离散数学(修订版)-耿素云

常用的集合名称:
N: 自然数集合(本课程中认为0也是自然数)
Z: 整数集合
Q: 有理数集合
R: 实数集合
C: 复数集合
6.1 集合的基本概念
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集合有三种表示方法:列元素法、谓词表示法和图示法.
列元素法:列出集合中的所有元素, 各元素之间用逗号隔开, 并 把它们用花括号括起来.
~A = { d }.
6.2 集合的运算
文氏图 (Venn Diagrams)
E
B A
E
AB
E
AB
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E
AB
A∩B=
E
AB
A∩B=A
E
A
A∩B
~
A
A-B
E
AB
AB
A∪B
E
AC B
(A∩B)-C
6.2 集合的运算
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例6.2 对24名人员掌握外语情况的调查.其统计结果如下: 会英、日、德、法分别为: 13, 5, 10和9人;
例如 A = { a, b, c }, B = { b, d }, 则: AB={ a, c, d } 对称差运算的另一种定义是
A B = (A∪B) - (B∩A) 在给定全集E以后, A E, A的绝对补集~A定义如下: 定义6.9 ~A = E – A = { x | xE∧x A} 因为 E是全集, xE是真命题, 所以, ~A可以定义为~A = { x | x A }. 例如: E = { a, b, c, d }, A = { a, b, c }, 则,
2元子集: { 1, 2 }, { 1, 3 }, { 2, 3 };
3元子集: { 1, 2, 3 }.
由上面的例子, 我们 不难归纳出: 对n元集合A, 有:
0元子集有Cn0个 1元子集有Cn1个 …
m元子集有Cnm个 …
n元子集有Cnn个 子集总数为 Cn0 + Cn1 + … + Cnn=2n个
A∪B = { a, b, c } A∩B = { a } A - B = { b, c } B - A = , B∩C =
若两个集合的交集为, 则 称这两个集合是不相交的.
如: B和C是不相交的.
6.2 集合的运算
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n个集合的并和交: ∪i=1..nAi = A1∪A2∪…∪An = { x | xA1∨…∨xAn) ∩i=1..nAi = A1∩A2∩…∩An = { x | xA1∧…∧xAn)
若A与B不相等, 则记作: A B. 相等的符号化表示为
A=B AB∧BA x(xA xB)∧x(xB xA)
定义6.3 设A和B为集合, 如果B A且B A, 则称B是A的真 子集(Proper Subset), 记作B A.
若B不是A的真子集, 则记为: B A. 真子集的符号化表示为: B A B A∧B A 例如: N Z Q R C, 但, NN.
James A. Anderson 清华大学出版社, 2004年
Discrete Mathematics (Fifth Edition)
Kenneth A. Ross, Charles R. B. Wright 清华大学出版社, 2003年
前言
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… 根据作者的教学经验, 本教材要在160学时内完 成全部教学内容. 如果采用120学时的教学计划, 可略去第9章, 第 12章, 第18章和第11章的部分内容. 软件学院的教学计划是一个学期讲解《离散数 学》, 有: 18周4学时/周, 共72学时. 如果遇到节假日, 可能还会减少2学时, 习题课还 需用掉10左右学时, 用于讲课的时间可能在60学时左 右. 所以, 计划讲解第二部分和第四部分的主要内容.
左孝凌、李为鉴、刘永才编, 上海科技文献出版社, 2002年
Discrete Mathematical Structures (Fourth Edition)
Bernard Kolman, Robert C. B. & Sharon C. R. 高等教育出版社, 2001年
Discrete Mathematics with Combinatorics
为了体系的严谨性, 规定: 对任何集合A, 都有: AA.
A = { a, { b, c }, d, { { d } } } 的树形图表示.
A a { b, c } d { { d } }
b
c
{d}
d
6.1 集合的基本概念
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定义6.1 设A和B为集合, 若B中的每个元素都是A的元素, 则
上课要求
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1.有事可以随时离开教室； 2.请将手机调为震动； 3.如果铃声真的响了，请不要在课上接电话； 4.如果实在想接，goto 1
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第二部分 集合论
第六章 集合代数 第七章 二元关系 第八章 函数 第九章 集合的基数
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第六章 集合代数
教材目录
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第一部分 数理逻辑 第二部分 集合论 第三部分 代数结构 第四部分 图论 附录 — 部分中英文对照
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第一部分 数理逻辑
第一章 命题逻辑基本概念 第二章 命题逻辑等值演算 第三章 命题逻辑的推理理论 第四章 一阶逻辑基本概念 第五章 一阶逻辑等值演算与推理
A x(x xA) 由于蕴涵式(x xA)的前件为假而使其成为真命题, 所以, A. 推论 空集是惟一的. 证 假设: 存在空集1和2. 由定理6.1可知: 1 2, 2 1. 由集合相等的定义可知: 1 = 2.
6.1 集合的基本概念
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定义 集合A中元素的个数n为集合的势(Cardinality), 记为|A|.
离散数学
Discrete Mathematics
耿素云 屈婉玲
Байду номын сангаас
信息科学与技术学院
计算机科学系
电子与通信工程系
吴 向 军，黄 剑
韦宝典
issxjwu@mail.sysu.edu.cn weibd@mail.sysu.edu.cn
huangjian2004@gmail.com
教材
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集, 则称该集合为全集(Universal Set), 记作E.
全集是有相对性的, 不同的问题有不同的全集, 即使是同一个问 题也可以取不同的全集.
