(条件极值)多元函数的极值与拉格朗日乘数法
多元函数求极值(拉格朗日乘数法)-8页文档资料
第八节 多元函数的极值及其求法教学目的：了解多元函数极值的定义，熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定方法、求极值方法，并能够解决实际问题。
熟练使用拉格朗日乘数法求条件极值。
教学重点：多元函数极值的求法。
教学难点：利用拉格朗日乘数法求条件极值。
教学内容：一、 多元函数的极值及最大值、最小值定义 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于),(00y x 的点，如果都适合不等式则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极大值00(,)f x y 。
如果都适合不等式 则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极小值),(00y x f ．极大值、极小值统称为极值。
使函数取得极值的点称为极值点。
例1 函数2243y x z +=在点（0，0）处有极小值。
因为对于点（0，0）的任一邻域内异于(0，0)的点，函数值都为正，而在点（0，0）处的函数值为零。
从几何上看这是显然的，因为点（0，0，0）是开口朝上的椭圆抛物面2243y x z +=的顶点。
例２ 函数22y x z +-=在点（0，0）处有极大值。
因为在点（0，0）处函数值为零，而对于点（0，0）的任一邻域内异于（0，0）的点，函数值都为负，点（0，0，0）是位于xOy 平面下方的锥面22y x z +-=的顶点。
例３ 函数xy z =在点（0，0）处既不取得极大值也不取得极小值。
因为在点（0，0）处的函数值为零，而在点（0，0）的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点。
定理1（必要条件） 设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：证 不妨设),(y x f z =在点),(00y x 处有极大值。
依极大值的定义，在点),(00y x 的某邻域内异于),(00y x 的点都适合不等式特殊地，在该邻域内取0y y =，而0x x ≠的点，也应适合不等式这表明一元函数f ),(0y x 在0x x =处取得极大值，因此必有类似地可证从几何上看，这时如果曲面),(y x f z =在点),,(000z y x 处有切平面，则切平面成为平行于xOy 坐标面的平面00=-z z 。
多元函数极值
提示: 当(x, y)=(0, 0)时, z=0, 而当(x, y)≠(0, 0) 时, z>0. 因此z=0是函数的极小值.
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一,多元函数的极值及最大值,最小值
极值的定义 设函数z=f(x, y)在点(x0, y0)的某个邻域内有定义, 如果对 于该邻域内任何异于(x0, y0)的点(x, y), 都有 f(x, y)<f(x0, y0)(或f(x, y)>f(x0, y0)), 则称函数在点(x0, y0)有极大值(或极小值)f(x0, y0). 例2 函数z = x2 + y2 在 (0, 0)处有极大值 点 .
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二,条件极值 拉格朗日乘数法
条件极值 对自变量有附加条件的极值称为条件极值. 求条件极值的方法 (1)将条件极值化为无条件极值 有时可以把条件极值问题化为无条件极值问题. 例如, 求V=xyz在条件2(xy+yz+xz)=a2下的最大值.
a2 2xy 由条件2(xy+ yz + xz)=a2 , 解得z = 得 , 于是 2(x+ y) xy a2 2xy V= ( ). 2 (x+ y) 这就把求条件极值问题转化成了求无条件极值问题.
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二,条件极值 拉格朗日乘数法
条件极值 对自变量有附加条件的极值称为条件极值. 求条件极值的方法 (1)将条件极值化为无条件极值 (2)用拉格朗日乘数法 在多数情况下较难把条件极值转化为无条件极值, 需要 用一种求条件极值的专用方法, 这就是拉格朗日乘数法. 下面导出函数z=f(x, y)在条件(x, y)=0下取得的极值的必 要条件. 假定f(x, y)及(x, y)有各种所需要的条件.
