勾股定理知识点与常见题型总结

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第18章[1].勾股定理知识点与常见题型总结

第18章[1].勾股定理知识点与常见题型总结

第18章 勾股定理复习一.知识归纳1.勾股定理内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么222a b c +=勾股定理的由来:勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦.早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了“勾三,股四,弦五”形式的勾股定理,后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为:两直角边的平方和等于斜边的平方2.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下:方法一:,4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD2214()2ab b a c⨯+-=,化简可证.cbaHG F EDCB A方法二:bacbac cabcab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c=⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三:1()()2S a b a b =+⋅+梯形,2112S 222ADE ABE S S ab c∆∆=+=⋅+梯形,化简得证a bcc baE D CBA3.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征,因而在应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形 4.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长,求第三边在A B C ∆中,90C ∠=︒,则c =b =,a = ②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 5.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ,b ,c 满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形,其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较,若它们相等时,以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形;若222a b c +<,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是钝角三角形;若222a b c +>,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是锐角三角形; ②定理中a ,b ,c 及222a b c +=只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长a ,b ,c 满足222a c b +=,那么以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形,但是b 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时,不能说成:当斜边的平方等于两条直角边的平方和时,这个三角形是直角三角形6.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即222a b c +=中,a ,b ,c 为正整数时,称a ,b ,c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数: 221,2,1n n n -+(2,n ≥n 为正整数); 2221,22,221n n n n n ++++(n 为正整数)2222,2,m n mn m n-+(,m n >m ,n 为正整数)7.勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.在使用勾股定理时,必须把握直角三角形的前提条件,了解直角三角形中,斜边和直角边各是什么,以便运用勾股定理进行计算,应设法添加辅助线(通常作垂线),构造直角三角形,以便正确使用勾股定理进行求解.8..勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形,在具体推算过程中,应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较,切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论.9.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中,是密不可分的一个整体.通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形,又要用勾股定理求出边的长度,二者相辅相成,完成对问题的解决. 常见图形:ABC30°D CB A ADB CCB DA题型一:直接考查勾股定理例1.在A B C ∆中,90C ∠=︒.⑴已知6AC =,8B C =.求AB 的长 ⑵已知17AB =,15A C =,求BC 的长 分析:直接应用勾股定理222a b c +=解:⑴10AB ==⑵8BC =题型二:应用勾股定理建立方程例2.⑴在A B C ∆中,90AC B ∠=︒,5A B =cm ,3B C =cm ,C D AB ⊥于D ,C D = ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4,斜边长为15,则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ,斜边长为13cm ,则这个三角形的面积为分析:在解直角三角形时,要想到勾股定理,及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积.有时可根据勾股定理列方程求解 解:⑴4AC =, 2.4AC BC CD AB⋅==DBAC⑵设两直角边的长分别为3k ,4k ∴222(3)(4)15k k +=,3k ∴=,54S = ⑶设两直角边分别为a ,b ,则17a b +=,22289a b +=,可得60ab =1302S ab ∴==2cm例3.如图A B C ∆中,90C ∠=︒,12∠=∠, 1.5C D =, 2.5BD =,求A C 的长21DCBA分析:此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来 解:作DE AB ⊥于E , 12∠=∠,90C ∠=︒ ∴ 1.5D E C D == 在BD E ∆中90,2BED BE ∠=︒==Rt AC D Rt AED ∆≅∆AC AE∴=在R t A B C ∆中,90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+,222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4.如图R t A B C ∆,90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆,求阴影部分面积答案:6题型三:实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树,一棵高8cm ,另一棵高2cm ,两树相距8cm ,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢,至少飞了 mABCD E分析:根据题意建立数学模型,如图8A B =m ,2C D =m ,8B C =m ,过点D 作DE AB ⊥,垂足为E ,则6A E =m ,8D E =m在R t A D E ∆中,由勾股定理得10AD ==答案:10m题型四:应用勾股定理逆定理,判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为a ,b ,c ,判定A B C ∆是否为R t ∆ ① 1.5a =,2b =, 2.5c = ②54a =,1b =,23c =解:①22221.52 6.25a b +=+= ,222.5 6.25c == ∴A B C ∆是直角三角形且90C ∠=︒②22139b c +=,22516a =,222b c a +≠ABC ∴∆不是直角三角形例7.三边长为a ,b ,c 满足10a b +=,18ab =,8c =的三角形是什么形状? 解:此三角形是直角三角形理由:222()264a b a b ab +=+-= ,且264c =222a b c ∴+= 所以此三角形是直角三角形题型五:勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.已知A B C ∆中,13AB =cm ,10B C =cm ,BC 边上的中线12AD =cm ,求证:A B A C =证明:D CB AAD为中线,5BD D C ∴==cm在ABD ∆中,22169AD BD += ,2169AB =222AD BD AB ∴+=,90AD B ∴∠=︒,222169AC AD DC ∴=+=,13A C =cm,AB AC ∴=。

勾股定理知识点与常见题型总结

勾股定理知识点与常见题型总结

勾股定理复习一.知识归纳 1.勾股定理内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么222a b c += 2.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下: 方法一:4EFGHS S S ∆+=正方形正方形ABCD ,2214()2ab b a c ⨯+-=,化简可证.方法二:四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三:1()()2S a b a b =+⋅+梯形,2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形,化简得证3.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形, 4.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长,求第三边在ABC ∆中,90C ∠=︒,则c,b =,a ②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 5.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ,b ,c 满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形,其中c 为斜边 ① 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法, ② 若222a b c +<,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是钝角三角形; ③ 若222a b c +>,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是锐角三角形; 6.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即222a b c +=中,a ,b ,c 为正整数时,称a ,b ,c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数:cba HG F EDCBA bacba c ca bcab a bc c baE D CBA221,2,1n n n -+(2,n ≥n 为正整数); 2221,22,221n n n n n ++++(n 为正整数) 2222,2,m n mn m n -+(,m n >m ,n 为正整数)7.勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题. 8..勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形9.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中,是密不可分的一个整体.通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形,又要用勾股定理求出边的长度,二者相辅相成,完成对问题的解决. 常见图形:题型一:直接考查勾股定理 例1.在ABC ∆中,90C ∠=︒.⑴已知6AC =,8BC =.求AB 的长 ⑵已知17AB =,15AC =,求BC 的长题型二:应用勾股定理建立方程例2.⑴在ABC ∆中,90ACB ∠=︒,5AB =cm ,3BC =cm ,CD AB ⊥于D ,CD = ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4,斜边长为15,则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ,斜边长为13cm ,则这个三角形的面积为 2cm例3.如图ABC ∆中,90C ∠=︒,12∠=∠, 1.5CD =, 2.5BD =,求AC 的长例 4.如图Rt ABC ∆,90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆,求阴影部分面积ABC30°DCB A ADBCCB DA21EDCBA题型三:实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树,一棵高8cm ,另一棵高2cm ,两树相距8cm ,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢,至少飞了 m题型四:应用勾股定理逆定理,判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为a ,b ,c ,判定ABC ∆是否为Rt ∆ ① 1.5a =,2b =, 2.5c = ②54a =,1b =,23c =题型五:勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.已知ABC ∆中,13AB =cm ,10BC =cm ,BC 边上的中线12AD =cm ,求证:AB AC =勾股定理练习一.填空题:1. 在Rt △ABC 中,∠C=90°(1)若a=5,b=12,则c=________; (2)b=8,c=17,则S △ABC =________。