例如:在研究平面上直线的相互关系时, 可把整个平面上所有点 的集合看作全集, 也可把整个空间上所有点的集合看作全集.
一般地说, 全集取得小一些, 问题的描述和处理会简单些.
《离散数学》(修订版) 耿素云、屈婉玲, 高等教育出版社, 2004年
教学参考书
《离散数学》
王兵山、王长英、周贤林、何自强编, 国防科技大学出版社, 1985年
《离散数学》
檀凤琴、何自强编著, 科学出版社, 1999年
《离散数学》
孙吉贵、杨凤杰、欧阳丹彤和李占山, 高等教育出版社, 2002年
《离散数学》
A∩B = { x | x A∧x B }
A - B = { x | x A∧x B }
由定义可知: A∪B是由A或B的元素构成, A∩B由A和B
的公共元素构成, A-B由属于A, 但不属于B的元素构成.
例如: A = { a, b, c }, B = { a }, C = { b, d }, 则:
本书规定: 集合的元素都是集合.
6.1 集合的基本概念
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元素(Element)和集合之间的隶属关系: “属于”或“不 属于”.“属于”关系记作, “不属于”记作.
例如: A = { a, { b, c }, d, { { d } } }. aA, { b, c }A, dA, { { d } }A, bA, { d }A. b和{ d }是A元素的元素.
称B是A的子集合, 简称子集(Subset), 也可称B被A
包含, 或A包含B, 记作B A.
如果B不被A包含, 则记作B A. 包含的符号化表示为
BA
B A x(xB xA) 例如: N Z Q R C, 但, Z N. 显然, 对任何集合A, 都有: A A. 包含关系表示集合之间的关系;
6.1 集合的基本概念
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定义6.5 设A为集合, 把A的全体子集构成的集合叫做A的幂集 (Power Set), 记作P(A), PA, 2A.
幂集的符号化表示为: P(A) = { x | x A }. 对于集合A = { 1, 2, 3 }, 有: P(A) = { , {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3} }. 不难看出, 若A是n元集, 则P(A)有2n个元素. 定义6.6 在某具体问题中, 若所涉及的集合都是某个集合的子
例如 A = { a, b, c, …, z } Z = { 0, ±1, ±2, … }
谓词表示法: 用谓词来概括集合中元素的属性. 例如:B = { x | x R 且 x2 - 1 = 0 } 集合B表示方程x2 - 1 = 0的实数解集.
图示法:用一个圆来表示, 圆中的点表示集合中的元素. 许多集合可用两种方法来表示, 如: B = { -1, 1 }. 有些集合不能用列元素法表示, 如: 实数集合, 不能列举出
6.2 集合的运算
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集合的基本运算有并(Union), 交(Intersection)和相对
补(Relative Complement).
定义6.7 设A和B为集合, A与B的并集A∪B, 交集A∩B, B对A
的相对补集A-B分别定义如下:
A∪B = { x | x A∨x B }
假设有一个含有n个元素的集合A, 若集合A1是其子集且 |A1| = m, 则称子集A1为集合A的m元子集.
对任给一个n元集合A, 如何求出它的全部子集?
例6.1 A = { 1, 2, 3 }, 将A的子集分类:
0元子集, 即空集, 只有一个: ;
1元子集, 即单元集: { 1 }, { 2 }, { 3 };
同时会英语和日语的有2人; 会英、德和法语中任两种语言的都是4人. 已知会日语的人既不懂法语也不懂德语, 分别求只会 一种语言(英、德、法、日)的人数和会三种语言的人数.
解 令A, B, C和D分别表示会英、法、德、日语的人的集合.
：等值的 ：蕴涵式
隶属关系表示元素和集合之间的关系, 但也可表示某些集
合之间关系. 如:
{ a }{ a, { a } }, { a } { a, { a } }
6.1 集合的基本概念
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定义6.2 设A和B为集合, 如果A B且B A, 则称A与B相等, 记作: A = B.
6.1 集合的基本概念
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定义6.4 不含任何元素的集合叫做空集, 记作: . 空集可以符号化表示为: = { x | x x }.
例如: { x | xR∧x2+1=0 }是方程x2+1=0的实数解集, 因
为该方程无实数解, 所以, 其解集是空集. 定理6.1 空集是一切集合的子集. 证 任给一个集合A, 由子集的定义可知:
6.1 集合的基本概念 6.2 集合的运算 6.3 集合恒等式
6.1 集合的基本概念
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集合(Set)是一些个体汇集在一起所组成整体.通常把整体 中的个体称为集合的元素或成员.
例如: 方程x2 - 1 = 0的实数解集合, 1和-1是该集合的元素; 26个英文字母的集合, a, b, …, z是该集合的元素; 坐标平面上所有点的集合; <0, 0>, <0, 1>, <1, 1>是该集合的元素;
无穷多个集合的并和交: ∪i=1..∞Ai = A1∪A2∪… ∩i=1..∞Ai = A1∩A2∩…
6.2 集合的运算
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集合的对称差集(Symmetric Difference)和绝对补集 (Absolute Complement).
定义6.8 设A和B为集合, A与B的对称差集AB定义为: A B = (A - B)∪(B - A)
所有集合中的所有元素.
6.1 集合的基本概念
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集合的元素是彼此不同的.
若同一个元素在集合中多次出现, 则只认为其是一个元 素; 如: { 1, 1, 2, 2, 3 } = { 1, 2, 3 }
集合的元素是无序的, 如: { 3, 1, 2 } = { 1, 2, 3 }