2013年北京高考数学试题及答案(文科)

2013年北京高考数学试题及答案(文科)
一、选择题
1．已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{x|－1≤x<1}，则A∩B＝() A．{0} B．{－1，0}
C．{0，1} D．{－1，0，1}
1．B[解析] ∵－1∈B，0∈B，1∉B，∴A∩B＝{－1，0}，故选B. 2．设a，b，c∈，且a>b，则()
A．ac>bc B.1
a<
1
b C．a
2>b2D．a3>b3
2．D[解析] ∵函数y＝x3在上是增函数，a>b，
∴a3>b3.
3．，下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是()
A．y＝1
x B．y＝e
－x
C．y＝－x2＋1 D．y＝lg |x|
3．C[解析] 对于A，y＝1
x是奇函数，排除．对于B，y＝e
－x既不是奇函数，
也不是偶函数，排除．对于D，y＝lg |x|是偶函数，但在(0，＋∞)上有y＝lg x，此时单调递增，排除．只有C符合题意．
4．在复平面内，复数i(2－i)对应的点位于()
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
4．A[解析] ∵i(2－i)＝2i＋1，∴i(2－i)对应的点为(1，2)，因此在第一象限．
5．在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝1
3，则sin B＝()
A.1
5 B.
5
9
C.
5
3D．1
5．B[解析] 由正弦定理得
a
sin A＝
b
sin B，即
3
1
3
＝
5
sin B，解得sin B＝
5
9.
6．执行如图1－1所示的程序框图，输出的S值为()
图1－1
A．1 B.2 3
C.13
21 D.
610
987
6．C[解析] 执行第一次循环时S＝12＋1
2×1＋1＝
2
3，i＝1；执行第二次循环时
S＝⎝
⎛
⎭
⎪
⎫2
3
2
＋1
2×2
3＋1
＝
13
21，i＝2，此时退出循环，故选C.
7．，双曲线x2－y2
m＝1的离心率大于2的充分必要条件是()
A．m>1
2B．m≥1
C．m>1 D．m>2
7．C[解析] 双曲线的离心率e＝c
a＝1＋m>2，解得m>1.故选C.
8．，如图1－2，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有()
图1－2
A．3个B．4个
C．5个D．6个
8．B[解析] 设棱长为1，∵BD1＝3，∴BP＝
3
3，D1P＝
2 3
3.联结AD1，
B1D1，CD1，得△ABD1≌△CBD1≌△B1BD1，
∴∠ABD 1＝∠CBD 1＝∠B 1BD 1，且cos ∠ABD 1＝3
3， 联结AP ，PC ，PB 1，则有△ABP ≌△CBP ≌△B 1BP ，
∴AP ＝CP ＝B 1P ＝6
3，同理DP ＝A 1P ＝C 1P ＝1， ∴P 到各顶点的距离的不同取值有4个．
9． 若抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1，0)，则p ＝________；准线方程为________.
9．2 x ＝－1 [解析] ∵抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1，0)，∴p
2＝1，解得p ＝2，∴准线方程为x ＝－1.
10．， 某四棱锥的三视图如图1－3所示，该四棱锥的体积为________．
图1－3
10．3 [解析] 正视图的长为3，侧视图的长为3，因此，该四棱锥底面是
边长为3的正方形，且高为1，因此V ＝1
3×(3×3)×1＝3.
11． 若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________．
11．2 2n ＋1－2 [解析] ∵a 3＋a 5＝q (a 2＋a 4)，∴40＝20q ，∴q ＝2，∴a 1(q ＋q 3
)＝20，∴a 1＝2，∴S n ＝2（1－2n ）1－2
＝2n ＋1
－2.
12． 设D 为不等式组⎩⎨⎧x ≥0，
2x －y ≤0，x ＋y －3≤0
表示的平面区域，区域D 上的点与点(1，
0)之间的距离的最小值为________．
12.