多元函数的极值与条件极值
多元函数的极值与条件极值在数学分析中，极值是一个重要的概念。
对于多元函数而言，我们可以通过求取偏导数或利用拉格朗日乘数法来确定其极值点。
在这篇文章中，我们将探讨多元函数的极值以及条件极值。
一、多元函数的极值在开始讨论多元函数的极值之前，我们先来回顾一元函数的极值。
对于一个实数域上的函数f(x)，如果存在x=a，使得在a的某个去心邻域内，函数值小于（或大于）f(a)，则称f(a)是函数f的一个极大（或极小）值。
同样地，我们可以将这一概念推广到多元函数上。
考虑一个定义在n维欧几里得空间上的函数f(x₁,x₂,...,xₙ)，其中x₁,x₂,...,xₙ是实数。
我们称向量x=(x₁,x₂,...,xₙ)为函数f的一个驻点，如果在x的某个邻域内，函数值在x点取得极值。
对于多元函数，我们需通过求取偏导数来判断其极值点。
偏导数的定义如下：对于函数f(x₁,x₂,...,xₙ)，它在x=(a₁,a₂,...,aₙ)处的偏导数∂f/∂xᵢ (i=1,2,...,n)是当变量xᵢ在点(x₁,x₂,...,xₙ)处以及其他变量a₁,a₂,...,aₙ保持不变时的导数。
求解偏导数后，我们可以通过将偏导数相应的变量取0，得到一组等式，从而解得极值点。
二、多元函数条件极值在实际问题中，我们经常会遇到有约束条件的优化问题，这就引出了条件极值的概念。
对于一个满足一组约束条件的多元函数，我们要在满足条件的前提下，找到它的极值点。
拉格朗日乘数法是求解带有约束条件的多元函数极值的常用方法。
设函数f(x₁,x₂,...,xₙ)的约束条件为g(x₁,x₂,...,xₙ)=0。
首先构建拉格朗日函数L(x₁,x₂,...,xₙ,λ)=f(x₁,x₂,...,xₙ)+λg(x₁,x₂,...,xₙ)，其中λ为拉格朗日乘数。
然后，求解函数L的偏导数∂L/∂xᵢ(i=1,2,...,n)和∂L/∂λ，并将它们置为0。
解这组方程，即可得到满足条件的极值点。
多元函数的条件极值和拉格朗日乘数法
多元函数的条件极值和拉格朗日乘数法、条件极值、拉格朗日乘数法1. 转化为无条件极值在讨论多元函数极值问题时，如果遇到除了在定义域中寻求驻点（可能的极值点）外，对自变量再无别的限制条件，我们称这类问题为函数的无条件极值。
如求的极值，就是无条件极值问题。
然而在实际中，我们也会遇到另一类问题。
比如，讨论表面积为的长方体的最大体积问题。
若设长方体的三度为,则体积，同时应满足于是我们的问题的数学含义就是：当自变量满足条件下取何值时能使函数取得最大值。
（这里我们暂不论证指出这个最大值就是极大值）。
一般抽象出来，可表为如下形式：即函数在条件下的取极大（小）值问题。
今后，我们称这种问题为函数的条件极值问题。
对自变量有附加条件的极值称为条件极值。
一般称为目标函数，为约束条件( 或约束方程) 。
对于有些实际问题, 可以把条件极值问题化为无条件极值问题。
例如上述问题, 由条件,解得,于是得V .只需求V 的无条件极值问题。
例6 求函数在约束条件下的条件极值。
解由约束条件可解出代入目标函数，有：令得驻点由于当时，，当时，在时取极大值，又当时，由约束条件可解出，而，此例说明条件极值可有如下一种解法：如果能从约束方程中解出一个自变量，代入目标函数后，就可转化为无条件极值。
通过讨论无条件极值可得问题的解答。
但在很多实际问题中，往往不容易从约束条件中解出一个自变量，从而上述方法就失效了。
因此，对条件极值我们应讨论一般解法。
2. 关于条件极值的拉格朗日乘数法在很多情形下, 将条件极值化为无条件极值并不容易。
需要另一种求条件极值的专用方法, 这就是拉格朗日乘数法。
拉格朗日乘数法：要找函数z = f ( x , y ) 在条件j( x , y ) = 0 下的可能极值点, 可以先构成辅助函数F ( x , y ) = f ( x , y ) + lj ( x , y) , 其中l 为某一常数。
然后解方程组.由这方程组解出x , y 及l , 则其中( x , y )就是所要求的可能的极值点。
(条件极值)多元函数的极值与拉格朗日乘数法
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
例 已知长方体长宽高的和为18, 问长、宽、高 各取什么值时长方体的体积最大？ 解 设长方体的长、宽、高分别为x、y、z ,
由题意知，周长： x y z 18
长方体的体积为 V xyz
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下面要介绍解决条件极值问题的一般 方法: 拉格朗日乘数法
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法: 现要寻求目标函数 z f ( x, y ) 在约束条件 ( x , y ) 0
利用隐函数的概念与求导法 (1)
(2)
下取得 极值的必要条件. 如函数(1)在( x0 , y0 ) 取得所求的极值, 那末首先有 ( x0 , y0 ) 0 (3) 由条件 ( x, y ) 0 确定y是x的隐函数 y y( x ). 不必将它真的解出来,则 z f ( x , y ( x )),于是函数(1) 在( x0 , y0 ) 取得所 求的极值. 即, x x0 取得极值.
则f ( x , y )在点( x0 , y0 ) 处是否取得极值的条件如下:
(1) AC B 2 0时有极值,
当A 0时有极大值, 当A 0时有极小值;
(2) AC B 2 0时没有极值; (3) AC B 2 0时 可能有极值,也可能无极值.