(完整版)八年级勾股定理题型总结

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《勾股定理》典型例题解析一、知识重点:1、勾股定理勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

也就是说:假如直角三角形的两直角边为 a、 b,斜边为 c ,那么 a 2 + b 2= c 2。

公式的变形: a2 = c 2- b 2, b 2= c 2-a 2。

2、勾股定理的逆定理假如三角形 ABC的三边长分别是a, b, c,且知足 a2 + b2= c2,那么三角形 ABC 是直角三角形。

这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时,同学们要注意办理好以下几个重点:①已知的条件:某三角形的三条边的长度.②知足的条件:最大边的平方=最小边的平方 +中间边的平方 .③获得的结论:这个三角形是直角三角形,而且最大边的对角是直角.④假如不知足条件,就说明这个三角形不是直角三角形。

3、勾股数知足 a2 + b2= c2的三个正整数,称为勾股数。

注意:①勾股数一定是正整数,不可以是分数或小数。

②一组勾股数扩大同样的正整数倍后,还是勾股数。

常有勾股数有:(3,4,5 ) (5 ,12, 13 ) ( 6, 8, 10 )( 7,24, 25 ) ( 8,15, 17 )(9 , 12,15 )4、最短距离问题:主要运用的依照是两点之间线段最短。

二、考点解析考点一:利用勾股定理求面积1、求暗影部分面积:(1)暗影部分是正方形;( 2)暗影部分是长方形;( 3)暗影部分是半圆.2.如图,以 Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆,尝试究三个半圆的面积之间的关系.3、以下图,分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形,其面积分别是S1、S2、 S3,则它们之间的关系是()A. S1- S2= S3B. S1+ S2= S3C. S2+S3< S1D. S2- S3=S1S 3S 1S 24、四边形 ABCD中,∠ B=90°, AB=3,BC=4,CD=12, AD=13,求四边形 ABCD的面积。

勾股定理(10个考点梳理+题型解读+提升训练)(原卷版)24-25学年八年级数学上学期期中考点

勾股定理(10个考点梳理+题型解读+提升训练)(原卷版)24-25学年八年级数学上学期期中考点

勾股定理(10个考点梳理+题型解读+提升训练)【清单01】勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图:直角三角形ABC 的两直角边长分别为,斜边长为,那么.注意:(1)勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.(2)利用勾股定理,当设定一条直角边长为未知数后,根据题目已知的线段长可以建立方程求解,这样就将数与形有机地结合起来,达到了解决问题的目的.(3)理解勾股定理的一些变式:a b ,c 222a b c +=,, .运用:1.已知直角三角形的任意两条边长,求第三边;2.用于解决带有平方关系的证明问题;3.利用勾股定理,作出长为的线段【清单02】勾股定理的证明方法一:将四个全等的直角三角形拼成如图(1)所示的正方形. 图(1)中,所以. 方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图(2)所示的正方形. 图(2)中,所以.方法三:如图(3)所示,将两个直角三角形拼成直角梯形.,所以.【清单03】勾股定理逆定理 222a c b =-222b c a =-()222c a b ab =+-1.定义:如果三角形的三条边长,满足,那么这个三角形是直角三角形.注意:(1)勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.(2)勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”,是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.2.如何判定一个三角形是否是直角三角形(1)首先确定最大边(如).(2)验证与是否具有相等关系.若,则△ABC 是∠C =90°的直角三角形;若,则△ABC 不是直角三角形.注意:当时,此三角形为钝角三角形;当时,此三角形为锐角三角形,其中为三角形的最大边.【清单04】勾股数像 15,8,17 这样,能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾股数 。