2 5
5 [解析] 在平面直角坐标系中画出可行域，如图所示．根据可行域可知，区域D 内的点到点(1，0)的距离最小值为点(1，0)到直线2x －y ＝0的距离，
即d ＝
|2－0|5
＝2 5
5. 13． 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥1，
2x ，x <1
的值域为________．
13．(－∞，2) [解析] 函数y ＝log 1
2x 在(0，＋∞)上为减函数，当x ≥1时，函数y ＝log 1
2x 的值域为(－∞，0]；函数y ＝2x 在上是增函数，当x <1时，函数y ＝2x 的值域为(0，2)，所以原函数的值域为(－∞，2)．
14． 已知点A (1，－1)，B (3，0)，C (2，1)．若平面区域D 由所有满足AP →＝
λAB
→＋μAC →(1≤λ≤2，0≤μ≤1)的点P 组成，则D 的面积为________． 14．3 [解析] 设P (x ，y )，∴AP →＝(x －1，y ＋1)，AB →＝(2，1)，AC →＝(1，2)．∵AP →
＝λAB
→＋μAC →， ∴⎩⎨⎧x －1＝2λ＋μ，y ＋1＝λ＋2μ，解得⎩⎨⎧3λ＝2x －y －3，－3μ＝x －2y －3.
又1≤λ≤2，0≤μ≤1，∴⎩⎨⎧6≤2x －y ≤9，0≤x －2y ≤3，此不等式组表示的可行域为平行四
边形，如图所示，
由于A (3，0)，B (5，1)，所以|AB |＝（5－3）2＋（1－0）2＝5，点B (5，1)到直线x －2y ＝0的距离d ＝
35，∴其面积S ＝5×3
5
＝3. 15．，，， 已知函数f (x )＝(2cos 2
x －1)sin 2x ＋12cos 4x . (1)求f (x )的最小正周期及最大值；
(2)若α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2，π，且f (α)＝22，求α的值．
15．解：(1)因为f (x )＝(2cos 2 x －1)sin 2x ＋1
2cos 4x ＝cos 2x ·sin 2x ＋1
2cos 4x ＝1
2(sin 4x ＋cos 4x )
＝22sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫4x ＋π4， 所以f (x )的最小正周期为π2，最大值为2
2.
(2)因为f (α)＝22，所以sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫4α＋π4＝1.
因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2，π，所以4α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫9π4，17π4. 所以4α＋π4＝5π2.故α＝9π
16. 16．，， 图1－4是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．
图1－4
(1)求此人到达当日空气质量优良的概率；
(2)求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；
(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)
16．解：(1)在3 月1日至3 月13日这13天中，1日、2日、3日、7日、
12日、13日共6天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率是6
13.
(2)根据题意，事件“此人在该市停留期间只有1天空气 重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日，或5日，或7日，或8日”．
所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为4
13. (3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大． 17．，， 如图1－5，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面P AD ⊥底面ABCD ，P A ⊥AD ，E 和F 分别是CD 和PC 的中点．求证：
(1)P A ⊥底面ABCD ； (2)BE ∥平面P AD ；
(3)平面BEF⊥平面PCD.
图1－5
17．证明：(1)因为平面P AD⊥底面ABCD，且P A垂直于这两个平面的交线AD，所以P A⊥底面ABCD.
(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，
所以AB∥DE，且AB＝DE，
所以ABED为平行四边形，
所以BE∥AD.
又因为BE⊄平面P AD，AD⊂平面P AD，
所以BE∥平面P AD.
(3)因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，
所以BE⊥CD，AD⊥CD.
由(1)知P A⊥底面ABCD，
所以P A⊥CD.
又因为AD∩P A＝A，所以CD⊥平面P AD，
所以CD⊥PD.
因为E和F分别是CD和PC的中点，
所以PD∥EF，
所以CD⊥EF，
所以CD⊥平面BEF，
所以平面BEF⊥平面PCD.
18．，，，已知函数f(x)＝x2＋x sin x＋cos x.
(1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值；
(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围．
18．解：由f(x)＝x2＋x sin x＋cos x，得
f′(x)＝x(2＋cos x)．
(1)因为曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，所以f′(a)＝a(2＋cos a)＝0，b＝f(a)．
解得a＝0，b＝f(0)＝1.