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法
z f ( x , y ( x ))在 x x0 取得极值.
z f ( x , y ) (1) ( x , y ) 0 ( 2)
由一元可导函数取得极值的必要条件知:
f dy f dz 0 (4) x x y 0 dx x x 0 x0 dx x x0 x x y y0 y y0 ( x, y ) 0 x ( x 0 , y0 ) dy 其中 代入(4)得: y ( x 0 , y0 ) dx x x0 ( x0 , y0 ) 0 ( 3) x ( x 0 , y0 ) f x ( x 0 , y0 ) f y ( x 0 , y0 ) 0 ( 5) y ( x 0 , y0 ) (3) ,(5)两式 就是函数(1)在条件(2)下的在( x0 , y0 ) 取得极值的必要条件.
浅谈拉格朗日乘数法在条件极值的应用
浅谈拉格朗日乘数法在条件极值的应用作者：李强来源：《现代职业教育.高职本科》 2018年第7期［摘要］求多元函数最值问题和一元函数很类似，一元函数是通过求导数来判断函数的走势，找出极值，进一步找出最值，类似的，多元函数的最值也是通过求多元函数的极值，进一步找出最值。
以二元函数为例，先来讨论多元函数的无条件极值问题，再考虑有附加条件的极值，无条件极值问题往往讨论的是其极值点的搜索范围是目标函数的自然定义域，但是在生产实际中还有很多极值问题，其极值点的搜索范围还受到各自不同条件的限制，例如，一个直角三角形斜边长为l，自变量为两个直角边长x，y，现在要求直角三角形的周长最大值为多少，所以自变量x，y 之间还必须满足x2+y2=l2这个附加条件。
像这种对自变量有附加条件的极值称为条件极值，无附加条件的极值为无条件极值。
考虑到将条件极值化为无条件极值并不是很容易，更多的条件极值还无法变成无条件极值，所以要寻找一种“万能”的求条件极值的方法，该方法可以直接寻求条件值的方法，可以不必先把条件极值化为无条件极值的问题，这种方法就是拉格朗日乘数法。
［关键词］多元函数；条件极值；拉格朗日条件极值；数学建模［中图分类号］O172 ［文献标志码］A ［文章编号］2096-0603（2018）19-0110-02一、无条件极值的求法通常我们利用偏导数来解决多元函数的极值问题.下面我们首先用《高等数学》中多元函数微积分的两个重要定理，推导无条件极值的求法.定理1 设函数z=f（x，y）在点（x0，y0）具有偏导数，且在点（x0，y0）处有极值点，则有fx（x0，y0）=0，fy（x0，y0）=0；定理2 设函数z=f（x，y）在点（x0，y0）某邻域内连续且具有一阶及二阶连续偏导数，又fx=（x0，y0），fy （ x0，y0）=0 令fx（x x0，y0）=A，fxy（x0，y0）=B，fy（y x0，y0）=C，则z=f（x，y）且在点（x0，y0）处是否取极值条件如下:（1）AC-B2跃0 时具有极值，且当A跃0 时有极小值，当A 约0 时有极大值；（2）AC-B2约0 时没有极值；（3）AC-B2=0 时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论.[1]通过上述定理我们给出具有的多元函数无条件极值的求法，下面我以二元有连续偏导数的多元函数z=f（x，y）为例叙述如下：首先，解方程组fx （x，y）=0，fy （x，y）=0 求同时满足两个方程的解称为驻点.通过定理1 可知极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点.其次，对每一个驻点（x0，y0），利用定理2 求出它们的二阶偏导数的值A，B 和C.最后，判断出AC-B2的符号，利用定理2的结论判定驻点（x0，y0）是不是极值、是极大值还是极小值，再代入z=f（x，y）求出极值大小.下面我们分别用一个数学例子和一个经济学例子来说明这种方法.a.求函数f（x，y）=x3-y3+3x2+3y2-9x 的极值.解：fx （x，y）=3x2+6x-9=0fy （x，y）=-3y2+6y=0，求出的驻点为（1，2），（-3，0），（1 ，0 ），（-3，2）.再二阶偏导数为：fx（x x，y）=6x+6，fx（y x，y）=0，fy（y x，y）=-6y+6=0；1.点（1，2）处，AC-B2约0 所以（1，2）不是极值；2.点（-3，0）处，AC-B2约0所以（-3，0）不是极值；3.