用镜像法求解静电场PPT课件

② 球面感应电荷分布
0 RR R 04 QR 0(a2R a 0 22 2R R 0 0 2aco)3/2 s
Q dSR0Q
RR0
a
导体球接地后，感应电荷总量不为零？
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（4）若导体不接地，电势不为零， 该怎么分析？
（5）若导体不接地，导体上带上自 由电荷，又如何分析？
（6）点电荷和导体球之间的相互作 用力，如何求解?
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一、相关内容回顾
唯一性定理给出静电场可以唯一 求解的条件。
唯一性定理：在可均匀分区的区
域V内给定自由电荷分布，区域V 内的电场由V的边界S上的电势或
者电势法向导数唯一地确定。
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4
如果V内含有导体区域 ，将导体表 面视为边界面。如果不是给定导体 边界上的电势或者电势法向导数， 而是给定每个导体上的总电荷，唯 一性定理同样成立。这是由电荷与 电场之间的制约关系决定的。
任意，可得
①
bR02 QR0Q
a
a源自文库
② ba Q Q
解取 bR02 QR0Q ？
a
a
-
20
4 Q 0[R 2a2 12Rca osR 2R 0 4/a R 20 /2 a R0 2c Ro/a]s(RR 0) 0 (R R 0)
点电荷
和接地
导体球 之间电
场线示
意图
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讨论：
①
Q ？Q
一定对称性; c)给定边界条件。
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二、镜象法求解静电场的基本思想
1. 镜像法概念
用假想点电荷来等效地代替
导体边界面上的面电荷分布，然
后用空间点电荷和等效点电荷叠
加给出空间电势分布。这种等效
电荷称为镜像电荷，这种求解方
法称为镜像法。
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2. 镜象法的理论依据
唯一性定理是镜像法的理论依 据。
3. 镜象法的基本思想
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5
静电学的基本问题是求满足给定 边界条件的泊松方程的解。主要 方法有四种：
（1）分离变量法（） （2）镜象法（?） （3）格林函数法（?） （4）多极矩展开法（?）
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6
分离变量法：适用于所考虑的区域 内没有自由电荷分布的情况，求解 拉普拉斯方程。
镜像法适用范围？ a)所求区域内有少许几个点电荷; b)导体边界面形状比较规则，具有
第四节
镜象法 求解静电场
(Method of Images)
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1
课的类型：讲授课
教学方法：讲解法
教学目的：学习一种求解静电场 的特殊方法—镜像法（简洁明了）
重点：用镜像法求解静电场。
难点：确定像电荷的数目、每
个像电荷的电量的大小与位置。
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2
❖一、相关内容回顾 ❖二、镜像法求解静电场的基本思想 ❖三、镜像法应用举例 ❖四、总结与讨论
Q’和a如何确定？
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0
Q Q
z 0
x 2 y 2 a 2
x 2 y 2 a 2
QQ, aa 舍去正号解？
Q[
1
1
]
40 x2y2 (z a )2 x2y2 (z a )2
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接地导
Q
体外有
一点电
荷的电
势分布
图
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例2 真空中有一半径为R0的接地导体 球，距球心为a（a>R0）处有一点电 荷Q，求空间各点的电势（如图）。
Q
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16
解：
电荷：一个点电荷 界面：导体球面 区域：球面外区域
已知界面电势为零，满足唯 一性定理的要求，可以确定 电势。
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点电荷Q使导体表面产生异号的 感应电荷Q’。
+Q
整个电势是由Q和Q’共同产生的。
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（1）根据对称 性分析，假想电 荷应在圆心和点 电荷的连线上， 即极轴上。
P
R
r r
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上半空间电势特征：
+Q
•导体表面是等势面
•电场线垂直于导体
表面
点电荷Q使导体表面产生异号的感
应电荷Q 。整个电场是由Q和Q
共同产生的。
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从物理问题的对称 性和边界条件考虑， 假想电荷应在左半 Q/ 空间 z 轴上。
P
r
r
Q
a
z
1
Q
Q
[
]
40 x 2 y 2 (z a )2 x 2 y 2 (z a )2
2) 可解的条件都是唯一性定理所要 求的分区均匀介质和边界条件。
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不同点：
分离变量法
镜象法
求解区域没有（或 求解区域有一个
电荷分布 者经过变换没有） 或者几个自由点
自由电荷分布
电荷
具体方法
分离变量求解拉 普拉斯方程
求解区域之外引入 象电荷取代感应电
荷
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-
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四、总结与讨论
1、镜象法的基本要领
1) 根据唯一性定理要求的条件求解电磁场 泊松方程边值问题；
2) 在求解区域之外引入象电荷取代感应电 荷，保持求解区域电荷分布不变；
3) 引入镜象电荷，不改变求解区域边值关 系和边界条件。
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2、与分离变量法比较
共同点：
1) 两种方法都是根据边值关系和边 界条件进行求解；
O
Q
QZ
1 [QQ] 40 r r
球坐标系
Q 和 r 如何确定？
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（2）由边界条件确定
0 Q Q 0 Q 2 Q 2
R 0
r rR R 0
r2
r2
R R 0
R R 0
Q 2(R 0 2b2)2 Q 2R 0 bco s Q 2 (R 0 2 a 2 ) 2 Q 2 R 0 a c o s
在求解区域之外引入像电荷取 代感应电荷，但不改变求解区域 的边值关系和边界条件。
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三、镜象法应用举例
例1 接地无限大平面导体板附近
有一点电荷Q，求空间中的电势
。
Q
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解：
电荷：一个点电荷 界面：接地无穷大导体 区域：上半空间（下半空间 电势为零）
已知界面电势为零，满足唯 一性定理的要求，可以确定 电势。