(2)令f′(x)＝0，得x＝0.
f(x)与f′(x)的情况如下：
x (－∞，0)0(0，＋∞)
f′(x)－0＋
f(x)1
所以函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，f(0)＝1是f(x)的最小值．
当b≤1时，曲线y＝f(x)与直线y＝b最多只有一个交点；
当b >1时，f (－2b )＝f (2b )≥4b 2－2b －1>4b －2b －1>b ，f (0)＝1<b ， 所以存在x 1∈(－2b ，0)，x 2∈(0，2b )，使得f (x 1)＝f (x 2)＝b .
由于函数f (x )在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调，所以当b >1时，曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 有且仅有两个不同交点．
综上可知，如果曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 有两个不同交点，那么b 的取值范围是(1，＋∞)．
19．，， 直线y ＝kx ＋m (m ≠0)与椭圆W ：x 24＋y 2
＝1相交于A ，C 两点，O 是坐标原点．
(1)当点B 的坐标为(0，1)，且四边形OABC 为菱形时，求AC 的长；
(2)当点B 在W 上且不是W 的顶点时，证明：四边形OABC 不可能为菱形．
19．解：(1)因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分．
所以可设A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
t ，12，代入椭圆方程得t 24＋14＝1，即t ＝±3.
所以|AC |＝2 3.
(2)证明：假设四边形OABC 为菱形．
因为点B 不是W 的顶点，且AC ⊥OB ，所以k ≠0.
由⎩⎨⎧x 2＋4y 2
＝4，y ＝kx ＋m
消y 并整理得 (1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则
x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m 1＋4k 2. 所以AC 的中点为M ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2.
因为M 为AC 和OB 的交点，且m ≠0，k ≠0，所以直线OB 的斜率为－1
4k . 因为k ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－14k ≠－1，所以AC 与OB 不垂直． 所以OABC 不是菱形，与假设矛盾．
所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形． 20．，，， 给定数列a 1，a 2，…，a n ，对i ＝1，2，…，n －1，该数列前i 项的最大值记为A i ，后n －i 项a i ＋1，a i ＋2，…，a n 的最小值记为B i ，d i ＝A i －B i .
(1)设数列{a n }为3，4，7，1，写出d 1，d 2，d 3的值； (2)设a 1，a 2，…，a n (n ≥4)是公比大于1的等比数列，且a 1>0.证明：d 1，d 2，…，d n －1是等比数列；
(3)设d 1，d 2，…，d n －1是公差大于0的等差数列，且d 1>0，证明：a 1，a 2，…，a n －1是等差数列．
20．解：(1)d 1＝2，d 2＝3，d 3＝6.
(2)证明：因为a1>0，公比q>1，
所以a1，a2，…，a n是递增数列．
因此，对i＝1，2，…，n－1，A i＝a i，B i＝a i
＋1
. 于是对i＝1，2，…，n－1，
d i＝A i－B i＝a i－a i＋1＝a1(1－q)q i－1.
因此d i≠0且d i＋1
d i＝q(i＝1，2，…，n－2)，
即d1，d2，…，d n
－1
是等比数列．
(3)证明：设d为d1，d2，…，d n－1的公差．
对1≤i≤n－2，因为B i≤B i
＋1，d>0，所以A i
＋1
＝B i
＋1
＋d i
＋1
≥B i＋d i＋d>B i＋
d i＝A i.
又因为A i
＋1＝max{A i，a i
＋1
}，所以a i＋1＝A i＋1>A i≥a i.
从而a1，a2，…，a n
－1
是递增数列，因此A i＝a i(i＝1，2，…，n－1)．又因为B1＝A1－d1＝a1－d1<a1，所以B1<a1<a2<…<a n－1.
因此a n＝B1.
所以B1＝B2＝…＝B n
－1
＝a n.
所以a i＝A i＝B i＋d i＝a n＋d i.
因此对i＝1，2，…，n－2都有a i
＋1－a i＝d i
＋1
－d i＝d，
即a1，a2，…，a n
－1
是等差数列．。