点（1，0）处，AC-B2跃0，A跃0 所以函数在（1，0）处有极小值（f 1，0）=-5；4.点（-3，2）处，AC-B2跃0，A 约0 所以函数在（-3，2）处有极大值f（-3，2）=31.下面我再考虑条件极值在实际生产中的应用，华为技术有限公司生产的一款手机，同时在国内和国外两个市场销售，销售价格分别为p1，p2销售量分别为q1，q2，根据经济学的知识我们知道需求函数分别为:q1=24-0.2p1，q2=10-0.05p2，总利润函数为C=35+40（q1+q2）.试问:华为技术有限公司如何确定国内外的销售价格，能使其获得利润最大？最大总利润为多少？解:总收入函数为R=p1q1+p2q2=24p1-0.2p21+10p2-0.05p22，总利润函数L=C-R=32p1-0.2p21+12p2-0.05p22-1395，分别对q1，q2 求偏导数得方程组Lp1=32-0.4p1=0，Lp2=12-0.1p2=0，解得：q1=80，q2=120，由问题可知，华为技术有限公司获得利润最大的市场售价必定存在，故当q1=80，q2=120 时大家获得利润最大，为605.二、拉格朗日乘数法求条件极值上面所讨论的极值问题，对函数的自变量，除了限制在函数的定义域内以外，并无其他条件，所以有时候称为无条件极值.但在实际问题中，有时会遇到对函数的自变量还有附加条件的极值问题.例如，一个直角三角形斜边长为l，自变量为两个直角边长x1，y，现在要求直角三角形的周长最大值为多少？所以自变量x，y之间还必须满足x2+y2=l2这个附加条件，这种加了附加条件的问题我们称条件极值问题.下面我们先考虑化为无条件极值问题来求解，再考虑拉格朗日乘数法来求极值.三、拉格朗日乘数法在生产生活中的应用下面，我们利用拉格朗日乘数法建立一个在经济学中关于市场最优价格的数学模型。
东华大学《高等数学AⅡ》课件 第八章 多元函数的极值
例6. 要设计一个容量为 V0 的长方体开口水箱, 试问 水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？
解: 设 x , y , z 分别表示长、宽、高,则问题为求x , y ,
z 使在条件 x y z = V0 下水箱表面积 S = 2(xz + y z) + x y
最小.
令 F = 2(xz + yz) + x y + (x yz −V0 )
求出实数解，得所有驻点. 第二步 对于每一个驻点(x0, y0),
求出二阶偏导数的值A、B 、C. 第三步 定出AC−B2的符号，再判定是否是极值.
例1. 求函数 解: 第一步 求驻点.
的极值.
解方程组
得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) .
第二步 判别. 求二阶偏导数
多元函数的极值 （取得极值的必要条件、充分条件） 多元函数的最值 拉格朗日乘数法
பைடு நூலகம்
B
C
f xx (x, y) = 6x + 6, f xy (x, y) = 0, f yy (x, y) = −6 y + 6
A
在点(1,0) 处
AC − B2 = 12 6 0, A 0,
为极小值;
在点(1,2) 处
AC − B2 = 12 (−6) 0,
不是极值;
在点(−3,0) 处
无条件极值: 对自变量只有定义域限制 极值问题
条 件 极 值 : 对自变量除定义域限制外,
还有其它条件限制
条件极值的求法:
方法1 代入法. 例如 ,
在条件(x, y) = 0下, 求函数 z = f (x, y) 的极值
用拉格朗日数乘法求条件极值
用拉格朗日数乘法求条件极值拉格朗日乘数法是一种在条件极值问题中常用的数学方法。
它适用于多元函数在一定约束条件下求极值的情况，能够帮助我们找到目标函数在约束条件下取得极值的点。
下面我们将详细介绍拉格朗日乘数法的原理和应用，并用一个具体的例子来说明。
首先，我们来介绍拉格朗日乘数法的原理。
假设我们要求一个多元函数f(f_1,f_2,…,f_f)在一定约束条件下的极值，即要求出f=(f_1,f_2,…,f_f)使得f(f)取得最大或最小值。
而约束条件可以用等式的形式表示，即f(f_1,f_2,…,f_f)=0。
为了求解这个问题，我们引入拉格朗日乘子f，将约束条件加入目标函数的表达式中，并构造一个新的函数f(f_1,f_2,…,f_f,f)=f(f_1,f_2,…,f_f)+ff(f_1,f _2,…,f_f)。