勾股数满足两个条件:①满足勾股定理 ②三个正整数【清单05】勾股定理应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形,在具体推算过程中,应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较,切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论. 本专题分类进行巩固解决以下生活实际问题【考点题型一】一直直角三角形的两边,求第三边长【典例1】已知一直角三角形两直角边的长分别为9,12,则它的斜边长为( )A .15B .16C .17D .25【变式1-1】如图,在△ABC 中,∠C =90°,AC =8,AB =10,则BC 的长为( )a b c ,,222a b c +=c 2c 22a b +222c a b =+222c a b ¹+222a b c +<222a b c +>cA.6B C.24D.2【变式1-2】如图,一个零件的形状如图所示,已知∠CAB=∠CBD=90°,AC=3cm,AB=4cm,BD=12cm,则CD长为()cm.D.15A.5B.13C.1445【变式1-3】如图,∠C=∠ABD=90∘,AC=4,BC=3,BD=12,则AD的长等于.【考点题型二】等面积法斜边上的高【典例2】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,若AC=6,CB=8.(1)求AB的长;(2)求AB边上的高CD是多少?【变式2-1】已知直角三角形的两直角边长分别为5和12,则此直角三角形斜边上的高长为()A.52B.6C.132D.6013【变式2-2】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是高,AB=4,AC=2,则CD的长为.【变式2-3】在△ABC中,∠ACB=90°,AC=12,BC=5,则高CD=.【考点题型三】作无理数的线段【典例3】如图,在数轴上点A表示的数为a,则a的值为()A B.―1C.―1+D.―1―【变式3-1】如图,点B,D在数轴上,OB=3,OD=BC=1,∠OBC=90°,DC长为半径作弧,与数轴正半轴交于点A,则点A表示的是()A B+1C1D【变式3-2】如图,OC=2,BC=1,BC⊥OC于点C,连接OB,以点O为圆心,OB长为半径画弧与数轴交于点A,若点A表示的数为x,则x的值为()A B.C―2D.2―【变式3-3】如图的数轴上,点A,C对应的实数分别为1,3,线段AB⊥AC于点A,且AB长为1个单位长度,若以点C为圆心,BC长为半径的弧交数轴于0和1之间的点P,则点P表示的实数为()A3B.3―C3D.3―【考点题型四】勾股定理的证明【典例4】用图1所示的四个全等的直角三角形可以拼成图2的大正方形.请根据信息解答下列问题:(1)请用含a,b,c的代数式表示大正方形的面积.方法1:______.方法2:______.(2)根据图2,求出a,b,c之间的数量关系.(3)如果大正方形的边长为10,且a+b=14,求小正方形的边长.【变式4-1】下面四幅图中,能证明勾股定理的有()A.一幅B.两幅C.三幅D.四幅【变式4-2】勾股定理在数学和许多其他领域中都有广泛的应用,勾股定理是一个非常重要的数学定理,它在几何学、三角学、物理学、工程学等多个领域都有重要的应用.关于勾股定理的证明方法到现在为止有500多种,勾股定理常见的一些证明方法是:几何证明、代数证明、向量证明、复数证明、面积证明等.当两个全等的直角三角形按图1或图2摆放时,都可以用“面积法”来证明,以下是利用图1证明勾股定理的完整过程:将两个全等的直角三角形按图1所示摆放,其中∠DAB=90°,求证:a2+b2=c2证明:连接BD ,过点D 作DF ⊥BC 交BC 延长线于点F ,则DF =EC =b ―a∵S 四边形ADCB =S △ACD +S △ABC =12b 2+12ab 又∵S 四边形ADCB =S △ADB +S △DCB =12c 2+12a (b ―a )∴∴12b 2+12ab =12c 2+12a (b ―a )∴a 2+b 2=c 2请参照上述证明方法,利用图2完成下面的证明.将两个全等的直角三角形按图2所示摆放,其中∠DAB =90°,求证:a 2+b 2=c 2.【变式4-3】我国是最早了解勾股定理的国家之一,汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅如图1所示“赵爽弦图”(边长为c 的大正方形中放四个全等的直角三角形,两直角边长分别为a ,b ,斜边长为c ).(1)如图1,请用两种不同方法表示图中空白部分面积.方法1:S 阴影=______;方法2:S 阴影=______;根据以上信息,可以得到等式:______;(2)小亮将“弦图”中的4个三角形进行了运动变换,得到图2,请利用图2证明勾股定理;(3)如图3,将图2的2个三角形进行了运动变换,若a=6,b=3,求阴影部分的面积.【考点题型五】直角三角形的判定【典例5】下列长度的三条线段,能构成直角三角形的是()A.1,2,3B.2,3,4C.3,4,5D.8,12,13【变式5-1】以下列各组数据为三角形三边,能构成直角三角形的是()A.4,8,7B.5,12,14C.2,2,4D.7,24,25【变式5-2】下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是()A B.1,C.6,7,8D.2,3,4【变式5-3】下列几组数中,不能构成直角三角形的是()A.9,12,15B.15,36,39C.10,24,26D.12,35,36【考点题型六】勾股定理的逆定理的运用【典例6】如图,一块四边形的空地,∠B=90°,AB的长为9m,BC的长为12m,CD的长为8m,AD的长为17m.为了绿化环境,计划在此空地上铺植草坪,若每铺植1m2草坪需要花费50元,则此块空地全部铺植草坪共需花费多少元?【变式6-1】绿都农场有一块菜地如图所示,现测得AB=12m,BC=13m,CD=4m,AD=3m,∠D=90°,求这块菜地的面积.【变式6-2】定义:顶点都在网格点上的多边形叫格点多边形.如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长为1,四边形ABCD的每一个顶点都在格点上,(1)求∠ABC的度数;(2)求格点四边形ABCD的面积.【变式6-3】如图,已知一块四边形的草地ABCD,其中∠B=90°,AB=20m,BC=15m,CD=7m,DA=24m,求这块草地的面积.【考点题型七】勾股数的应用【典例7】勾股数,又名毕氏三元数,则下列各组数构成勾股数的是( )A .13,14,512B .1.5,2,2.5C .5,15,20D .9,40,41【变式7-1】下列各组数中,是勾股数的是( )A .13,14,15B .3,4,7C .6,8,10D .12【变式7-2】下列数组是勾股数的是( )A .2,3,4B .0.3,0.4,0.5C .5,12,13D .8,12,15【变式7-3】下列各组数中是勾股数的是( )A .4,5, 6B .1.5,2, 2.5C .11,60, 61D .12【考点题型八】构造直角三角形解决实际问题【典例8-1】如图,一架2.5m 长的梯子斜靠在墙上,此时梯足B 距底端O 为0.7m .(1)求OA 的长度.(2)如果梯子下滑0.4m ,则梯子滑出的距离是否等于0.4m ?请通过计算来说明理由.【典例8-2】小强和小伟都喜欢放风筝.一天放学后他们互相配合又放起了风筝(如图所示),小伟想测量风筝的铅直高度CE ,于是他进行了如下测量:①测得小强牵线的手到风筝的水平距离BD 为15m ;②根据小强手中剩余线的长度计算出风筝线BC (假设BC 是直的线)的长为39m ;③小强牵线的手离地面的距离DE 为1.5m .(1)求此时风筝的铅直高度CE.(2)若小强想使风筝沿CD方向下降16m(不考虑其他因素),则他应该收线多少米?【典例8-3】台风“烟花”登录我国沿海地区,风力强,累计降雨量大,影响范围大,有极强的破坏力.如图,台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动,已知点C为一海港,且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC=300km,BC=400km,又AB=500km,经测量,距离台风中心260km及以内的地区会受到影响.(1)求∠ACB的度数;(2)海港C受台风影响吗?为什么?(3)若台风中心的移动速度为25千米/时,则台风影响该海港持续的时间有多长?【变式8-1】一支铅笔斜放在圆柱体的笔筒中,如图所示,笔筒的内部底面直径是6cm,内壁高8cm.若这支铅笔在笔筒外面部分长度是5cm,则这支铅笔的长度是()cm.A.10B.15C.20D.25【变式8-2】如图是台阶的示意图,若每个台阶的宽度都是30cm,每个台阶的高度都是15cm,连接AB,则AB的长度是()A.185cm B.195cm C.205cm D.215cm【变式8-3】如图,庭院中有两棵树,小鸟要从一棵高10m的树顶飞到一棵高4m的树顶上,两棵树相距8m,则小鸟至少要飞米.【变式8-4】如图,大风把一棵树刮断,量得AC=4m,BC=3m,则树刮断前的高度为m.【变式8-5】我图古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题:今有方池一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐,问水深几何?(注:丈、尺是长度单位,1丈=10尺)意思为:如图,有一个边长为1丈的正方形水池,在水池正中央有一根芦苇,它高出水面1尺,如果把这根芦苇拉向水池一边的岸边,它的顶端恰好碰到池边的水面.则这根芦苇的长度是尺【变式8-6】如图,开州大道上A,B两点相距14km,C,D为两商场,DA⊥AB于A,CB⊥AB于B.已知DA=8km,CB=6km.现在要在公路AB上建一个土特产产品收购站E,使得C,D两商场到E站的距离相等,(1)求E站应建在离A点多少km处?(2)若某人从商场D以5km/h的速度匀速步行到收购站E,需要多少小时?【变式8-7】某市夏季经常受台风天气影响,台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候,有极强的破坏力.如图,有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B,已知点C为一海港,当AC⊥BC时,A点到B,C两点的距离分别为500km和300km,以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域.(1)求BC;(2)海港C受台风影响吗?为什么?【典例9】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6cm,AC=8cm,按图中所示方法将△BCD沿BD 折叠,使点C落在边AB的C′点.(1)求DC′的长度;(2)求△ABD的面积.【变式9-1】如图,长方形ABCD中,AB=9,BC=6,将长方形折叠,使A点与BC的中点F重合,折痕为EH ,则线段BE 的长为( )A .53B .4C .52D .5【变式9-2】如图,折叠长方形的一边AD ,点D 落在BC 边的点F 处,已知AB =8cm ,BC =10cm ,则EC 的长为( )A .3cmB .4cmC .3.5cmD .5cm【变式9-3】如图,将长方形纸片ABCD 沿AE 折叠,使点D 恰好落在BC 边上点F 处,若AB =3,AD =5,求EC 的长.【考点题型十】面展开图-最短路径问题【典例10-1】如图,长方体的长为15,宽为10,高为20,点B 离点C 的距离为5,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ,需要爬行的最短距离是 .【典例10-2】如图,圆柱形杯子容器高为18cm,底面周长为24cm,在杯子内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯子外壁,离杯子上沿2cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为cm.【变式10-1】临汾是帝尧之都,有着尧都之称.尧都华表柱身祥云腾龙,顶蹲冲天吼,底座浮雕长城和黄河壶口瀑布,是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志.如图,在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上,有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方(从点A到点C,B为AC 的中点),每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米,则雕刻在石柱上的巨龙至少为()A.20米B.25米C.30米D.15米【变式10-24cm,A是正方体的一个顶点,B是侧面正方形对角线的交点.一只蚂蚁在正方体的表面上爬行,从点A爬到点B的最短路径是()A.9B.+6C.D.12【变式10-3】如图是放在地面上的一个长方体盒子,其中AB=9cm,BC=6cm,BF=5cm,点M在棱AB上,且AM=3cm,点N是FG的中点,一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N,它需要爬行的最短路程为cm.【变式10-4】如图,圆柱的底面周长是10cm,圆柱高为12cm,一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B,那么它爬行的最短路程为.【变式10-5】如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽,A和B是这个台阶两个相对的端点,A点有一只蚂蚁,则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是.【变式10-6】如图,学校有一块长方形花圃,有少数人为了走“捷径”,在花圃内走出一条不文明的“路”,其实他们仅仅少走了m,却踩伤了花草.【变式10-7】如图,在一个边长为6cm的正方形纸片ABCD上,放着一根长方体木块,已知该木块的较长边与AD平行,横截面是边长为的正方形,一只蚂蚁从点A爬过木块到达蜂蜜C处需爬行的最短路程是cm.。

