概率论重点题

概率统计重难点题

1已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男 孩的概率(小

孩为男为女是等可能的).

【解】 设A =｛其中一个为女孩｝，B =｛至少有一个男孩｝，样本点总 数为

23

=8，故

或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为 7.

P(B A) 6

2. 已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人 恰为色

盲，问此人是男人的概率(假设男人和女人各占人数的一 半).

【解】 设A =｛此人是男人｝, B =｛此人是色盲｝，则由贝叶斯公式

P(AB) PAB)

P(A)P(BA )

(

P(B)P (A )P (B |A )P (A )P (B |A )

0.5 0.05

20

0.5 0.05 0.5 0.0025 21

3. 在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中

任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出

3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.

【解】 设A i =｛第一次取出的3个球中有i 个新球｝, i =0,1,2,3B =｛第

二次取出的3球均为新球｝ 由全概率公式，有

3

P(B) P(BA)P(A)

P(B A)

P(AB) 6/8 6 P(A) 7/8

7

i 0

3 3 12 3 2 1 3 3 3

C 6 ? C 9 C 9C 6 ? C 8 C 9C 6 ? C 7 C 9 ? C 6

C 15 C 15 C 15 C 15 C 15 C 15 C 15 C 15

0.089

4. 某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”，“一般的”,“冒失的”

统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为

0.05,0.15和0.30;如果“谨慎的”被保险人占20%, “一般的”占 50%, “冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，

则他是“谨慎的”的概率是多少?

【解】 设A =｛该客户是“谨慎的” ｝，B =｛该客户是“一般的” ｝，

C =｛该客户是“冒失的” ｝，

D =｛该客户在一年内出了事

故｝

则由贝叶斯公式得

P(A)P(D I A) P(A)P(D |A) P(B)P(D | B) P(C)P(D |C)

X ~U(0,1)，试求:

(1) Y =e X

的分布函数及密度函数; (2) Z = 2ln X 的分布函数及密度函数

【解】(1) P(0 X

1) 1 故

P(1 Y

e X

e) 1

当 y 1 时 F Y (y) P(Y y) 0

当 1

P(A|D)

P(AD) P(D)

0.2 0.05 0.2 0.05 0.5 0.15 0.3 0.3

0.057 31.设随机变量

In y

dx In y

o

当 y 》e 时 F Y (y) P(e X y) 1 即分布函数

0,

y 1

F /(y)

In y, 1 y e

1,

y e

故Y 的密度函数为

1

1 y e

f Y (y) y,

0,其他

P(Z 0)

1

-)P(X e z/2)

2

z/2

e

即分布函数

(2)由 P (0

=1知

当z< 0时, F z (z) P(Z z) 当z >0时, F z (z) P(Z z)

P( 2ln X z)

F z (z)

0,

-z/2

1-e

故Z 的密度函数为

f z (z)

1

e 2 0,

z/2

5.设随机变量X 的密度函数为

2x

f (x )=孑

0,

其他.

P(l n X

1 e z/2

dx

试求Y二sin X的密度函数.

【解】P(0 Y 1) 1

当 y< 0 时，F Y(Y) P(Y y) 0

当0

P(0 X arcsin y) P( n arcsin y X n

arcsiny2x n 2X

2 dx 2 dx

0 n n arcsiny 冗

-2(arcsiny)21- 4( n- arcsiny)2

n n

2 . arcs iny

n

当y> 1

时，

F Y(y) 1

故Y的密度函数为

6.设随机变量（X, Y）的概率密度为

求条件概率密度f Y i X (y I x))f x i Y (x | y)

题11图

【解】f x(x) f(x, y)dy

x

x1dy 2x, 0 x 1,

0, 其他.

f(x，y)= 0,y x, 0 x 1,

其他.