接下来，我们需要求解f(f_1,f_2,…,f_f,f)对各个自变量f_1,f_2,…,f_f和f的偏导数，并令其等于零，即求解以下方程组：∂f/∂f_1=0,∂f/∂f_2=0,…∂f/∂f_f=0,∂f/∂f=0.我们解得的解集即为目标函数在约束条件下的可能极值点。
下面我们用一个生动的例子来说明拉格朗日乘数法的应用。
假设我们要求函数f(f,f)=f^2+f^2的最小值，且约束条件为f+f=1。
我们首先构造拉格朗日函数f(f,f,f)=f^2+f^2+f(f+f−1)。
然后通过求解以下方程组来求解目标函数的极值点：∂f/∂f=2f+f=0,∂f/∂f=2f+f=0,∂f/∂f=f+f−1=0.解方程组得到f=1/2，f=1/2，f=−1。
将得到的解f=1/2，f=1/2代入f(f,f)中，可得到最小值为1/2。
通过这个例子，我们可以看出，拉格朗日乘数法能够在约束条件下帮助我们找到函数的极值点。
在实际中，拉格朗日乘数法常常被应用于经济学、物理学、工程学等领域中的优化问题求解。
综上所述，拉格朗日乘数法是一种强大的数学工具，可以用于求解多元函数在一定约束条件下的极值。
条件极值和拉格朗日乘数法的教学体会
条件极值和拉格朗日乘数法的教学体会作者：王静，杨人子来源：《教育教学论坛》2013年第40期摘要：文章给出了高等数学教材中关于多元函数条件极值的Lagrange乘数法的几何解释，并对典型例题的解法做了深入探讨。
关键词：条件极值；Lagrange乘数法；几何解释中图分类号：G642.41？摇文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）40-0083-02多元函数的极值问题是多元函数微分学的重要内容。
同一元函数极值一样，多元函数的极值问题可以由多元函数的微分法求解。
多元函数的极值有两类：一类是目标函数中各个自变量是独立变化的，没有附加条件，寻求函数极值点的范围是目标函数的定义域，这种极值问题称为无条件极值；而在实际问题中经常会遇到函数的自变量会附加某些限制条件，称为条件极值。
一般的条件极值问题为：求函数z=f（x，y）在约束条件φ（x，y）=0下的极值。
在假定所讨论的区域内，函数（x，y），φ（x，y）。
均具有连续偏导数，假设φy（x，y）≠0，可将y看作由方程φ（x，y）=0确定的x的函数，记y=ψ（x）。
于是可推出z=f（x，ψ（x））的无条件极值了，因而在极点处■=0。
现在■=fx（x，y）+fy（x，y）■，而■=-■，所以■=fx（x，y）-fy（x，y）■。
因此极值点满足fx（x，y）-fy（x，y）■=0，φ（x，y）=0。
若令λ=-■，于是引入了Lagrange乘数法：构造Lagrange函数：F（x，y，λ）=f（x，y）+λφ（x，y），令它的三个偏导数为零，得：fx（x，y）+λφx（x，y）=0fy（x，y）+λφy（x，y）=0φ（x，y）=0解得x0，y0，λ0，则其中P0（x0，y0）就是可能的极值点。
拉格朗日乘数法使我们不必解方程φ（x，y）=0转化成无条件极值去做，因为一般情况下化为无条件极值是很困难的。
要让学生知道这是学习拉格朗日乘数法的原因。
对于λ这个数乘因子，学生在初学时感到很困惑。
条件极值问题与Lagrange乘数法
( 0 a 2), 当 (x, y, z) S, 且 0 x , 0 y , 0 z 时, 使得
f (x, y,z) 3 a . 又设
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而 f xx 0 ，所以 (0,0) 点是 f 的极小值点，极小值为 f (0,0) 0 。
再考察函数 f 在 D 的边界{( x, y) | x2 y 2 1}上的极值，
这是条件极值问题。
为此作 Lagrange 函数 L(x, y, ) ax2 2bxy cy 2 (x2 y 2 1) ，
在条件 x yz a3(a 0) 下的最小值, 并由此导出相
应的不等式.
解设
L 1 1 1 (xyz a3),x yz并使Lx1
x2 yz 0,
Ly 1 y2 xz 0,
Lz 1 z2 x y 0,
L
xyz
a3
0.
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由此方程组易得 x y z a, 并有 f (a,a,a) 3 a . 下面给出 3 a 是条件最小值的理由.
使在条件 x yz V 下水箱表面积 S 2( x z yz) x y
最小.
