()()()()P AB AB P AB P AB P A P B P A P B +=+=+=0.96×0.05+0.04×0.95=0.048+0.038=0.086．（3）方法一：“至多有一件废品”为事件AB AB AB ++， 则()()()()P AB AB AB P AB P AB P AB ++=++()()()()()()P A P B P A P B P A P B =++=0.04×0.95+0.96×0.05+0.96×0.95=0.998．方法二：“至多有一件废品”的对立事件为“两件都是废品”，即事件AB ，则()1()1()()10.040.050.998P AB AB AB P AB P A P B ++=-=-=-⨯=．（4）“其中没有废品”就是“两件都是正品”，即事件AB ，则()()()0.960.950.912P AB P A P B ==⨯=．（5）“其中全是废品”为事件AB ，则P （AB ）=P （A ）P （B ）=0.04×0.05=0.002．【总结升华】（1）审题应注意关键的词句，例如“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”等，应学会在求复杂事件的概率时对事件等价拆分来求解．（2）求相互独立事件同时发生的概率的方法有：①利用相互独立事件的概率乘法公式；②正面计算较繁琐时，可以从对立面入手求解．举一反三：【变式1】甲、乙两个袋中均装有红、白两种颜色的球，这些球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球。