最新人教第17章勾股定理经典题型总结复习课件

最新人教第17章勾股定理经典题型总结复习课件
⑴求它的高.
⑵求它的面积.
B
A
C
D
6
6
6
3
3
30°
例 如图,一块直角三角形的纸片,两直角边AC=6㎝,BC=8㎝。现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,求CD的长.
A
C
D
B
E
第8题图

x
6
x
8-x
4
6
第三组练习: 解决较综合的问题---折叠三角形
如图,在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域,我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截,六分钟后同时到达C地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行120海里,乙巡逻艇每小时航行50海里,航向为北偏西40°,问:甲巡逻艇的航向?
1.5米
1.5米
2.2米
1.5米
1.5米
x
x
2.2米
A
B
C
X2=1.52+1.52=4.5
AB2=2.22+X2=9.34
AB≈3米
专题六、辅助线思想(构造直角三角形) 例1、如图,已知△ABC中,∠B=450,∠C=300,AB= ,求BC的长? D
例2、如图,∠B=∠C=∠D=∠E=90°,且AB=CD=3,BC=4,DE=EF=2,则求AF的长。
练习:
x
1m
(x+1)
D
C
在一棵树的10米高处B有两只猴子, 其中一只猴子爬下树走到离树20米的 池塘A,另一只猴子爬到树顶D后直接 跃向池塘的A处,如果两只猴子所经过 距离相等,试问这棵树有多高?
B
A
3小刚准备测量河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底,竹竿高出水面0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边,竹竿和岸边的水平线刚好相齐,求河水深度。

勾股定理知识点与常见题型总结

勾股定理知识点与常见题型总结

《勾股定理分类练习》题型一:直接考查勾股定理:直角三角形中,若a, b 分别为直角边,c 为斜边,那么直角三角形三边的关系为 a 2 +b 2 =c 2变形公式:1、如图1中,64、400分别为所在正方形的面积,则图中A 字母所代表的正方形面积是2、 如图4,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A ,B ,C ,D 的面积之和为___________cm 2。

3、在Rt △ABC 中,斜边AB 2 =3,则AB 2+BC 2+AC 2的值是______“知二求一”的题,可以直接利用勾股定理变形公式!4、在ABC ∆中,90C ∠=︒.⑴已知6AC =,8BC =.求AB 的长 ⑵已知17AB =,15AC =,求BC 的长5、已知一个直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是( )A .25B .14C .7D .7或251、已知直角三角形的两直角边长之比为3:4,斜边长为15,则这个三角形的面积为2、已知直角三角形的周长为30cm ,斜边长为13cm ,则这个三角形的面积为3、已知△ABC ,∠A=90 °, ∠B=30°,AB=5,求AC,BC 的值.题型三:勾股定理的逆定理:1、以下列各组数为边长,能组成直角三角形的是( )A .2,3,4B .10,8,4C .7,25,24D .7,15,122、分别有下列几组数据:①6、8、10 ②12、13、5 ③ 17、8 、15 ④4、11、9其中能构成直角三形的有:( )A、4组 B、3组 C、2组 D、1组3、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )A. 钝角三角形;B. 锐角三角形;C. 直角三角形;D. 等腰三角形4、请写出“对顶角相等”和“垂直平分线上的点到线段两端距离相等”的逆命题(判断真假)题型四、与直角三角形面积相关直角三角形的面积公式:1. 底×高×21 2.两短边相乘×21 (a×b×21 ) 3. 斜边×斜边上的高×21(每种求面积的方法举例两个)1、直角三角形的两直角边分别为5、12,则斜边为__,三角形的面积为__,斜边上的高为 ___2、在ABC ∆中,90ACB ∠=︒,5AB =cm ,3BC =cm ,CD AB ⊥于D ,CD =3、已知:如图,⊿ABC 中,∠ACB =︒90,AB = 5cm ,BC = 3 cm ,CD ⊥AB 于D ,求CD 的长及三角形的面积;4、等腰△ABC 的腰长AB =10cm ,底BC 为16cm ,则底边上的高为 ,面积为 .题型五、勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用1、如图,在四边形ABCD 中,∠BAD =︒90,∠DBC =︒90,AD = 3,AB = 4,BC = 12,求CD ;题型六、折叠问题 1、如图,有一块直角三角形纸片,两直角边AC =6cm ,BC =8cm ,现将直角边AC 沿直线AD 折叠,使它落在斜边AB 上,且与AE 重合,则CD 等于()(A ) 2cm (B ) 3 cm (C ) 4 cm (D ) 5 cm2、已知,如图,折叠长方形(四个角都是直角,对边相等)的一边AD 使点D 落在BC 边的点F 处,已知AB = 8cm ,BC = 10 cm ,求EC 的长3、已知,如图,长方形ABCD 中,AB=3cm ,AD=9cm ,将此长方形折叠,使点B 与点D 重合,折痕为EF ,则△ABE 的面积为( )A .6cm 2B .8cm 2C .10cm 2D .12cm 2题型七:实际问题中应用勾股定理1、 如图有两棵树,一棵高8cm ,另一棵高2cm ,两树相距8cm ,2、 一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢,至少飞了 m3、小明想知道学校旗杆的高,他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m ,当它把绳子的下端拉开5m 后,发现下端刚好接触地面,则旗杆的高为 ( )A .8cmB .10cmC .12cmD .14cm4、一个无盖的圆柱纸盒:高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食,要爬行的最短路程(π取3)是( ) A.20cm; B.10cm; C.14cm; D.无法确定.B C A D D E。

勾股定理专题知识点+常考题型+重难点题型

勾股定理专题知识点+常考题型+重难点题型

勾股定理专题知识点+常考题型+重难点题型(含详细答案)一、目录一、目录 (1)二、基础知识点 (3)1.勾股定理: (3)2.勾股定理的逆定理: (3)3.勾股定理的证明 (3)4.含特殊角的直角三角形三边的关系 (3)5.逆命题与逆定理 (4)三、常考题型 (5)1.勾股定理在几何计算中的应用-求线段的长 (5)2. 勾股定理在几何计算中的应用-坐标平面内两点的距离 (6)3. 勾股定理在几何计算中的应用-面积问题 (8)4.构造直角三角形 (9)5.勾股定理的逆定理的应用 (11)四、重难点题型 (14)1.利用勾股定理解计算问题 (14)2勾股数组 (15)3.与线段平方关系有关的证明题 (16)4.矩形和直角三角形中的折叠问题 (18)二、基础知识点1.勾股定理:如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2注:1)仅在直角三角形中存在勾股定理2)由于直角三角形的斜边最长,故运用勾股定理时,一定要抓住直角三角形最长边(即斜边)的平方等于两短边两直角边的平方和,避免出现这样的错误2.勾股定理的逆定理:如果三角形三边长分别为a,b,c,且满足a2+b2=c2,那么这个三角形是以c为斜边的直角三角形。