令 L 2( x z yz) x y ( x yz V )
解方程组
2z y yz 0
⑴
2z x xz 0
⑵
2( x y) x y 0
⑶
xyz V 0
⑷
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⑴ － ⑵ 得 ( y x)(1 z) 0
因为函数 ln u 严格单调，所以只要考虑函数 g 的极值就可以 得到 f 的极值。
条件极值与拉格朗日乘数法
§4条件极值一、何谓条件极值在讨论极值问题时，往往会遇到这样一种情形，就是函数的自变量要受到某些条件的限制。
决定一给定点),,(000z y x 到一曲面0),,(=z y x G 的最短距离问题，就是这种情形。
我们知道点),,(z y x 到点),,(000z y x 的距离为202020)()()(),,(z z y y x x z y x F -+-+-=.现在的问题是要求出曲面0),,(=z y x G 上的点),,(z y x 使F 为最小.即问题归化为求函数),,(z y x F 在条件0),,(=z y x G 下的最小值问题.又如，在总和为C 的几个正数n x x x ,,21的数组中，求一数组，使函数值22221n x x x f +++= 为最小，这是在条件C x x x n =+++ 21 )0(>i x 的限制下，求函数f 的极小值问题。
这类问题叫做限制极值问题（条件极值问题）.例1 要设计一个容积为V 的长方体形开口水箱 . 确定长、宽和高 , 使水箱的表面积最小 .分别以x 、y 和z 表示水箱的长、宽和高 , 该例可表述为 : 在约束条件V xyz =之下求函数xy yz xz z y x S ++=)(2),,(的最小值 .条件极值问题的一般形式是在条件组)(,,2,1,0),,,(21n m m k x x x n k <== ϕ限制下， 求目标函数),,,(21n x x x f y =的极值.对这种问题的解法有: 化为无条件极值. 例 1 由V xyz =解出xyVz =, 并代入函数),,(z y x S 中, 得到xy xy V y x F ++=)11(2),(, 然后按)0,0(),(=y x F F , 求出稳定点32V y x ==, 并有3221V z =, 最后判定在此稳定点上取的最小面积3243V S =.然而, 在一般情形下条件组中解出m 个变元并不总是可能的.下面介绍的拉格朗日乘数法就是一种不直接依赖消元而求解条件极值问题的有效方法. 二、条件极值的必要条件设在约束条件0),(=y x ϕ之下求函数=z ),(y x f 的极值 . 当满足约束条件的点),(00y x 是函数),(y x f 的条件极值点 , 且在该点函数),(y x ϕ满足隐函数存在条件时, 由方程0),(=y x ϕ决定隐函数)(x g y =, 于是点0x 就是一元函数())( , x g x f z =的极限点 , 有0)(='+=x g f f dx dzy x .代入 ),(),()(00000y x y x x g y x ϕϕ-=', 就有 0),(),(),(),(00000000=-y x y x y x f y x f y x y x ϕϕ,即 x f -y ϕy f x ϕ0= , 亦即 (x f , y f ) (⋅y ϕ ,x ϕ-)0= .可见向量(x f , y f )与向量(y ϕ , x ϕ-)正交. 注意到向量(x ϕ , y ϕ)也与向量(y ϕ , x ϕ-)正交, 即得向量(x f , y f )与向量(x ϕ , y ϕ)线性相关, 即存在实数λ, 使(x f , y f ) +λ(x ϕ , y ϕ)0=.亦即 ⎩⎨⎧=+=+. 0, 0y yx x f f λϕλϕ三、 Lagrange 乘数法:由上述讨论可见 , 函数=z ),(y x f 在约束条件0),(=y x ϕ之下的条件极值点应是方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+=+.0),(, 0),(),(, 0),(),(y x y x y x f y x y x f y y x x ϕλϕλϕ 的解.引进所谓Lagrange 函数),(),(),,(y x y x f y x L λϕλ+=, ( 称其中的实数λ为Lagrange 乘数 )则上述方程组即为方程组⎪⎩⎪⎨⎧===.0),,( , 0),,( , 0),,(λλλλy x L y x L y x L y x下面以三元函数 , 两个约束条件为例介绍Lagrange 乘数法的一般情况 . 例2 求函数xyz f = 在条件0,1222=++=++z y x z y x 下的极值。
多元函数的极值及其求法
条件极值：对自变量有附加条件的极值．
拉 格 朗 日 乘 数 法
要 找 函 数zf(x,y)在 条 件(x,y)0下 的 可 能
极 值 点 ,
先构造函数 F(x, y) f (x, y) (x, y)，其中
为某一常数，可由
fx(x, y) x(x, y) 0,
0,
Ft(x, y,z,t) 0,
(x, y,z,t) 0, ( x , y , z , t ) 0 .
解出 x, y, z, t 即得 可能极值点的坐标.
例6 求表面积为 a2 而体积为最大的长方体的体积.
解 设长方体的长、宽、高为 x , y，z. 体积为 V . 则问题就是条件 2 x y 2 y z2 x z a 2 0 下， 求函数 V x( x y 0 ,y z 0 , z 0 )的最大值.
若满足不等式
f (x, y) f (x0, y0)，
则称函数在(x0, y0)有极大值；
若满足不等式
f (x, y) f (x0, y0)，
则称函数在(x0, y0)有极小值；
极 大 值 、 极 小 值 统 称 为 极 值 .
使 函 数 取 得 极 值 的 点 称 为 极 值 点 .
例1 函数z 3x2 4y2
例 5求 zx 2x y 2 y 1的 最 大 值 和 最 小 值 .