注:在同一个三角形中,大边对大角,小角对小边3.勾股定理的证明方法一:方法二:4.含特殊角的直角三角形三边的关系勾股数:1)a=3,b=4,c=52)a=5,b=12,c=13特殊直角三角形①a=x,c=2x,b=√3x②a=x,b=x,c=√2x③AC=x,DC=x,AD=√2x,BD=√2x④AC=x,AF=2x,DC=√3x,BD=2x5.逆命题与逆定理命题与定理命题:判断一件事的语句定理:经过我们一定推理,得到的真命题互逆命题:两个命题的题设、结论正好相反的命题。

若将其中一个叫做原命题,则另一个就是它的逆命题逆定理:若一个定理的逆命题成立,则这个定理与原定理互为逆定理三、常考题型1.勾股定理在几何计算中的应用-求线段的长解析:应用勾股定理,在直角三角形中,“知二求一”。

勾股定理常见题型总结

勾股定理常见题型总结

典型题型题型一:直接考查勾股定理例1.在ABC ∆中,90C ∠=︒.⑴已知6AC =,8BC =.求AB 的长⑵已知17AB =,15AC =,求BC 的长分析:直接应用勾股定理222a b c +=解:⑴10AB =⑵8BC =题型二:应用勾股定理建立方程例2.⑴在ABC ∆中,90ACB ∠=︒,5AB =cm ,3BC =cm ,CD AB ⊥于D ,CD =⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4,斜边长为15,则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ,斜边长为13cm ,则这个三角形的面积为分析:在解直角三角形时,要想到勾股定理,及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积.有时可根据勾股定理列方程求解解:⑴4AC , 2.4AC BC CD AB⋅== DB A C⑵设两直角边的长分别为3k ,4k ∴222(3)(4)15k k +=,3k ∴=,54S =⑶设两直角边分别为a ,b ,则17a b +=,22289a b +=,可得60ab =1302S ab ∴==2cm 例3.如图ABC ∆中,90C ∠=︒,12∠=∠, 1.5CD =, 2.5BD =,求AC 的长21E DCBA分析:此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来解:作DE AB ⊥于E,12∠=∠,90C ∠=︒∴ 1.5DE CD ==在BDE ∆中90,2BED BE ∠=︒=Rt ACD Rt AED ∆≅∆AC AE ∴=在Rt ABC ∆中,90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+,222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4.如图Rt ABC ∆,90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆,求阴影部分面积答案:6题型三:实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树,一棵高8cm ,另一棵高2cm ,两树相距8cm ,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢,至少飞了 mAB C D E分析:根据题意建立数学模型,如图8AB =m ,2CD =m ,8BC =m ,过点D 作DE AB ⊥,垂足为E ,则6AE =m ,8DE =m在Rt ADE ∆中,由勾股定理得10AD答案:10m题型四:应用勾股定理逆定理,判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为a ,b ,c ,判定ABC ∆是否为Rt ∆ ① 1.5a =,2b =, 2.5c = ②54a =,1b =,23c =解:①22221.52 6.25a b +=+=,222.5 6.25c ==∴ABC ∆是直角三角形且90C ∠=︒ ②22139b c +=,22516a =,222b c a +≠ABC ∴∆不是直角三角形 例7.三边长为a ,b ,c 满足10a b +=,18ab =,8c =的三角形是什么形状解:此三角形是直角三角形理由:222()264a b a b ab +=+-=,且264c = 222a b c ∴+= 所以此三角形是直角三角形题型五:勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用 例8.已知ABC ∆中,13AB =cm ,10BC =cm ,BC 边上的中线12AD =cm ,求证:AB AC =证明:D CB AAD 为中线,5BD DC ∴==cm在ABD ∆中,22169AD BD +=,2169AB =222AD BD AB ∴+=, 90ADB ∴∠=︒,222169AC AD DC ∴=+=,13AC =cm ,AB AC ∴=。

勾股定理必考题型

勾股定理必考题型

勾股定理必考题型勾股定理是数学中一项基本且重要的定理,广泛应用于几何与代数问题的解决中。

对于学习数学的人来说,熟练掌握勾股定理及相关题型是必不可少的。

本文将介绍一些与勾股定理相关的必考题型,帮助读者更好地准备数学考试。

一、直角三角形边长求解在考试中,常见的问题是给出一个直角三角形的斜边长以及一条直角边的长度,要求求解另一条直角边的长度。

例如,已知一个直角三角形的斜边长为5,一条直角边长为3,要求求解另一条直角边的长度。

解题思路:根据勾股定理可以得到斜边长的平方等于两直角边长的平方和,即a²=b²+c²。

将已知数据代入公式,得到5²=3²+c²,即25=9+c²。

解方程可得c=4,即另一直角边的长度为4。

二、直角三角形判定另一种常见的题型是给出三条边的长度,要求判定其是否能构成一个直角三角形。

例如,给出三条边的长度为3、4、5,要求判定其是否能构成一个直角三角形。

解题思路:将三个边长按照从小到大的顺序排列,即3、4、5。

然后,将最小边的平方与其他两边的平方的和相比较。

如果相等,则构成一个直角三角形。

在本示例中,3²+4²=9+16=25=5²,因此可以判定这三条边能构成一个直角三角形。

三、勾股数求解勾股数是指满足勾股定理的整数解,即满足a²+b²=c²,其中a、b、c 均为整数。

在数学考试中,常常会要求学生求解勾股数。

例如,题目给出一个直角三角形的斜边长为13,要求求解两条直角边的长度。

解题思路:根据题目给出的条件,可得到三个十字数(a、b、c)满足a²+b²=c²。

为了求解满足13²=a²+b²的整数解,我们可以通过穷举法得到。

在这个例子中,我们可以先从1开始尝试,试验直到a或b的平方值超过169。

我们很快就可以发现,3²+4²=9+16=25=5²,符合勾股定理。

初中数学:勾股定理全章知识点总结大全及重点题型

初中数学:勾股定理全章知识点总结大全及重点题型

初中数学:勾股定理全章知识点总结⼤全及重点题型基础知识点1:勾股定理 直⾓三⾓形两直⾓边a、b的平⽅和等于斜边c的平⽅。

(即:a2+b2=c2)要点诠释:勾股定理反映了直⾓三⾓形三边之间的关系,是直⾓三⾓形的重要性质之⼀,其主要应⽤:(1)已知直⾓三⾓形的两边求第三边(2)已知直⾓三⾓形的⼀边与另两边的关系,求直⾓三⾓形的另两边(3)利⽤勾股定理可以证明线段平⽅关系的问题2:勾股定理的逆定理如果三⾓形的三边长:a、b、c,则有关系a2+b2=c2,那么这个三⾓形是直⾓三⾓形。

要点诠释:勾股定理的逆定理是判定⼀个三⾓形是否是直⾓三⾓形的⼀种重要⽅法,它通过“数转化为形”来确定三⾓形的可能形状,在运⽤这⼀定理时应注意:(1)⾸先确定最⼤边,不妨设最长边长为:c;(2)验证c2与a2+b2是否具有相等关系,若c2=a2+b2,则△ABC是以∠C为直⾓的直⾓三⾓形(若c2>a2+b2,则△ABC是以∠C为钝⾓的钝⾓三⾓形;若c2<a2+b2,则△ABC为锐⾓三⾓形)。

3:勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别:勾股定理是直⾓三⾓形的性质定理,⽽其逆定理是判定定理;联系:勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反,都与直⾓三⾓形有关。

4:互逆命题的概念 如果⼀个命题的题设和结论分别是另⼀个命题的结论和题设,这样的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中⼀个叫做原命题,那么另⼀个叫做它的逆命题。

5:勾股定理的证明 勾股定理的证明⽅法很多,常见的是拼图的⽅法 ⽤拼图的⽅法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,⾯积不会改变②根据同⼀种图形的⾯积不同的表⽰⽅法,列出等式,推导出勾股定理规律⽅法指导1.勾股定理的证明实际采⽤的是图形⾯积与代数恒等式的关系相互转化证明的。

2.勾股定理反映的是直⾓三⾓形的三边的数量关系,可以⽤于解决求解直⾓三⾓形边边关系的题⽬。

3.勾股定理在应⽤时⼀定要注意弄清谁是斜边谁直⾓边,这是这个知识在应⽤过程中易犯的主要错误。

勾股定理知识点与题型总结大全

勾股定理知识点与题型总结大全

CA BD 勾股定理全章类题总结类型一:等面积法求高【例题】如图,△ABC 中,∠ACB=900,AC=7,BC=24,C D ⊥AB 于D. (1)求AB 的长; (2)求CD 的长.类型二:面积问题【例题】如下左图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A ,B ,C ,D 的面积之和为___________cm 2。

【练习1】如上右图,每个小方格都是边长为1的正方形, (1)求图中格点四边形ABCD 的面积和周长。

(2)求∠ADC 的度数。

【练习2】如图,四边形ABCD 是正方形,AE ⊥BE ,且AE =3,BE =4,阴影部分的面积是______。

【练习3】如图字母B 所代表的正方形的面积是( )A. 12 B 。

13 C 。

144 D 。

194类型三:距离最短问题【例题】 如图,A 、B 两个小集镇在河流CD 的同侧,分别到河的距离为AC=10千米,BD=30千米,且CD=30千米,现在要在河边建一自来水厂,向A 、B 两镇供水,铺设水管的费用为每千米3万,请你在河流CD 上选择水厂的位置M ,使铺设水管的费用最节省,并求出总费用是多少?ABCD7cmBD EB16925A BCDL【练习1】如图,一圆柱体的底面周长为20cm ,高AB为4cm,BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A 出发,沿着圆柱的侧面爬行到点C ,试求出爬行的最短路程.【练习2】如图,一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马,而他正位于他的小屋B的西8km 北7km 处,他想把他的马牵到小河边去饮水,然后回家。

他要完成这件事情所走的最短路程是多少?类型四:判断三角形的形状【例题】如果ΔABC 的三边分别为a 、b 、c ,且满足a 2+b 2+c 2+50=6a+8b+10c ,判断ΔABC 的形状.【练习1】已知△ABC 的三边分别为m 2-n 2,2mn ,m 2+n 2(m,n 为正整数,且m >n),判断△ABC 是否为直角三角形。

勾股定理知识点及典型例题

勾股定理知识点及典型例题

勾股定理知识点及典型例题一、勾股定理:勾股定理定义为:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方,即a²+b²=c²,其中a和b是直角三角形的两条直角边,c是斜边。

勾股定理的逆定理为:如果三角形的三边长a,b,c满足a+b=c,那么这个三角形是直角三角形。

勾股数是满足a²+b²=c²的三个正整数a,b,c。

注意,若a,b,c为勾股数,那么ka,kb,kc同样也是勾股数。

常见的勾股数有3,4,5;6,8,10;9,12,15;5,12,13.判断直角三角形的方法有两种:一是如果三角形的三边长a、b、c满足a+b=c,那么这个三角形是直角三角形。

二是如果有一个角为90°或两个角互余,那么这个三角形是直角三角形。

具体判断方法是确定最大边(不妨设为c),若c=a+b,则为直角三角形;若a+bc,则为锐角三角形。

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。

如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于30°。

勾股定理的作用有四个:一是已知直角三角形的两边求第三边;二是已知直角三角形的一边,求另两边的关系;三是用于证明线段平方关系的问题;四是利用勾股定理,作出长为a,b,c的直角三角形。

二、勾股定理的证明:勾股定理的证明方法有很多种,其中常见的是拼图的方法。

具体证明过程如下:在直角三角形ABC中,以BC为底边,作等腰直角三角形ABD,连接AD,则AD=AB,BD=BC。

因此,AB²=AD²+BD²=AD²+BC²,即a²=b²+c²。

1.一个无盖的正方体盒子内有两只昆虫,昆虫甲在顶点C1处,昆虫乙在棱BB1的中点E处。

昆虫乙要在最短时间内捕捉到昆虫甲,可以沿着路径A→E→C1爬行。

最新勾股定理知识点与常见题型总结

最新勾股定理知识点与常见题型总结

勾股定理一.知识归纳 1.勾股定理内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么222a b c +=勾股定理的由来:勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦.早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了“勾三,股四,弦五”形式的勾股定理,后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为:两直角边的平方和等于斜边的平方 2.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下:方法一:4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ,2214()2ab b a c ⨯+-=,化简可证.cbaHG F EDCB A方法二:bacbac cabcab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三:1()()2S a b a b =+⋅+梯形,2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形,化简得证a bcc baE D CBA3.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征,因而在应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形 4.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长,求第三边在ABC ∆中,90C ∠=︒,则c,b,a②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 5.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ,b ,c 满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形,其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较,若它们相等时,以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形;若222a b c +<,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是钝角三角形;若222a b c +>,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是锐角三角形; ②定理中a ,b ,c 及222a b c +=只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长a ,b ,c 满足222a c b +=,那么以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形,但是b 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时,不能说成:当斜边的平方等于两条直角边的平方和时,这个三角形是直角三角形 6.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即222a b c +=中,a ,b ,c 为正整数时,称a ,b ,c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数: 221,2,1n n n -+(2,n ≥n 为正整数); 2221,22,221n n n n n ++++(n 为正整数) 2222,2,m n mn m n -+(,m n >m ,n 为正整数)7.勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.在使用勾股定理时,必须把握直角三角形的前提条件,了解直角三角形中,斜边和直角边各是什么,以便运用勾股定理进行计算,应设法添加辅助线(通常作垂线),构造直角三角形,以便正确使用勾股定理进行求解.8..勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形,在具体推算过程中,应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较,切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论. 9.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中,是密不可分的一个整体.通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形,又要用勾股定理求出边的长度,二者相辅相成,完成对问题的解决. 常见图形:ABC30°D CB A ADB CCB DA题型一:直接考查勾股定理 例1.在ABC ∆中,90C ∠=︒.⑴已知6AC =,8BC =.求AB 的长 ⑵已知17AB =,15AC =,求BC 的长 分析:直接应用勾股定理222a b c +=解:⑴10AB =⑵8BC题型二:应用勾股定理建立方程 例2.⑴在ABC ∆中,90ACB ∠=︒,5AB =cm ,3BC =cm ,CD AB ⊥于D ,CD = ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4,斜边长为15,则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ,斜边长为13cm ,则这个三角形的面积为分析:在解直角三角形时,要想到勾股定理,及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积.有时可根据勾股定理列方程求解 解:⑴4AC , 2.4AC BCCD AB⋅== DBAC⑵设两直角边的长分别为3k ,4k ∴222(3)(4)15k k +=,3k ∴=,54S =⑶设两直角边分别为a ,b ,则17a b +=,22289a b +=,可得60ab =1302S ab ∴==2cm例3.如图ABC ∆中,90C ∠=︒,12∠=∠, 1.5CD =, 2.5BD =,求AC 的长21DCBA分析:此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来 解:作DE AB ⊥于E , 12∠=∠,90C ∠=︒ ∴ 1.5DE CD == 在BDE ∆中90,2BED BE ∠=︒ Rt ACD Rt AED ∆≅∆ AC AE ∴=在Rt ABC ∆中,90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+,222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4.如图Rt ABC ∆,90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆,求阴影部分面积答案:6题型三:实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树,一棵高8cm ,另一棵高2cm ,两树相距8cm ,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢,至少飞了 mABCD E分析:根据题意建立数学模型,如图8AB =m ,2CD =m ,8BC =m ,过点D 作DE AB ⊥,垂足为E ,则6AE =m ,8DE =m在Rt ADE ∆中,由勾股定理得10AD答案:10m题型四:应用勾股定理逆定理,判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为a ,b ,c ,判定ABC ∆是否为Rt ∆① 1.5a =,2b =, 2.5c = ②54a =,1b =,23c =解:①22221.52 6.25a b +=+= ,222.5 6.25c ==∴ABC ∆是直角三角形且90C ∠=︒②22139b c +=,22516a =,222bc a +≠ABC ∴∆不是直角三角形 例7.三边长为a ,b ,c 满足10a b +=,18ab =,8c =的三角形是什么形状? 解:此三角形是直角三角形理由:222()264a b a b ab +=+-= ,且264c = 222a b c ∴+= 所以此三角形是直角三角形题型五:勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.已知ABC ∆中,13AB =cm ,10BC =cm ,BC 边上的中线12AD =cm ,求证:AB AC =证明:D CBAAD 为中线,5BD DC ∴==cm在ABD ∆中,22169AD BD += ,2169AB =222AD BD AB ∴+=, 90ADB ∴∠=︒,222169AC AD DC ∴=+=,13AC =cm ,AB AC ∴=。

勾股定理中考章节复习知识点+经典题型分析总结)

勾股定理中考章节复习知识点+经典题型分析总结)

AB Ca b c弦股勾勾股定理(知识点)【知识要点】1. 勾股定理的概念:如果直角三角形的两直角边长分别为a ,b ,斜边长为c ,那么 a 2+b 2=c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

2. 勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a ,b ,c 有下面关系:a 2+b 2=c 2,那么这个三角形是直角三角形,其中c 为斜边。

3. 勾股数:①满足a 2+b 2=c 2的三个正整数叫做勾股数(注意:若a ,b ,c 、为勾股数,那么ka ,kb ,kc 同样也是勾股数组。

)②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25;8,15,17等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数: 221,2,1n n n -+(2,n ≥n 为正整数);2221,22,221n n n n n ++++(n 为正整数) 2222,2,m n mn m n -+(,m n >m ,n 为正整数)4.命题、定理、证明⑴ 命题的概念:判断一件事情的语句,叫做命题。

理解:命题的定义包括两层含义:(1)命题必须是个完整的句子;(2)这个句子必须对某件事情做出判断。

⑵ 命题的分类(按正确、错误与否分) 真命题(正确的命题) 命题假命题(错误的命题)所谓正确的命题就是:如果题设成立,那么结论一定成立的命题。

所谓错误的命题就是:如果题设成立,不能证明结论总是成立的命题。

⑶ 公理:人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题,叫做公理。

⑷ 定理:用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。

⑸ 证明:判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。

⑹ 证明的一般步骤 ① 根据题意,画出图形。

② 根据题设、结论、结合图形,写出已知、求证。

③ 经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程。

5.判断直角三角形:(1)有一个角为90°的三角形是直角三角形。

2023年勾股定理知识点与常见题型总结

2023年勾股定理知识点与常见题型总结

勾股定理复习一.知识归纳1.勾股定理:直角三角形两直角边旳平方和等于斜边旳平方;表达措施:假如直角三角形旳两直角边分别为,,斜边为,那么a b c 222a b c +=2.勾股定理旳证明,常见旳是拼图旳措施 ①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会变化②根据同一种图形旳面积不一样旳表达措施,列出等式,推导出勾股定理常见措施如下:措施一:,4EFGH S S S ∆+=正方形正方形A B C D 2214()2ab b a c ⨯+-=,化简可证.措施二:四个直角三角形旳面积与小正方形面积旳和等于大正方形旳面积.四个直角三角形旳面积与小正方形面积旳和为 221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为因此222()2S a b a ab b =+=++222a b c +=措施三:,,化简得证1()()2S a b a b =+⋅+梯形2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形3.勾股定理旳合用范围:勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在旳数量关系,它只合用于直角三角形,因而在应用勾股定理时,必须明了所考察旳对象是直角三角形4.勾股定理旳应用:勾股定理可以协助我们处理直角三角形中旳边长旳计算或直角三角形中线段之间旳关系旳证明问题.在使用勾股定理时,必须把握直角三角形旳前提条件,理解直角三角形中,斜边和直角边各是什么,以便运用勾股定理进行计算,应设法添加辅助线(一般作垂线),构造直角三角形,以便对旳使用勾股定理进行求解.①已知直角三角形旳任意两边长,求第三边。

在中,,则,ABC ∆90C ∠=︒c =b =,a =②懂得直角三角形一边,可得此外两边之间旳数量关系cba HG FEDCBAbacbac cabcab a bccb aE D CBA③可运用勾股定理处理某些实际问题5.勾股定理旳逆定理 假如三角形三边长,,满足,那么这个三角形是直角三角形,其中为斜边。

初二数学下册勾股定理知识点及常考题型

初二数学下册勾股定理知识点及常考题型

初二数学下册勾股定理知识点及常考题型初二数学下册:勾股定理知识点及常考题型_三角形_关系_方法《勾股定理》知识点1:勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。

即:a²+b²=c²要点诠释:勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一。

其主要应用:(1)已知直角三角形的两边求第三边;(2)已知直角三角形的一边与另两边的关系,求直角三角形的另两边;(3)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题。

2:勾股定理的逆定理如果三角形的三边长:a、b、c,则有关系a²+b²=c²,那么这个三角形是直角三角形。

要点诠释:勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状。

运用这一定理时应注意:(1)首先确定最大边,不妨设最长边长为:c;(2)验证c2与a2+b2是否具有相等关系,若c²=a²+b²,则△ABC是以∠C为直角的直角三角形(若c²>a²+b²,则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形;若c²<a²+b²,则△ABC为锐角三角形)。

3:勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别:勾股定理是直角三角形的性质定理,而其逆定理是判定定理;联系:勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反,都与直角三角形有关。

4:互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,这样的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。

5:勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是:①图形经过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变;②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理。

勾股定理知识与题型总结及测试题含答案

勾股定理知识与题型总结及测试题含答案

勾股定理知识技能和题型归纳(一)——知识技能一、本章知识内容归纳1、勾股定理——揭示的是平面几何图形本身所蕴含的代数关系。

(1)重视勾股定理的叙述形式:①直角三角形直角边上的两个正方形的面积之和等于斜边上的正方形的面积.②直角三角形斜边长度的平方,等于两个直角边长度平方之和.从这两种形式来看,有“形的勾股定理”和“数的勾股定理”之分。