解令
zx(x2(y x2 2 1y )2 21 x)(2xy)0, zy(x2(y x2 2 1y )2 21 y)(2xy)0,
得 驻 点 (1,1)和 (1,1),
22
22
四、小结
多元函数的极值 （取得极值的必要条件、充分条件） 多元函数的最值 拉格朗日乘数法
多元函数求条件极值的原理
多元函数求条件极值的原理多元函数的条件极值是指在一定条件下使函数取得极大值或极小值的点。
求条件极值的原理包括拉格朗日乘数法和边界条件法两种方法。
一、拉格朗日乘数法：当多元函数在一定的约束条件下取得条件极值时，可以使用拉格朗日乘数法来求解极值点。
其基本思想是在考虑目标函数值的同时，引入一个约束函数，通过寻找约束函数和目标函数的共同极值点来得到条件极值。
设多元函数为f(x1,x2,...,xn)，约束条件为φ(x1,x2,...,xn)=0，其中φ(x1,x2,...,xn) 表示n-1 个关于x1,x2,...,xn 的函数，同样需要求导来得到其极值点。
具体步骤如下：1. 构建拉格朗日函数L(x1,x2,...,xn,λ)=f(x1,x2,...,xn)+λφ(x1,x2,...,xn)，其中λ是拉格朗日乘数。
2. 对L(x1,x2,...,xn,λ) 分别对x1,x2,...,xn 及λ求偏导数，并令其等于0。
3. 解方程组，得到x1,x2,...,xn 和λ的取值。
4. 将x1,x2,...,xn 和λ的取值代入f(x1,x2,...,xn) 计算函数值，得到条件极值。
拉格朗日乘数法的原理和求解过程比较复杂，但是可以通过引入拉格朗日乘数将约束条件转化为一个等式来求解条件极值问题。
二、边界条件法：边界条件法用于求解多元函数在给定边界条件下的条件极值问题。
当约束条件形式为不等式时，可以通过将不等式约束条件转化为等式约束条件，并在约束区域的边界上求解得到条件极值。
具体步骤如下：1. 将不等式约束条件转化为等式约束条件，得到约束函数φ(x1,x2,...,xn)=0。
2. 对多元函数f(x1,x2,...,xn) 和约束函数φ(x1,x2,...,xn) 构建拉格朗日函数L(x1,x2,...,xn,λ)=f(x1,x2,...,xn)+λφ(x1,x2,...,xn)，其中λ是拉格朗日乘数。
3. 对L(x1,x2,...,xn,λ) 分别对x1,x2,...,xn 及λ求偏导数，并令其等于0。
高等数学A第6章多元函数微分学9-10(多元函数的极值 条件极值—拉格朗日乘数法则)
(1)对y求偏导得z y z x zz xy 2 z xy 0
2 ( 2)对y求偏导得1 z y
zz yy 2z yy 0
1 1 在(1, 1,6)处, A 0, B 0, C , 4 4 B2 AC 0, 有极大值; 1 1 在(1, 1, 2)处, A 0, B 0, C , 4 4
极值, 则f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0.
证
设z f ( x, y)在( x0 , y0 )取得极小值, 则f ( x, y) f ( x0 , y0 ),
取x x0 , y y0 , 仍有f ( x0 , y) f ( x0 , y0 ),
则Fz 2z 4 由于Fz (1, 1,6) 8 0, Fz (1,1, 2) 8 0,
从而确定了z f1 ( x, y), z f2 ( x, y)
由于2 x 2zz x 2 4 z x 0 (1) 2 y 2 zz y 2 4 z y 0 ( 2)
(1) 当 B2 － AC <0 时, 必有 A≠0 , 且 A 与C 同号,
Q(h, k )
可见 , 当 A 0 时, Q(h, k ) 0 , 从而△z＞0 , 因此 f ( x, y )
1 [( Ah 2 2 AB h k B 2 k 2 ) ( AC B 2 ) k 2 ] A 1 [( Ah B k ) 2 ) ( AC B 2 ) k 2 ] A
—Lagrange
6.3.4 条件极值— Lagrange乘数法则 小结 思考题
多元函数极值与拉格朗日乘数法
推广: 自变量多于两个，
约束条件多于一个的情况.
例 目标函数 u f ( x, y, z, t)
约束条件 ( x, y, z, t) 0 (x, y, z,t) 0
拉格朗日函数
L( x, y, z, t, 1, 2 ) f ( x, y, z, t) 1( x, y, z, t) 2 (x, y, z, t)
20
说明 上例的条件极值问题,是通过将约束条件代入 目标函数中求解; 但并不是所有情况下都能这样做，更多时候 用到的是下面要介绍的，解决条件极值问题的 一般方法—— 拉格朗日乘数法
21
Lagrange(拉格朗日)乘数法
求函数 z f ( x, y) 在条件 ( x, y) 0
下的可能极值点, 先构造拉格朗日函数
(2) AC B2 0时, f ( x0 , y0 ) 不是极值;
(3)AC B2 0时 f ( x0 , y0 ) 可能是极值,
也可能不是极值.