(2)定理的作用:①已知直角三角形的两边,求第三边。

②证明三角形中的某些线段的平方关系。

,2……的无理数线段的几③作长为n的线段。

(利用勾股定理探究长度为,3何作图方法,并在数轴上将这些点表示出来,进一步反映了数与形的互相表示,加深对无理数概念的认识。

)2、勾股定理的逆定理(1)勾股定理的逆定理的证明方法,通过构造一个三角形与直角三角形全等,达到证明某个角为直角的目的。

(2)逆定理的作用:判定一个三角形是否为直角三角形。

(3)勾股定理的逆定理是把数转化为形,是利用代数计算来证明几何问题。

要注意叙述及书写格式。

运用勾股定理的逆定理的步骤如下:①首先确定最大的边(如c)②验证22b a +与2c 是否具有相等关系:若222c b a =+,则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形。

若222c b a ≠+,则△ABC 不是直角三角形。

补充知识:当222c b a >+时,则是锐角三角形;当222c b a <+时,则是钝角三角形。

(4)通过总结归纳,记住一些常用的勾股数。

如:3,4,5;5,12,13;6,8,10;8,15,17;9,40,41;……以及这些数组的倍数组成的数组。

勾股数组的一般规律: ① 丢番图发现的:式子n m n m mn n m >+-(,2,2222的正整数) ② 毕达哥拉斯发现的:122,22,1222++++n n n n n (1>n 的整数) ③柏拉图发现的:1,1,222+-n n n (1>n 的整数)3、勾股定理与勾股定理逆定理的关系 (1)注意分清应用条件:勾股定理是由直角得到三条边的关系,勾股定理逆定理则是由边的关系来判断一个角是否为直角。

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第18章 勾股定理复习
一.知识归纳
1.勾股定理
内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;
表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么222a b c +=
勾股定理的由来:勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦.早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了“勾三,股四,弦五”形式的勾股定理,后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为:两直角边的平方和等于斜边的平方
2.勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法
用拼图的方法验证勾股定理的思路是
①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变
②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理
常见方法如下:
方法一:4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ,2214()2
ab b a c ⨯+-=,化简可证. c b
a H
G F
E
D
C
B A
方法二:
b a
c b a c
c
a b c a b
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422
S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++
所以222a b c +=
方法三:1()()2S a b a b =+⋅+梯形,2112S 222
ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形,化简得证
a b c
c
b a E D
C
B A
3.勾股定理的适用范围
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征,因而在应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形 4.勾股定理的应用
①已知直角三角形的任意两边长,求第三边
在ABC ∆中,90C ∠=︒
,则c
,b =
,a
②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系
③可运用勾股定理解决一些实际问题
5.勾股定理的逆定理
如果三角形三边长a ,b ,c 满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形,其中c 为斜边
①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较,若它们相等时,以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形;若222a b c +<,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是钝角三角形;若222a b c +>,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是锐角三角形;
②定理中a ,b ,c 及222a b c +=只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长a ,b ,c 满足222a c b +=,那么以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形,但是b 为斜边
③勾股定理的逆定理在用问题描述时,不能说成:当斜边的平方等于两条直角边的平方和时,这个三角形是直角三角形
6.勾股数
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即222a b c +=中,a ,b ,c 为正整数时,称a ,b ,c 为一组勾股数
②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等
③用含字母的代数式表示n 组勾股数:
221,2,1n n n -+(2,n ≥n 为正整数);
2221,22,221n n n n n ++++(n 为正整数)
2222,2,m n mn m n -+(,m n >m ,n 为正整数)
7.勾股定理的应用
勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.在使用勾股定理时,必须把握直角三角形的前提条件,了解直角三角形中,斜边和直角边各是什么,以便运用勾股定理进行计算,应设法添加辅助线(通常作垂线),构造直角三角形,以便正确使用勾股定理进行求解.
8..勾股定理逆定理的应用
勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形,在具体
推算过程中,应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较,切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论.
9.勾股定理及其逆定理的应用
勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中,是密不可分的一个整体.通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形,又要用勾股定理求出边的长度,二者相辅相成,完成对问题的解决. 常见图形:
A B C 30°
D C
B A A
D B C
C
B D A
题型一:直接考查勾股定理
例1.在ABC ∆中,90C ∠=︒.
⑴已知6AC =,8BC =.求AB 的长
⑵已知17AB =,15AC =,求BC 的长
分析:直接应用勾股定理222a b c +=
解:⑴10AB
⑵8BC ==
题型二:应用勾股定理建立方程
例2.
⑴在ABC ∆中,90ACB ∠=︒,5AB =cm ,3BC =cm ,CD AB ⊥于D ,CD =
⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4,斜边长为15,则这个三角形的面积为
⑶已知直角三角形的周长为30cm ,斜边长为13cm ,则这个三角形的面积为
分析:在解直角三角形时,要想到勾股定理,及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积.有时可根据勾股定理列方程求解
解:
⑴4AC , 2.4AC BC CD AB
⋅=
= D
B A C
⑵设两直角边的长分别为3k ,4k ∴222(3)(4)15k k +=,3k ∴=,54S =
⑶设两直角边分别为a ,b ,则17a b +=,22289a b +=,可得60ab =1302
S ab ∴==2cm 例3.如图ABC ∆中,90C ∠=︒,12∠=∠, 1.5CD =, 2.5BD =,求AC 的长
2
1
E D
C
B
A
分析:此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来
解:作DE AB ⊥于E ,
12∠=∠,90C ∠=︒
∴ 1.5DE CD ==
在BDE ∆中
90,2BED BE ∠=︒=
Rt ACD Rt AED ∆≅∆
AC AE ∴=
在Rt ABC ∆中,90C ∠=︒
222AB AC BC ∴=+,222()4AE EB AC +=+3AC ∴=
例4.如图Rt ABC ∆,90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆,求阴影部分面积
答案:6
题型三:实际问题中应用勾股定理
例5.如图有两棵树,一棵高8cm ,另一棵高2cm ,两树相距8cm ,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢,至少飞了 m
A
B C
D E
分析:根据题意建立数学模型,如图8AB =m ,2CD =m ,8BC =m ,过点D 作DE AB ⊥,垂足为E ,则6AE =m ,8DE =m
在Rt ADE ∆
中,由勾股定理得10AD =
答案:10m
题型四:应用勾股定理逆定理,判定一个三角形是否是直角三角形
例6.已知三角形的三边长为a ,b ,c ,判定ABC ∆是否为Rt ∆ ① 1.5a =,2b =, 2.5c = ②54a =,1b =,23
c = 解:①22221.52 6.25a b +=+=,222.5 6.25c ==
∴ABC ∆是直角三角形且90C ∠=︒ ②22139b c +=,22516
a =,222
b
c a +≠ABC ∴∆不是直角三角形 例7.三边长为a ,b ,c 满足10a b +=,18ab =,8c =的三角形是什么形状? 解:此三角形是直角三角形 理由:222()264a b a b ab +=+-=,且264c =
222a b c ∴+= 所以此三角形是直角三角形
题型五:勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用
例8.已知ABC ∆中,13AB =cm ,10BC =cm ,BC 边上的中线12AD =cm ,求证:AB AC =
证明:
D C
B A
AD 为中线,5BD DC ∴==cm
在ABD ∆中,22169AD BD +=,2169AB =222AD BD AB ∴+=, 90ADB ∴∠=︒,222169AC AD DC ∴=+=,13AC =cm ,AB AC ∴=。

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