4
求函数 z f ( x, y) 极值的一般步骤:
第一步
解方程组
f f
x y
( (
x, x,
y y
) )
0 0
求出实数解, 得驻点.
第二步 对于每一个驻点 ( x0 , y0 ), 求出二阶偏导数的值 A、B、C.
2
说明
1、驻点
具有偏导的极值点
如,点(0,0)是函数z xy的 驻点,但不是极值点.
2、偏导数不存在的点， 也可能是极值点.
例 z x2 y2
z
在点(0,0)处的偏导数不存在,
O•
x
y
但(0,0)是函数的极大值点.
3
二元函数极值的充分条件
高中数学备课教案多元函数的条件极值与拉格朗日乘数法
高中数学备课教案多元函数的条件极值与拉格朗日乘数法高中数学备课教案-多元函数的条件极值与拉格朗日乘数法一、引言多元函数的条件极值与拉格朗日乘数法是高中数学课程中的重要内容之一。
本文将介绍多元函数的条件极值的概念及其判定条件，并详细讲解拉格朗日乘数法的原理和应用。
通过本课教案的学习，学生将能够准确理解和运用多元函数的条件极值及拉格朗日乘数法，并能够解决相关的实际问题。
二、多元函数的条件极值1. 概念及定义多元函数的条件极值是指在一定的限制条件下，函数取得的极大值或极小值。
与单元函数的极值相似，多元函数的条件极值也是在局部范围内进行判定的。
2. 判定条件多元函数的条件极值有以下两种判定条件：（1）一阶导数法：通过对多元函数的偏导数进行求解，判断偏导数为0的点是否为极值点。
（2）二阶导数法：通过求解多元函数的二阶偏导数，判断二阶偏导数的正负性来判断点的类型：极大值、极小值或鞍点。
三、拉格朗日乘数法1. 概念及原理拉格朗日乘数法是一种求解带条件的多元函数极值的方法。
通过构建拉格朗日函数，将约束条件融入目标函数中，并通过解方程组求解出极值点坐标。
2. 应用步骤（1）确定目标函数和约束条件，列出拉格朗日函数：L(x, y, λ) = f(x, y) - λg(x, y)其中，f(x, y)为目标函数，g(x, y)为约束条件，λ为拉格朗日乘数。
（2）求解方程组：∇L(x, y, λ) = 0解方程组得到(x0, y0, λ0)为可能的极值点。
（3）构建极值点的类型判定表通过计算二阶偏导数或其他方法，得出(x0, y0, λ0)的极值类型：极大值、极小值或鞍点。
（4）判断边界点如果有边界点的话，将边界点的值代入目标函数，比较与已求得的极值的大小，得出最终的极值。
四、教学设计1. 知识讲解通过板书、课件等形式，详细讲解多元函数的条件极值的概念、判定条件，以及拉格朗日乘数法的原理和应用步骤。
2. 实例演示给出多元函数的具体实例，引导学生运用条件极值的判定方法和拉格朗日乘数法，一步步求解极值。
多元函数的极值和最值条件极值拉格朗日乘数法
减去总广告费， 两种方式的广告费共25千元， 怎样分配两种方式的广告费能使利润最大，最大
利润是多少？
解
约束条件下的利润函数为
Lx, y S 25,
5
具体利润函数为 L(x, y) 40x 20y 5 x 10 y
在约束条件 x y 25
在点 3，2各计算值A 12;B 0;C 6。则B2 AC 0
则原函数在点 (3,2) ，取得最大值点。
在点 3，0各计算值A 12;B 0;C 6。则B2 AC 0
则原函数在点 (3,0) ，无极值点。
在点1，2各计算值A 12;B 0;C 6。则B2 AC 0
求函数 z=f(x,y)极值的一般步骤：
第一步 解方程组 fx ( x, y) 0, f y ( x, y) 0
求出实数解，得驻点.
第二步 对于每一个驻点( x0 , y0 )，
求出二阶偏导数的值 A、B、C.
第三步 定出 B2 AC 的符号，再判定是否是极值.
例4: 求函数f x, y x3 y3 3x2 3y2 9x的极值
拉格朗日函数是
G(x, y,) 40x 20y 25 x y 25
5 x 10 y
解一阶导数为零的方程组：
Gx x,
y
200
5 x2
0
Gy x,
y
200
10 y2
0
x y 25 0
解方程得 15,10
最大利润
x
x
x,